天津市部分區(qū)2025屆數(shù)學高二第二學期期末達標檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點數(shù)大于3”；事件B：“甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于7”，則P（B/A）的值等于（）A． B． C． D．2．已知,則等于(

)A． B． C． D．3．某小區(qū)的6個停車位連成一排,現(xiàn)有3輛車隨機停放在車位上,則任何兩輛車都不相鄰的停放方式有()種.A．24 B．72 C．120 D．1444．已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．如圖陰影部分為曲邊梯形，其曲線對應(yīng)函數(shù)為，在長方形內(nèi)隨機投擲一顆黃豆，則它落在陰影部分的概率是（）A． B． C． D．6．“”是“”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學生的學號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學在樣本中，那么樣本中還有一個同學的學號是()A．10 B．11 C．12 D．168．在一項調(diào)查中有兩個變量和，下圖是由這兩個變量近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點圖，那么適宜作為關(guān)于的回歸方程的函數(shù)類型是()A． B．C． D．（）9．設(shè)數(shù)列，()都是等差數(shù)列，若，則等于（）A．60 B．62 C．63 D．6610．將點的直角坐標(－2，2)化成極坐標得()．A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)11．某公司在年的收入與支出情況如下表所示：收入（億元）支出y（億元）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，依此名計，如果年該公司的收入為億元時，它的支出為（）A．億元 B．億元 C．億元 D．億元12．等于（）A．B．C．1D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則=________.14．若（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是________.15．已知函數(shù)與的圖象有且只有三個交點，則實數(shù)的取值范圍為________．16．已知一扇形的面積是8cm2，周長是12cm，則該扇形的圓心角α（0<α<π）的弧度數(shù)是_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動圓經(jīng)過點，并且與圓相切.（1）求點的軌跡的方程；（2）設(shè)為軌跡內(nèi)的一個動點，過點且斜率為的直線交軌跡于、兩點，當為何值時？是與無關(guān)的定值，并求出該值定值.18．（12分）（江蘇省南京師大附中高三高考考前模擬考試數(shù)學試題）已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax＋a，a∈R．（1）若a＝1，求函數(shù)f(x)的極值；（2）若函數(shù)f(x)有兩個零點，求a的范圍；（3）對于曲線y＝f(x)上的兩個不同的點P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))，記直線PQ的斜率為k，若y＝f(x)的導函數(shù)為f′(x)，證明：f′()＜k．19．（12分）某校位同學的數(shù)學與英語成績?nèi)缦卤硭荆簩W號數(shù)學成績英語成績學號數(shù)學成績英語成績將這位同學的兩科成績繪制成散點圖如下：（1）根據(jù)該校以往的經(jīng)驗，數(shù)學成績與英語成績線性相關(guān).已知這名學生的數(shù)學平均成績?yōu)?，英語平均成績?yōu)?考試結(jié)束后學校經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)學號為的同學與學號為的同學（分別對應(yīng)散點圖中的、）在英語考試中作弊，故將兩位同學的兩科成績?nèi)∠∠麅晌蛔鞅淄瑢W的兩科成績后，求其余同學的數(shù)學成績與英語成績的平均數(shù)；（2）取消兩位作弊同學的兩科成績后，求數(shù)學成績與英語成績的線性回歸方程，并據(jù)此估計本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊的英語成績（結(jié)果保留整數(shù)）.附：位同學的兩科成績的參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：，.20．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.21．（12分）“學習強國”APP是由中宣部主管，以新時代中國特色社會主義思想和黨的十九大精神為主要內(nèi)容的“PC端+手機客戶端”兩大終端二合一模式的學習平臺，2019年1月1日上線后便成為了黨員干部群眾學習的“新助手”.為了調(diào)研某地黨員在“學習強國”APP的學習情況，研究人員隨機抽取了名該地黨員進行調(diào)查，將他們某兩天在“學習強國”APP上所得的分數(shù)統(tǒng)計如表所示：分數(shù)頻數(shù)601002020頻率0.30.50.10.1（1）由頻率分布表可以認為，這名黨員這兩天在“學習強國”上的得分近似服從正態(tài)分布，其中近似為這名黨員得分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），近似這名黨員得分的方差，求；（2）以頻率估計概率，若從該地區(qū)所有黨員中隨機抽取人，記抽得這兩天在“學習強國”上的得分不低于分的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：，若，則，，22．（10分）統(tǒng)計表明某型號汽車在勻速行駛中每小時的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時)的函數(shù)為．（1）當千米/小時時,行駛千米耗油量多少升？（2）若油箱有升油,則該型號汽車最多行駛多少千米？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用古典概型的概率公式計算出和，然后利用條件概率公式可計算出結(jié)果?！驹斀狻渴录椎镊蛔拥狞c數(shù)大于，且甲、乙兩骰子的點數(shù)之和等于，則事件包含的基本事件為、、，由古典概型的概率公式可得，由古典概型的概率公式可得，由條件概率公式得，故選：C.本題考查條件概率的計算，解題時需弄清楚各事件的基本關(guān)系，并計算出相應(yīng)事件的概率，解題的關(guān)鍵在于條件概率公式的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題。2、C【解析】分析：根據(jù)條件概率的計算公式，即可求解答案.詳解：由題意，根據(jù)條件概率的計算公式，則，故選C.點睛：本題主要考查了條件概率的計算公式的應(yīng)用，其中熟記條件概率的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.3、A【解析】分析：根據(jù)題意，首先排好三輛車，在三輛車中間插入兩個空位使三輛車任何兩輛車都不相鄰，最后一個空車位利用插空法即可.詳解：根據(jù)題意，首先排好三輛車，共種，在三輛車中間插入兩個空位使三輛車任何兩輛車都不相鄰，最后把剩下的空車位插入空位中，則有種，由分步計數(shù)原理，可得共有種不同的停車方法.點睛：本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意空位是相同的.4、A【解析】

先將函數(shù)有零點，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)方程有實根，構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導，利用導數(shù)方法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合圖像，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，令，則，設(shè)，則，由得；由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以；又當時，，，作出函數(shù)圖像如下：因為函數(shù)恰有兩個零點，所以與有兩不同交點，由圖像可得：實數(shù)的取值范圍是.故選A本題主要考查函數(shù)零點以及導數(shù)應(yīng)用，通常需要將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點來處理，通過對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、最值等，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想求解，屬于?？碱}型.5、D【解析】

通過定積分可求出空白部分面積，于是利用幾何概型公式可得答案.【詳解】由題可知長方形面積為3，而長方形空白部分面積為：，故所求概率為，故選D.本題主要考查定積分求幾何面積，幾何概型的運算，難度中等.6、A【解析】

利用充分條件和必要條件的定義進行判斷【詳解】解：當時，，所以，當時，，所以，即所以“”是“”的充分不必要條件故選：A此題考查充分條件，必要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題7、D【解析】

由題計算出抽樣的間距為13，由此得解．【詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

根據(jù)散點圖的趨勢，選定正確的選項.【詳解】散點圖呈曲線，排除A選項，且增長速度變慢，排除選項C、D，故選B．本小題主要考查散點圖，考查回歸直線方程等知識，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意可得，求得的值，得到數(shù)列的通項公式，即可求解得值，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的公差為，則有，即，解得，所以，，所以，故選A.本題主要考查了等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由條件求得、、的值，可得的值，從而可得極坐標.【詳解】∵點的直角坐標∴，，∴可取∴直角坐標化成極坐標為故選A.本題主要考查把點的直角坐標化為極坐標的方法，屬于基礎(chǔ)題．注意運用、、(由所在象限確定).11、B【解析】，，代入回歸直線方程，，解得：，所以回歸直線方程為：，當時，支出為億元，故選B.12、A【解析】試題分析：因為，故選A．考點：定積分的運算．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解析】試題分析：把給出的函數(shù)求導，在其導函數(shù)中取x=1，則f′（1）可求．解：由f（x）=x1+3xf′（1），得：f′（x）=1x+3f′（1），所以，f′（1）=1×1+3f′（1），所以，f′（1）=﹣1．故答案為﹣1．考點：導數(shù)的運算．14、3【解析】

直接根據(jù)虛部定義即可求出．【詳解】解：z＝﹣2+3i（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部是3，故答案為：3本題考查了虛數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

令，求導數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而求出a的范圍．【詳解】由題意得，，

，令，則令，解得：或，

令，解得：，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

，

，且當時，，當時，

所以函數(shù)與的圖象有且只有三個交點，

則只需和圖象有且只有三個交點，

故

故答案為：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．16、1【解析】

設(shè)半徑為，則，，可解出對答案．【詳解】設(shè)半徑為，則，,由有代入有：，解得或，當時，，當時，，又，所以.故答案為：本題考查扇形的面積，弧度制公式等，屬于容易題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）.【解析】

（1）由題意可得點的軌跡是以、為焦點的橢圓，求出半長軸及半焦距的長度，再由隱含條件求得，則橢圓方程可求；（2）設(shè)，，，直線，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得、的橫坐標與縱坐標的和與積，再由是與無關(guān)的定值求得，進一步得到該定值．【詳解】（1）由題設(shè)得：|，點的軌跡是以、為焦點的橢圓，，，，橢圓方程為；（2）設(shè)，，，直線，由，得，由韋達定理得，，，，，的值與無關(guān)，，解得．此時．本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法與待定系數(shù)法，是中檔題．18、（1）見解析（2）（3）見解析【解析】分析：（1）求極值可先求導分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間從而確定極值點求極值；（2）由（1）可知當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)增，不可能有兩個零點；故只需討論當a＞0時的零點情況，當a＞0時，函數(shù)有極大值，令（x＞0），求導分析單調(diào)性結(jié)合零點定理進行證明即可；（3）由斜率計算公式得，而，將看成一個整體構(gòu)造函數(shù)（），分析其最大值即可.解：（1），，當時，，在上單調(diào)遞增，無極值；當時，，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，無極小值．（2）由（1）可知當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)增，不可能有兩個零點；當a＞0時，函數(shù)有極大值，令（x＞0），，，，在(0，1)上單調(diào)遞減；，，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)有最小值．要使若函數(shù)有兩個零點時，必須滿足，下面證明時，函數(shù)有兩個零點．因為，所以下面證明還有另一個零點．①當時，，，令()，，在上單調(diào)遞減，，則，所以在上有零點，又在上單調(diào)遞減，所以在上有惟一零點，從而有兩個零點．②當時，，，易證，可得，所以在上有零點，又在上單調(diào)遞減，所以在上有惟一零點，從而有兩個零點．綜上，的范圍是．（3）證明：，，又，，不妨設(shè)0＜x2＜x1，t＝，則t＞1，則．令（），則，因此h(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以h(t)＜h(1)＝0.又0＜x2＜x1，所以x1－x2＞0，所以f′()－k＜0，即f′()＜k．點睛：考查導數(shù)在函數(shù)的應(yīng)用、零點定理、導數(shù)證明不等式，對復雜函數(shù)的正確求導和靈活轉(zhuǎn)化為熟悉的語言理解是解導數(shù)難題的關(guān)鍵，屬于難題.19、（1）其余學生的數(shù)學平均分、英語平均分都為分；（2）數(shù)學成績與英語成績的線性回歸方程，本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊，他的英語成績估計為分.【解析】

（1）利用平均數(shù)的公式求出這名學生的數(shù)學成績之和以及英語成績之和，再減去、號學生的數(shù)學成績和英語成績，計算其余名學生的數(shù)學成績平均分和英語成績的平均分；（2）設(shè)取消的兩位同學的兩科成績分別為、，根據(jù)題中數(shù)據(jù)計算出和，并代入最小二乘法公共計算出回歸系數(shù)和，可得出回歸方程，再將號學生的數(shù)學成績代入回歸直線方程可得出其英語成績.【詳解】（1）由題名學生的數(shù)學成績之和為，英語成績之和為，取消兩位作弊同學的兩科成績后，其余名學生的數(shù)學成績之和，其余名學生的英語成績之和為.其余名學生的數(shù)學平均分，英語平均分都為；（2）不妨設(shè)取消的兩位同學的兩科成績分別為、，由題，，，，數(shù)學成績與英語成績的線性回歸方程.代入學號為的同學數(shù)學成績得，本次英語考試學號為的同學如果沒有作弊，他的英語成績估計為分.本題考查平均數(shù)的計算，同時也考查了回歸直線方程的求解，解題的關(guān)鍵就是理解最小二乘法公式，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）（2）【解析】分析：（1）由求得，由時，可得的遞推式，得其為等比數(shù)列，從而易得通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，數(shù)列的前項和可用裂項相消法求得．詳解：（1）∵①當時，，∴當時，②由①-②得：∴∴是以為首項，公比為的等比數(shù)列∴（2）∵∴點睛：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列，，的前項和求法分別為分組求和法，錯位相減法，裂項相消法．21、（1）；（2）見解