湖南省長沙市長郡湘府中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若雙曲線的一條漸近線為，則實數(shù)（）A． B．2 C．4 D．2．已知的展開式中的系數(shù)為5，則（）A．4 B．3 C．2 D．-13．已知樣本數(shù)據(jù)點集合為，樣本中心點為，且其回歸直線方程為，則當時，的估計值為（）A． B． C． D．4．若在曲線上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的“自公切線”.下列方程：①②；③④對應(yīng)的曲線中存在的“自公切線”的是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②④5．函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為A． B．或C． D．或6．已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為Z，則點Z的軌跡為（）A．雙曲線的一支 B．雙曲線 C．一條射線 D．兩條射線7．若函數(shù)在上可導(dǎo)，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-48．函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是（）．A．0 B．1 C．2 D．39．用反證法證明命題“平面四邊形四個內(nèi)角中至少有一個不大于時”，應(yīng)假設(shè)（）A．四個內(nèi)角都大于 B．四個內(nèi)角都不大于C．四個內(nèi)角至多有一個大于 D．四個內(nèi)角至多有兩個大于10．甲、乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次，其命中率分別為，現(xiàn)已知目標被擊中，則它是被甲擊中的概率是（）A． B． C． D．11．湖北省2019年新高考方案公布，實行“”模式，即“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語必考，“1”是指物理、歷史兩科中選考一門，“2”是指生物、化學(xué)、地理、政治四科中選考兩門，在所有選科組合中某學(xué)生選擇考歷史和化學(xué)的概率為（）A． B． C． D．12．已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有（）．A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．兩個半徑為1的鐵球，熔化成一個球，這個球的半徑是_______．14．已知（為常數(shù)），在上有最小值，那么在上的最大值是15．設(shè)向量，且，則實數(shù)的值是_______；16．已知，函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在一個水平面內(nèi),河流的兩岸平行,河寬1(單位:千米)村莊A,B和供電站C恰位于一個邊長為2(單位:千米)的等邊三角形的三個頂點處,且A,C位于河流的兩岸,村莊A側(cè)的河岸所在直線恰經(jīng)過BC的中點D.現(xiàn)欲在河岸上A,D之間取一點E,分別修建電纜CE和EA,EB.設(shè)∠DCE=θ,記電纜總長度為f(θ)(單位:千米).(1)求f(θ)的解析式；(2)當∠DCE為多大時,電纜的總長度f(θ)最小,并求出最小值.18．（12分）在中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且.（1）求A的值；（2）若，求面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù).（1）判斷的圖象是否是中心對稱圖形？若是，求出對稱中心；若不是，請說明理由；（2）設(shè)，試討論的零點個數(shù)情況.20．（12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,，,，為等邊三角形.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知不等式的解集為．（1）求集合；（2）設(shè)實數(shù)，證明：．22．（10分）已知函數(shù)，其中為常數(shù)．(1)若，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)雙曲線的標準方程求出漸近線方程，根據(jù)雙曲線的一條漸近線求得m的值．【詳解】雙曲線中，，令，得，所以；又雙曲線的一條漸近線為，則，解得，所以實數(shù)．故選：C．本題考查了利用雙曲線的標準方程求漸近線方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2、D【解析】

將化簡為：分別計算的系數(shù)，相加為5解得.【詳解】中的系數(shù)為：的系數(shù)為：的系數(shù)為：故答案選D本題考查了二項式定理的計算，分成兩種情況簡化了計算.3、D【解析】

根據(jù)線性回歸直線過樣本中心點，可得，然后代值計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當當時，故選：D本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數(shù)的求法以及回歸直線必過樣本中心點，屬基礎(chǔ)題.4、B【解析】

化簡函數(shù)的解析式,結(jié)合函數(shù)的圖象的特征,判斷此函數(shù)是否有自公切線．【詳解】①是一個等軸雙曲線,沒有自公切線;②,在和處的切線都是,故②有自公切線;③此函數(shù)是周期函數(shù),過圖象的最高點的切線都重合,故此函數(shù)有自公切線;④即結(jié)合圖象可得,此曲線沒有自公切線.故選:.本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力,難度一般.5、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，在單調(diào)遞增，得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，則，故，因為在單調(diào)遞增，所以.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，不等式，或者，的解集為，故選D.此題考查了函數(shù)的對稱性和單調(diào)性的應(yīng)用，對于抽象函數(shù)，且要求解不等式的題目，一般是研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，通過這些性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較，直接比較括號內(nèi)的自變量的大小即可.6、C【解析】分析：利用兩個復(fù)數(shù)的差的絕對值表示兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)點之間的距離，來分析已知等式的意義．詳解：∵復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為Z，則點Z到點（1，2）的距離減去到點（﹣2，﹣1）的距離之差等于3，而點（1，2）與點（﹣2，﹣1）之間的距離為3，故點Z的軌跡是以點（1，2）為端點的經(jīng)過點（﹣2，﹣1）的一條射線．故選C．點睛：本題考查兩個復(fù)數(shù)的差的絕對值的意義，兩個復(fù)數(shù)的差的絕對值表示兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)點之間的距離．7、D【解析】由題設(shè)可得，令可得，所以，則，應(yīng)選答案D．8、C【解析】

求導(dǎo)后代入即可.【詳解】易得,故函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是.故選：C本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

對于“至少一個不大于”的否定為“全都大于”，由此得到結(jié)果.【詳解】“平面四邊形四個內(nèi)角中至少有一個不大于”的否定形式為：“平面四邊形四個內(nèi)角中都大于”，即反證法時應(yīng)假設(shè)：四個內(nèi)角都大于本題正確選項：本題考查反證法的假設(shè)，關(guān)鍵是明確至少問題的否定的形式，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】分析：根據(jù)題意，記甲擊中目標為事件A，乙擊中目標為事件B，目標被擊中為事件C，由相互獨立事件的概率公式，計算可得目標被擊中的概率，進而由條件概率的公式，計算可得答案．詳解：根據(jù)題意，記甲擊中目標為事件A，乙擊中目標為事件B，目標被擊中為事件C，則P（C）=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；則目標是被甲擊中的概率為P=.故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查獨立事件的概率和條件概率，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)條件概率的公式:，=.條件概率一般有“在已發(fā)生的條件下”這樣的關(guān)鍵詞，表明這個條件已經(jīng)發(fā)生，發(fā)生了才能稱為條件概率.但是有時也沒有，要靠自己利用條件概率的定義識別.11、C【解析】

基本事件總數(shù)，在所有選項中某學(xué)生選擇考歷史和化學(xué)包含的基本事件總數(shù)，由此能求出在所有選項中某學(xué)生選擇考歷史和化學(xué)的概率．【詳解】湖北省2019年新高考方案公布，實行“”模式，即“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語必考，“1”是指物理、歷史兩科中選考一門，“2”是指生物、化學(xué)、地理、政治四科中選考兩門，基本事件總數(shù)，在所有選項中某學(xué)生選擇考歷史和化學(xué)包含的基本事件總數(shù)，在所有選項中某學(xué)生選擇考歷史和化學(xué)的概率為．故選．本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．12、C【解析】

設(shè)切點為，則，由于直線經(jīng)過點，可得切線的斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關(guān)于的方程，從而可求方程．【詳解】若直線與曲線切于點，則，又∵，∴，∴，解得，，∴過點與曲線相切的直線方程為或，故選C．本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

等體積法【詳解】等體積法14、57【解析】試題分析：單調(diào)增區(qū)間為減區(qū)間為，最大值為考點：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與最值15、2【解析】

由條件利用兩個向量共線的性質(zhì)求得x的值．【詳解】解：∵，，且，∴2x＝，即x＝2故答案為2本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)已知可得，恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖像，列不等式組解決問題.【詳解】,在區(qū)間上單調(diào)遞減，，解得.故填：.本題考查了已知函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)是單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的圖像列不等式組，得到參數(shù)的取值范圍，一般恒成立的問題也可轉(zhuǎn)化為參變分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3【解析】分析：易得CE=EB=1cosθ，ED=tanθ，AE=3-tanθ，f(θ)=2-sinθcosθ+3，0<θ<π3.(2)求導(dǎo)f'(θ)=-cos2詳解：(1)易得AD垂直平分BC，CD=BD=1則CE=EB=1cosθ，ED=于是f(θ)=1cosθ因為E在CD之間,所以0<θ<π故f(θ)=2-sinθ(2)f'(θ)=-cos2令f'(θ)=0,得sinθ=故當0<θ<π6，f'(θ)<0，當π6<θ<π3.,所以,當θ=π6時,f(θ)答:當∠DCE=π6時,f(θ)最小值為點睛：此題為三角函數(shù)的實際應(yīng)用題，解題時要注意分析題目中的條件，常常跟正余弦定理，三角函數(shù)比值關(guān)系等幾何關(guān)系結(jié)合在一起考查，不難，但是綜合性強；第二問求最值如果不能轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求得最值，那就通過導(dǎo)數(shù)來分析.18、（1）；（2）【解析】

（1）由題意利用正弦定理可得，由余弦定理可得，結(jié)合范圍，可得的值．（2）由基本不等式可求，利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解:（1）由題知，由正弦定理有，即，由余弦定理得，因為則.（2），，即，當且僅當時等號成立，當時，，所以面積的最大值為.本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為：；（2）當或時，有個零點；當時，有個零點【解析】

（1）設(shè)，通過奇偶性的定義可求得為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，從而可得的對稱中心，得到結(jié)論；（2），可知為一個解，從而將問題轉(zhuǎn)化為解的個數(shù)的討論，即的解的個數(shù)；根據(jù)的范圍，分別討論不同范圍情況下方程解的個數(shù)，從而得到零點個數(shù)，綜合得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)定義域為：為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為：（2）令，可知為其中一個解，即為一個零點只需討論的解的個數(shù)即可①當時，無解有且僅有一個零點②當時，為方程的解有，共個零點③當時，（i）若，即時，為方程的解有，共個零點（ii）若，即時，的解為：有且僅有一個零點（iii）若，即時，，方程無解有且僅有一個零點綜上所述：當或時，有個零點；當時，有個零點本題考查函數(shù)對稱性的判斷、函數(shù)零點個數(shù)的討論.解決本題中零點個數(shù)問題的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)的討論，從而根據(jù)的不同范圍得到方程根的個數(shù)，進而得到零點個數(shù)，屬于較難題.20、(1)略；(2)【解析】

（1）推導(dǎo)出，從而得到平面，由此可證得；（2）推導(dǎo)出，以B為原點為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，,，為等邊三角形，所以，所以，,所以，又由，所以平面，又因為平面，所以；（2）因為，所以，以為原點為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，由圖形可知二面角的平面角是鈍角，設(shè)二面角的平面角為，所以，即二面角的余弦值為.本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）對分、、三種情況討論，去絕對值，分別解出不等式，可得出不等式的解集；（2）證法一：由題意得出，，將不等式兩邊作差得出，由此可得出所證不等式成立；證法二：利用分析法得出所證不等式等價于，由題意得出，，判斷出的符號，可得出所證不等式成立.