湖南明德中學2025屆高二下數(shù)學期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a(chǎn)＞b＞c D．b＞a＞c2．用數(shù)學歸納法證明過程中，假設時，不等式成立，則需證當時，也成立，則（）A． B．C． D．3．定積分等于()A． B． C． D．4．某產(chǎn)品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間的關(guān)系如下表，由此得到與的線性回歸方程為，由此可得：當廣告支出5萬元時，隨機誤差的效應（殘差）為（）245683040605070A．-10 B．0 C．10 D．205．已知過點作曲線的切線有且僅有1條，則實數(shù)的取值是（）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或46．已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．在正四面體中，點，分別在棱，上，若且，，則四面體的體積為（）A． B． C． D．8．PM2.5是指空氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物（也稱可入肺顆粒物），為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到某城市周一至周五某時間段車流量與PM2.5濃度的數(shù)據(jù)如下表：時間周一周二周三周四周五車流量（萬輛）100102108114116濃度（微克）7880848890根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出與的線性回歸方程是（）參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：，；A． B． C． D．9．拋物線的焦點坐標是（）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象恒過定點A，若點A在直線上，其中m，n均大于0，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．1611．已知集合，,則等于()A． B． C． D．12．若函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的定義域為_______________．14．已知則的值為．15．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的底面半徑為_______.16．若復數(shù),其中是虛數(shù)單位,則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知復數(shù)，是的共軛復數(shù)，且為純虛數(shù)，在復平面內(nèi)所對應的點在第二象限，求.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當a＝－3時，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)，．（1）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）記表示中的最小值，若函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點，求實的取值范圍．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足(2b﹣c)cosA＝acosC．（1）求角A；（2）若，b+c＝5，求△ABC的面積．22．（10分）已知函數(shù)，當時，函數(shù)有極大值8.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關(guān)系為b＞c＞a．故選：A．本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．2、C【解析】故選3、B【解析】

由定積分表示半個圓的面積，再由圓的面積公式可求結(jié)果?！驹斀狻坑深}意可知定積分表示半徑為的半個圓的面積，所以，選B.1．由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計算及應用，一般轉(zhuǎn)化為定積分的計算及應用，但一定要找準積分上限、下限及被積函數(shù)，且當圖形的邊界不同時，要討論解決．(1)畫出圖形，確定圖形范圍；(2)解方程組求出圖形交點坐標，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；(4)計算定積分，求出平面圖形的面積．2．由函數(shù)求其定積分，能用公式的利用公式計算，有些特殊函數(shù)可根據(jù)其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分．有些由函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定積分。4、C【解析】

由已知求得的值，得到，求得線性回歸方程，令求得的值，由此可求解結(jié)論.【詳解】由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，所以，所以，取，得，所以隨機誤差的效應（殘差）為，故選C.本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及殘差的求法，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.5、C【解析】

求出導函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解切線方程，通過方程有兩個相等的解，推出結(jié)果即可．【詳解】設切點為，且函數(shù)的導數(shù)，所以，則切線方程為，切線過點，代入得，所以，即方程有兩個相等的解，則有，解得或，故選C．本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用，其中解答中熟記導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題．6、B【解析】分析：通過f（x）的單調(diào)性，畫出f（x）的圖象和直線y=a，考慮四個交點的情況，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．詳解：當x＞0時，f（x）=，可得f（x）在x＞2遞增，在0＜x＜2處遞減，

由f（x）=e

(x+1)2，x≤0，

x＜-1時，f（x）遞減；-1＜x＜0時，f（x）遞增，

可得x=-1處取得極小值1，

作出f（x）的圖象，以及直線y=a，

可得e

(x1+1)2=e

(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，

x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0遞減，

可得所求范圍為[4，5）．故選B.點睛：本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想方法，考查二次函數(shù)的最值求法，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．7、C【解析】

由題意畫出圖形，設，，，由余弦定理得到關(guān)于，，的方程組，求解可得，的值，然后分別求出三角形的面積及A到平面的高，代入棱錐體積公式得答案．【詳解】如圖，設，，，∵，，∴由余弦定理得，①②③③-①得，，即，∵，則，代入③，得，又，得，，∴．∴A到平面PEF的距離．∴，故選C．本題考查棱柱、棱錐、棱臺體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題．8、B【解析】

利用最小二乘法做出線性回歸直線的方程的系數(shù)，寫出回歸直線的方程，得到結(jié)果．【詳解】由題意，b==0.72，a=84﹣0.72×108=6.24，∴=0.72x+6.24，故選：B．本題主要考查線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計算的值；③計算回歸系數(shù)；④寫出回歸直線方程為；回歸直線過樣本點中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.9、A【解析】分析：先把拋物線的方程化成標準方程，再求其焦點坐標.詳解：由題得，所以拋物線的焦點坐標為.故答案為A.點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)研究圓錐曲線時，首先一般把曲線的方程化成標準方程再研究.10、C【解析】

試題分析：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．解：∵x=﹣2時，y=loga1﹣1=﹣1，∴函數(shù)y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∵點A在直線mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0，=（）（2m+n）=4+++2≥4+2?=8，當且僅當m=，n=時取等號．故選C．考點：基本不等式在最值問題中的應用．11、C【解析】

分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集確定出，然后利用交集的定義求解即可.詳解：由中不等式變形得，解得，即，因為，，故選C.點睛：研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.本題需注意兩集合一個是有限集，一個是無限集，按有限集逐一驗證為妥.12、D【解析】分析：設若函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，即有解，利用導數(shù)法，可得實數(shù)a的取值范圍.詳解：由的反函數(shù)為，函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對稱的點，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，即有解，即，令，則，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，可得求得的最小值為1.實數(shù)的取值范圍是，故選：D.點睛：本題考查的知識點是函數(shù)圖象的交點與方程根的關(guān)系，利用導數(shù)求函數(shù)的最值，難度中檔.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}【解析】分析：這里的cosx以它的值充當角，要使sin（cosx）＞0轉(zhuǎn)化成2kπ＜cosx＜2kπ+π，注意cosx自身的范圍．詳解：由sin（cosx）＞0?2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）．又∵﹣1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1；故所求定義域為{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}．故答案為：{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}.點睛：本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法及復合函數(shù)單調(diào)性的判斷，求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線．14、【解析】

試題分析：,.考點：分段函數(shù)求值．15、1【解析】

先根據(jù)側(cè)面展開是面積為的半圓算出圓錐的母線，再根據(jù)側(cè)面展開半圓的弧長即底面圓的周長求解.【詳解】如圖所示：設圓錐的半徑為r，高為h，母線長為l，因為圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為l，面積為的半圓面，所以，解得，因為側(cè)面展開半圓的弧長即底面圓的周長，所以，故圓錐的底面半徑.本題考查圓錐的表面積的相關(guān)計算.主要依據(jù)側(cè)面展開的扇形的弧長即底面圓的半徑，扇形的弧長和面積計算公式.16、6【解析】

由可得，代入，利用復數(shù)乘法的運算法則求解即可.【詳解】∵,∴.∴，故答案為6.本題主要考查復數(shù)乘法的運算法則以及共軛復數(shù)的定義，意在考查綜合運用所學知識解決問題的能力，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

設，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組求解，再結(jié)合所對應的點在第二象限，即可求出【詳解】設，則，∴又，.∴，聯(lián)立，解得又在第二象限，∴，即∴故答案為本題考查了復數(shù)的相關(guān)定義，設出復數(shù)的表示形式，根據(jù)題意列出方程組即可，本題較為基礎，注意計算。18、(1)當a≤0，在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）遞減；當，在（0，2）和上單調(diào)遞增，在（2，）遞減；當a=，在（0，+∞）遞增；當a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（，2）遞減；(2).【解析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（1）知當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，可證明，有兩個零點等價于，得，可證明，當時與當且時，至多一個零點，綜合討論結(jié)果可得結(jié)論.【詳解】（1）的定義域為，，（i）當時，恒成立，時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減.（ii）當時，由得，（舍去），①當，即時，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當，即時，或，恒成立，在上單調(diào)遞增；時，恒成立，在上單調(diào)遞減.③當，即時，或時，恒成立，在單調(diào)遞增，時，恒成立，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知當時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，令，則在成立，故單調(diào)遞增，，，有兩個零點等價于，得，，當時，，只有一個零點，不符合題意；當時，在單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不符合題意；當且時，有兩個極值，，記，，令，則，當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，時，，故，又，由（1）知，至多只有一個零點，不符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為.本題是以導數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數(shù)的幾何意義；第二層次是導數(shù)的簡單應用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值、零點等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機結(jié)合，設計綜合題.19、(1){x|x≥4或x≤1}；(2)[－3，0].【解析】試題分析：（1）解絕對值不等式首先分情況去掉絕對值不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集即得所求．（2）原命題等價于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范圍試題解析：（1）當a＝－3時，f（x）＝當x≤2時，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；當2＜x＜3時，f（x）≥3無解；當x≥3時，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.所以f（x）≥3的解集為{x|x≤1或x≥4}．6分（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.當x∈[1，2]時，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|－2－a≤x≤2－a，由條件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為[－3，0]．考點：絕對值不等式的解法；帶絕對值的函數(shù)20、（1）；（2）【解析】

（1）利用分離參數(shù)，并構(gòu)造新的函數(shù)，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，并求最值，可得結(jié)果.（2）利用對的分類討論，可得，然后判斷函數(shù)單調(diào)性以及根據(jù)零點存在性定理，可得結(jié)果.【詳解】（1）由，得，令，當時，，，；當時，，，，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，，，∴實數(shù)的取值范圍是（2）①由（1）得當時，，，，函數(shù)在內(nèi)恰有一個零點，符合題意②當時，i．若，，，故函數(shù)在內(nèi)無零點ii．若，，，，不是函數(shù)的零點；iii．若時，，故只考慮函數(shù)在的零點，，若時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，∴函數(shù)在上恰有一個零點若時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，，∴函數(shù)在上無零點，若時，，，∴函數(shù)在上遞減，在上遞增，要使在上恰有一個零點，只需，．綜上所述，實數(shù)的