福建省龍巖市連城一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)f(x)=x3-ax2A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)>3 C．a(chǎn)≤3 D．0<a<32．展開(kāi)式中x2的系數(shù)為（）A．15 B．60 C．120 D．2403．某煤氣站對(duì)外輸送煤氣時(shí)，用1至5號(hào)五個(gè)閥門控制，且必須遵守以下操作規(guī)則：①若開(kāi)啟3號(hào)，則必須同時(shí)開(kāi)啟4號(hào)并且關(guān)閉2號(hào)；②若開(kāi)啟2號(hào)或4號(hào)，則關(guān)閉1號(hào)；③禁止同時(shí)關(guān)閉5號(hào)和1號(hào).則閥門的不同開(kāi)閉方式種數(shù)為（）A．7 B．8 C．11 D．144．只用四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，規(guī)定這四個(gè)數(shù)字必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的五位數(shù)有（）A． B． C． D．5．有位同學(xué)按照身高由低到高站成一列，現(xiàn)在需要在該隊(duì)列中插入另外位同學(xué)，但是不能改變?cè)瓉?lái)的位同學(xué)的順序，則所有排列的種數(shù)為（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．7．設(shè)6人站成一排，甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù)為()A．720 B．144 C．576 D．3248．函數(shù)為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，則的解集為A． B．或C． D．或9．已知點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)P到直線x-2y+10=0的距離最小時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．10．設(shè)是服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量,又,,則與的值分別為(

)A．， B．， C．， D．，11．已知向量、、滿足，且，則、夾角為（）A． B． C． D．12．已知集合，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有______種．14．如圖所示，直線分拋物線與軸所圍圖形為面積相等的兩部分，則的值為_(kāi)_________．15．某單位有職工52人，現(xiàn)將所有職工按1、2、3、…、52隨機(jī)編號(hào)，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知6號(hào)、32號(hào)、45號(hào)職工在樣本中，則樣本中還有一個(gè)職工的編號(hào)是________．16．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）中國(guó)高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來(lái)巨大便利，極大促進(jìn)了區(qū)域經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展.已知某條高鐵線路通車后，發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足，經(jīng)測(cè)算，高鐵的載客量與發(fā)車時(shí)間間隔相關(guān)：當(dāng)時(shí)高鐵為滿載狀態(tài)，載客量為人；當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)在滿載基礎(chǔ)上減少，減少的人數(shù)與成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的載客量為人.記發(fā)車間隔為分鐘時(shí)，高鐵載客量為.求的表達(dá)式；若該線路發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)的凈收益（元），當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，單位時(shí)間的凈收益最大？18．（12分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，求的前項(xiàng)和（結(jié)果需化簡(jiǎn)）20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，函數(shù)對(duì)任意的都有，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)于一切的恒成立？若存在請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（12分）如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)．求證：（1）求證：平面（2）求異面直線與所成角的余弦值.22．（10分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，且，E為PD中點(diǎn).（I）求證：平面ABCD；（II）求二面角B-AE-C的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在(0,2)【詳解】由題意得f(x)=x3-ax2+1?f'x=3x2-2ax，因?yàn)楹瘮?shù)本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上恒成立的問(wèn)題。通常先求導(dǎo)數(shù)然后轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)恒成立的問(wèn)題。屬于中等題。2、B【解析】

∵展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令6-r=2得r=4，∴展開(kāi)式中x2項(xiàng)為，所以其系數(shù)為60,故選B3、A【解析】

分兩類解決，第一類：若開(kāi)啟3號(hào)，然后對(duì)2號(hào)和4號(hào)開(kāi)啟其中一個(gè)即可判斷出1號(hào)和5號(hào)情況，第二類：若關(guān)閉3號(hào)，關(guān)閉2號(hào)關(guān)閉4號(hào)，對(duì)1號(hào)進(jìn)行討論，即可判斷5號(hào),由此可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】解：依題意，第一類：若開(kāi)啟3號(hào)，則開(kāi)啟4號(hào)并且關(guān)閉2號(hào)，此時(shí)關(guān)閉1號(hào)，開(kāi)啟5號(hào)，此時(shí)有1種方法；第二類：若關(guān)閉3號(hào)，①開(kāi)啟2號(hào)關(guān)閉4號(hào)或關(guān)閉2號(hào)開(kāi)啟4號(hào)或開(kāi)啟2號(hào)開(kāi)啟4號(hào)時(shí)，則關(guān)閉1號(hào)，開(kāi)啟5號(hào)，此時(shí)有種3方法；②關(guān)閉2號(hào)關(guān)閉4號(hào)，則開(kāi)啟1號(hào)關(guān)閉5號(hào)或開(kāi)啟1號(hào)開(kāi)啟5號(hào)或關(guān)閉1號(hào)，開(kāi)啟5號(hào)，此時(shí)有種3方法；綜上所述，共有種方式.故選：A.本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.4、B【解析】

以重復(fù)使用的數(shù)字為數(shù)字為例，采用插空法可確定符合題意的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；重復(fù)使用每個(gè)數(shù)字的五位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，通過(guò)倍數(shù)關(guān)系求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)重復(fù)使用的數(shù)字為數(shù)字時(shí)，符合題意的五位數(shù)共有：個(gè)當(dāng)重復(fù)使用的數(shù)字為時(shí)，與重復(fù)使用的數(shù)字為情況相同滿足題意的五位數(shù)共有：個(gè)本題正確選項(xiàng)：本題考查排列組合知識(shí)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠明確不相鄰的問(wèn)題采用插空法的方式來(lái)進(jìn)行求解；易錯(cuò)點(diǎn)是在插空時(shí)，忽略數(shù)字相同時(shí)無(wú)順序問(wèn)題，從而錯(cuò)誤的選擇排列來(lái)進(jìn)行求解.5、C【解析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將這個(gè)同學(xué)中新插入的個(gè)同學(xué)重新排序，再利用排列數(shù)的定義可得出答案．【詳解】問(wèn)題等價(jià)于將這個(gè)同學(xué)中新插入的個(gè)同學(xué)重新排序，因此，所有排列的種數(shù)為，故選C.本題考查排列問(wèn)題，解題的關(guān)鍵就是將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中等題．6、C【解析】

整理得到，根據(jù)模長(zhǎng)的運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由得：本題正確選項(xiàng)：本題考查向量模長(zhǎng)的求解，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

先求出6人站成一排，有多少種排法，再計(jì)算把甲、乙、丙3個(gè)人捆綁在一起，再跟剩下的3人排列，有多少種排法，這樣就可以用減法求出甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù).【詳解】求出6人站成一排，有種排法，把甲、乙、丙3個(gè)人捆綁在一起，再跟剩下的3人排列，有種排法，因此甲、乙、丙3個(gè)人不能都站在一起的排法種數(shù)為，故本題選C.本題考查了全排列、捆綁法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8、D【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到，在單調(diào)遞增，得，再由二次函數(shù)的性質(zhì)得到，【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，則，故，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，不等式，或者，的解集為，故選D.此題考查了函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性的應(yīng)用，對(duì)于抽象函數(shù)，且要求解不等式的題目，一般是研究函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，通過(guò)這些性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較，直接比較括號(hào)內(nèi)的自變量的大小即可.9、C【解析】分析：設(shè)與直線x-2y+10=0平行且與橢圓相切的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用，解得，即可得出結(jié)論.詳解：設(shè)與直線x-2y+10=0平行且與橢圓相切的直線方程為，聯(lián)立，化為，，解得，取時(shí)，，解得，，.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的相切與一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.10、B【解析】分析：根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的計(jì)算公式，列出方程，即可求解答案.詳解：由題意隨機(jī)變量，又由，且，解得，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)分布的期望與方差的計(jì)算公式的應(yīng)用，其中熟記二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.11、C【解析】

對(duì)等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義得出，由此可求出、的夾角.【詳解】等式兩邊平方得，即，又，所以，，因此，、夾角為，故選：C.本題考查平面向量夾角的計(jì)算，同時(shí)也考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及平面向量數(shù)量積的定義，考查計(jì)算能力，屬于中等題.12、C【解析】

先分別求出集合A與集合B，再判別集合A與B的關(guān)系，得出結(jié)果.【詳解】，本題考查了集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

每名旅客都有種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出五名旅客投宿的方法種數(shù).【詳解】由于每名旅客都有種選擇，因此，五名旅客在三家旅店投宿的不同方法有種.故答案為：.本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)題意求出直線與拋物線的交點(diǎn)橫坐標(biāo),再根據(jù)定積分求兩部分的面積,列出等式求解即可.【詳解】聯(lián)立或.由圖易得由題設(shè)得,即.即化簡(jiǎn)得.解得.故答案為：本題主要考查了定積分的運(yùn)用,需要根據(jù)題意求到交界處的點(diǎn)橫坐標(biāo),再根據(jù)定積分的幾何意義列式求解即可.屬于中檔題.15、19【解析】按系統(tǒng)抽樣方法，分成4段的間隔為＝13，顯然在第一段中抽取的起始個(gè)體編號(hào)為6，第二段應(yīng)將編號(hào)6＋13＝19的個(gè)體抽出．這就是所要求的．16、4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則故，即本題正確結(jié)果：本題考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)求值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對(duì)稱中心，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，最大【解析】

（1）分和兩段求函數(shù)的解析式，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，求；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，分段求函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以解?因此.（2）①當(dāng)時(shí)，因此，.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單增；當(dāng)時(shí)，，單減.所以.②當(dāng)時(shí)，因此，.因?yàn)?，此時(shí)單減.所以，綜上，發(fā)車時(shí)間間隔為分鐘時(shí)，最大.本題考查了分段函數(shù)求解析式，以及利用導(dǎo)數(shù)解實(shí)際問(wèn)題的最值，本題的關(guān)鍵是正確表達(dá)和.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以可得；，進(jìn)而求出解析式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)所以；當(dāng)時(shí)，；所以（Ⅱ）易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式等價(jià)于，解得，所以原不等式的解集為．本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是由奇偶性先求出解析式，屬于一般題．19、（1）；（2）；【解析】

（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式得時(shí)，，時(shí)，，化簡(jiǎn)計(jì)算可得所求通項(xiàng)公式；（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．【詳解】（1）可得時(shí)，則（2）數(shù)列滿足，可得，即，前項(xiàng)和兩式相減可得化簡(jiǎn)可得本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．20、(1)，;(2).【解析】分析：（1）利用的關(guān)系，求解；倒序相加求。（2）先用錯(cuò)位相減求，分離參數(shù)，使得對(duì)于一切的恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最值。詳解：（1）時(shí)滿足上式，故∵=1∴∵①∴②∴①+②，得.（2）∵，∴∴①，②①－②得即要使得不等式恒成立，恒成立對(duì)于一切的恒成立，即，令，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故所以為所求.點(diǎn)睛：1、，一定要注意，當(dāng)時(shí)要驗(yàn)證是否滿足數(shù)列。2、等比乘等差結(jié)構(gòu)的數(shù)列用錯(cuò)位相減。3、數(shù)列中的恒成立問(wèn)題與函數(shù)中的恒成立問(wèn)題解法一致。21、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，從而，進(jìn)而可得平面；（2）設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，利用向量的加法和數(shù)量積求出，根據(jù)向量的夾角公式可求出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，則，又，∴四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，∴平面；（2）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，異面直線與所成角為，則，，，所以異面直線與所成角的余弦值為.本題考查線面平行的判定，以及異面直線所成的角，利用向量的夾角公式，可方便求出異面直線所成的角，不用建系，不用作圖.22、（I）見(jiàn)解析（II）【解析】

（I）根據(jù)題目所給條件，利用直線與平面垂直的判定方法分別證明出平面PAB以及平面，進(jìn)而得到和，從而推得線面垂直．（II）根據(jù)已知條件，以