泉州第五中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知甲口袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球，乙口袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球，現(xiàn)從甲，乙口袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球并相互交換，記交換后甲口袋中紅球的個(gè)數(shù)為，則（）A． B． C． D．2．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．43．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為（）A． B．C． D．4．設(shè)函數(shù)，，給定下列命題：①若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則；②若方程恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則；③若，總有恒成立，則；④若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù).則正確命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象大致是()A． B．C． D．6．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．7．汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí).相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油8．在三棱錐中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線9．若滿足約束條件則的最大值為（）A．5 B． C．4 D．310．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示則的值等于A．1 B．2 C．3 D．411．甲乙丙丁四人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中只有一位獲獎(jiǎng).有人走訪了四人，甲說:“乙、丁都未獲獎(jiǎng).”乙說：“是甲或丙獲獎(jiǎng).”丙說：“是甲獲獎(jiǎng).”丁說：“是乙獲獎(jiǎng).”四人所說話中只有兩位是真話，則獲獎(jiǎng)的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁12．設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在上，且滿足.若滿足條件的點(diǎn)只在的左支上，則的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則___________；14．在半徑為2的圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到圓心的距離不大于1的概率為________.15．函數(shù)y=sin2x+2sin2x的最小正周期T為_______.16．已知變量，滿足約束條件，設(shè)的最大值和最小值分別是和，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若的解集包含，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過伸縮變換后，曲線變?yōu)榍€，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于不同的兩點(diǎn).（1）求曲線的普通方程；（2）求的中點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程（以為參數(shù)）.19．（12分）甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是，乙勝的概率是，不會(huì)出現(xiàn)平局．（1）如果兩人賽3局，求甲恰好勝2局的概率和乙至少勝1局的概率；（2）如果采用五局三勝制若甲、乙任何一方先勝3局，則比賽結(jié)束，結(jié)果為先勝3局者獲勝，求甲獲勝的概率．20．（12分）函數(shù)，，實(shí)數(shù)為常數(shù).（I）求的最大值；（II）討論方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).21．（12分）現(xiàn)將甲、乙兩個(gè)學(xué)生在高二的6次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)（百分制）制成如圖所示的莖葉圖，進(jìn)人高三后，由于改進(jìn)了學(xué)習(xí)方法，甲、乙這兩個(gè)學(xué)生的考試數(shù)學(xué)成績(jī)預(yù)計(jì)同時(shí)有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考試成績(jī)?yōu)椋瑒t甲（乙）的高三對(duì)應(yīng)的考試成績(jī)預(yù)計(jì)為（若>100.則取為100）.若已知甲、乙兩個(gè)學(xué)生的高二6次考試成績(jī)分別都是由低到高進(jìn)步的，定義為高三的任意一次考試后甲、乙兩個(gè)學(xué)生的當(dāng)次成績(jī)之差的絕對(duì)值.（I）試預(yù)測(cè)：在將要進(jìn)行的高三6次測(cè)試中，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的平均成績(jī)分別為多少？（計(jì)算結(jié)果四舍五入，取整數(shù)值）（Ⅱ）求的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知5名同學(xué)站成一排，要求甲站在中間，乙不站在兩端，記滿足條件的所有不同的排法種數(shù)為.（I）求的值；（II）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先求出的可能取值及取各個(gè)可能取值時(shí)的概率，再利用可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】的可能取值為.表示從甲口袋中取出一個(gè)紅球，從乙口袋中取出一個(gè)白球，故.表示從甲、乙口袋中各取出一個(gè)紅球，或從甲、乙口袋中各取出一個(gè)白球，故.表示從甲口袋中取出一個(gè)白球，從乙口袋中取出一個(gè)紅球，故.所以.故選A.求離散型隨機(jī)變量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，也可以直接利用公式求期望.2、C【解析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【詳解】所以本題考查正余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解析】

根據(jù)伸縮變換的關(guān)系表示已知函數(shù)的坐標(biāo)，代入已知函數(shù)的表示式得解.【詳解】由伸縮變換，得，代入，得，即．選B本題考查函數(shù)圖像的伸縮變換，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)，極值以及恒成立問題.【詳解】對(duì)于①，的定義域，，令有即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，且當(dāng)時(shí)，又，從而要使得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，故①正確對(duì)于②，易知不是該方程的根，當(dāng)時(shí)，，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于和只有一個(gè)交點(diǎn)，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為．由大致圖像可知或，故②錯(cuò)對(duì)于③當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是，故③正確.對(duì)于④有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不同的正根，即方程有兩個(gè)不同的正根，由③可知，，即，則④正確.故正確命題個(gè)數(shù)為3，故選.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)有關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目．解題時(shí)注意利用數(shù)形結(jié)合，通過函數(shù)圖象得到結(jié)論．5、A【解析】因?yàn)?，所以舍去B,D;當(dāng)時(shí)，所以舍C，選A.點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象識(shí)別問題的常見題型及解題思路(1)由解析式確定函數(shù)圖象的判斷技巧：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)．(2)由實(shí)際情景探究函數(shù)圖象．關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題求解，要注意實(shí)際問題中的定義域問題．6、B【解析】

利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行一一判斷.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，故A錯(cuò)；對(duì)B，，故B正確；對(duì)C，，故C錯(cuò)；對(duì)D，，故D錯(cuò).所以本題選B.熟記導(dǎo)數(shù)公式，特別是復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，即，不能漏了前面的負(fù)號(hào).7、D【解析】

解：對(duì)于A，由圖象可知當(dāng)速度大于40km/h時(shí)，乙車的燃油效率大于5km/L，∴當(dāng)速度大于40km/h時(shí)，消耗1升汽油，乙車的行駛距離大于5km，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖象可知當(dāng)速度相同時(shí)，甲車的燃油效率最高，即當(dāng)速度相同時(shí)，消耗1升汽油，甲車的行駛路程最遠(yuǎn)，∴以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最少，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由圖象可知當(dāng)速度為80km/h時(shí)，甲車的燃油效率為10km/L，即甲車行駛10km時(shí)，耗油1升，故行駛1小時(shí)，路程為80km，燃油為8升，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由圖象可知當(dāng)速度小于80km/h時(shí)，丙車的燃油效率大于乙車的燃油效率，∴用丙車比用乙車更省油，故D正確故選D．考點(diǎn)：1、數(shù)學(xué)建模能力；2、閱讀能力及化歸思想.8、B【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.【詳解】由題，三棱錐為正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得，設(shè)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡(jiǎn)得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.選B本題考查利用空間向量研究?jī)蓷l直線所成的角，軌跡方程等，屬中檔題.9、A【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立，可得，

化目標(biāo)函數(shù)為，

由圖可知，當(dāng)直線過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．

故選：A．本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．10、A【解析】

先求出b的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出.【詳解】由題得，所以所以.故答案為：A(1)本題主要考查分布列的性質(zhì)和期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，，.11、C【解析】

本題利用假設(shè)法進(jìn)行解答.先假設(shè)甲獲獎(jiǎng)，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙所說的話是真話，不合題意；然后依次假設(shè)乙、丙、丁獲獎(jiǎng)，結(jié)合已知，選出正確答案.【詳解】解:若是甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙所說的話是真話，不合題意；若是乙獲獎(jiǎng)，則丁所說的話是真話，不合題意；若是丙獲獎(jiǎng)，則甲乙所說的話是真話，符合題意；若是丁獲獎(jiǎng)，則四人所說的話都是假話，不合題意.故選C.本題考查了的數(shù)學(xué)推理論證能力，假設(shè)法是經(jīng)常用到的方法.12、C【解析】

本題需要分類討論，首先需要討論“在雙曲線的右支上”這種情況，然后討論“在雙曲線的左支上”這種情況，然后根據(jù)題意，即可得出結(jié)果?！驹斀狻咳粼陔p曲線的右支上，根據(jù)雙曲線的相關(guān)性質(zhì)可知，此時(shí)的最小值為，因?yàn)闈M足題意的點(diǎn)在雙曲線的左支，所以，即，所以①，若在雙曲線的左支上，根據(jù)雙曲線的相關(guān)性質(zhì)可知，此時(shí)的最小值為，想要滿足題意的點(diǎn)在雙曲線的左支上，則需要滿足，即，所以②由①②得，故選C。本題考查了圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了圓錐曲線中雙曲線的相關(guān)性質(zhì)，考查雙曲線的離心率的取值范圍，考查雙曲線的長(zhǎng)軸、短軸以及焦距之間的關(guān)系，考查推理能力，是中檔題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分別令和，代入求值，然后兩式相減計(jì)算結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，兩式相減：，所以：.故答案為：本題考查二項(xiàng)展開式求系數(shù)和，重點(diǎn)考查賦值法，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解析】

通過計(jì)算對(duì)應(yīng)面積，即可求得概率.【詳解】該點(diǎn)取自圓內(nèi)，占有面積為，而該點(diǎn)到圓心的距離不大于1占有面積為：，故所求概率為：.本題主要考查幾何概型的相關(guān)計(jì)算，難度不大.15、【解析】考點(diǎn)：此題主要考查三角函數(shù)的概念、化簡(jiǎn)、性質(zhì)，考查運(yùn)算能力.16、【解析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，可以發(fā)現(xiàn)變量，都是正數(shù)，故令，這樣根據(jù)的幾何意義，可以求出的取值范圍，利用表示出，利用函數(shù)的性質(zhì)，可以求出的最值，最后計(jì)算出的值.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示：從圖中可知：變量，都是正數(shù)，令，它表示不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率，解方程組：，可得點(diǎn)，解方程組：，可得點(diǎn)，所以有，因此，，，故.本題考查了不等式所表示的平面區(qū)域，考查了斜率模型，考查了數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）轉(zhuǎn)化條件得，根據(jù)恒成立問題的解決方法即可得解；（Ⅱ）轉(zhuǎn)化條件得對(duì)恒成立，根據(jù)的取值范圍分類討論去絕對(duì)值即可得解.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，.（Ⅱ）時(shí)，恒成立，對(duì)恒成立.當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上：.本題考查了絕對(duì)值不等式的解法和絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，考查了恒成立問題的解決方法和分類討論思想，屬于中檔題.18、（1）（2）（為參數(shù)，）.【解析】

（1）根據(jù)變換原則可得，代入曲線的方程整理可得的方程；（2）寫出直線的參數(shù)方程，根據(jù)與曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)可確定傾斜角的范圍；利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義和韋達(dá)定理得到，求得后，代入直線參數(shù)方程后即可得到所求的參數(shù)方程.【詳解】（1）由得：，代入得：，的普通方程為.（2）由題意得：的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）與交于不同的兩點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，即有兩個(gè)不等實(shí)根，，解得：.設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，且滿足，則，.又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的軌跡的參數(shù)方程為：（為參數(shù)，）.本題考查根據(jù)坐標(biāo)變換求解曲線方程、動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問題；求解動(dòng)點(diǎn)軌跡的關(guān)鍵是能夠充分利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，結(jié)合韋達(dá)定理的形式求得直線上的動(dòng)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，進(jìn)而代入直線參數(shù)方程求得結(jié)果.19、（1）；（2）【解析】分析：（1）先由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式公式，列出算式，得到結(jié)果．

（2）由于采用五局三勝制，則甲獲勝包括甲以3：0獲勝，以3：1獲勝，以3：2獲勝，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式列出算式，得到結(jié)果．詳解：（1）甲恰好勝2局的概率；乙至少勝1局的概率；（2）打3局：；打4局：；打五局：因此甲獲勝的概率為點(diǎn)睛：求一個(gè)事件的概率，關(guān)鍵是先判斷出事件所屬的概率模型，然后選擇合適的概率公式進(jìn)行計(jì)算．正確理解概率加法公式和相互獨(dú)立性事件的概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．20、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解析】

（1）直接對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求最大值；（2）對(duì)方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性、最值、零點(diǎn)存在定理等，判斷函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（Ⅰ）的導(dǎo)數(shù)為.在區(qū)間，，是增函數(shù)；在區(qū)間上，，是減函數(shù).所以的最大值是.（Ⅱ），方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)..在區(qū)間上，，是減函數(shù)；在區(qū)間上，，是增函數(shù).在處取得最小值.①當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，是增函數(shù)，并且.，所