上海市徐匯區(qū)上海中學(xué)、復(fù)旦附中等八校2025年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知若存在，使得，則稱與互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，若與互為“1度零點(diǎn)函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．已知e1，e2是單位向量，且e1?e2=0，向量a與eA．定值－1 B．定值1C．最大值1，最小值－1 D．最大值0，最小值－13．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是上的增函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．將6位女生和2位男生平分為兩組，參加不同的兩個(gè)興趣小組，則2位男生在同一組的不同的選法數(shù)為（）A．70 B．40 C．30 D．205．已知雙曲線上有一個(gè)點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，雙曲線的右焦點(diǎn)為F，滿足，且，則雙曲線的離心率e的值是A． B． C．2 D．6．若函數(shù)f(x)=2x+12xA．(-∞,-1) B．(C．(0,1) D．(1,+∞)7．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，則只要將的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度8．定積分的值為()A．3 B．1 C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入m=1,n=3，輸出的x=1.75，則空白判斷框內(nèi)應(yīng)填的條件為（）A． B． C． D．10．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．設(shè)，則的值為（）A．2 B．0 C． D．112．已知函數(shù)，若是函數(shù)的唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若點(diǎn)的柱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為______；14．一根木棍長為4，若將其任意鋸為兩段，則鋸成的兩段木棍的長度有一段大于3的概率為______．15．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為__________．16．從包括甲乙兩人的6名學(xué)生中選出3人作為代表，記事件：甲被選為代表，事件:乙沒有被選為代表，則等于_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）梔子原產(chǎn)于中國，喜溫暖濕潤、陽光充足的環(huán)境，較耐寒.葉，四季常綠；花，芳香素雅.綠葉白花，格外清麗.某地區(qū)引種了一批梔子作為綠化景觀植物，一段時(shí)間后，從該批梔子中隨機(jī)抽取棵測量植株高度，并以此測量數(shù)據(jù)作為樣本，得到該樣本的頻率分布直方圖（單位：），其中不大于（單位：）的植株高度莖葉圖如圖所示.(1)求植株高度頻率分布直方圖中的值；(2)在植株高度頻率分布直方圖中，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表，植株高度落入該區(qū)間的頻率作為植株高度取該區(qū)間中點(diǎn)值的頻率，估計(jì)這批梔子植株高度的平均值.18．（12分）已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷的單調(diào)性，并用定義加以證明；19．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，，分別為線段，上的點(diǎn)，且，，.(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角．20．（12分）2017年10月18日上午9:00,中國共產(chǎn)黨第十九次全國代表大會(huì)在人民大會(huì)堂開幕.代表第十八屆中央委員會(huì)向大會(huì)作了題為《決勝全面建成小康社會(huì)奪取新時(shí)代中國特色社會(huì)主義偉大勝利》的報(bào)告.人們通過手機(jī)、電視等方式關(guān)注十九大盛況.某調(diào)査網(wǎng)站從觀看十九大的觀眾中隨機(jī)選出200人,經(jīng)統(tǒng)計(jì)這200人中通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的人數(shù)與通過新型的傳媒方式PC端口觀看的人數(shù)之比為4:1.將這200人按年齡分組:第1組[15,25),第2組[25,35),第3組[35,45),第4組[45,55),第5組[55,65),其中統(tǒng)計(jì)通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾得到的頻率分布直方圖如圖所示(1）求a的值及通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾的平均年齡（2）把年齡在第1,2,3組的觀眾稱為青少年組,年齡在第4,5組的觀眾稱為中老年組,若選出的200人中通過新型的傳媒方式PC端口觀看的中老年人有12人,請完成下面2×2列聯(lián)表,則能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為觀看十九大的方式與年齡有關(guān)?通過PC端口觀看十九大通過電視端口觀看十九大合計(jì)青少年中老年合計(jì)附:(其中樣本容量)21．（12分）某縣教育局為了檢查本縣甲、乙兩所學(xué)校的學(xué)生對安全知識的學(xué)習(xí)情況，在這兩所學(xué)校進(jìn)行了安全知識測試，隨機(jī)在這兩所學(xué)校各抽取20名學(xué)生的考試成績作為樣本，成績大于或等于80分的為優(yōu)秀，否則為不優(yōu)秀，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖：甲校乙校（1）從乙校成績優(yōu)秀的學(xué)生中任選兩名，求這兩名學(xué)生的成績恰有一個(gè)落在內(nèi)的概率；（2）由以上數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生的成績與兩所學(xué)校的選擇有關(guān)。甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）若是的極值點(diǎn)，求的值.（2）已知函數(shù)，若在區(qū)間（0，1）內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

通過題意先求出函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)計(jì)算出函數(shù)的零點(diǎn)范圍，繼而求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】令，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，解得，，若存在為“度零點(diǎn)函數(shù)”，不妨令由題意可得：或即或設(shè)，當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由題意滿足存在性實(shí)數(shù)的取值范圍為故選本題給出了新定義，按照新定義內(nèi)容考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，結(jié)合零點(diǎn)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分離參量，求出函數(shù)的單調(diào)性，給出參量的取值范圍，本題較為綜合，需要轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，有一定難度。2、A【解析】

由題意可設(shè)e1=(1,0),e【詳解】由題意設(shè)e1=(1,0),e2=(0,1)所以a-所以(x-1)2又a-2所以數(shù)量積a?故選：A．本題考查平面向量基本定理以及模長問題，用解析法，設(shè)出向量的坐標(biāo)，用坐標(biāo)運(yùn)算會(huì)更加方便。3、B【解析】

分別畫出各選項(xiàng)的函數(shù)圖象,由圖象即可判斷.【詳解】由題,畫出各選項(xiàng)函數(shù)的圖象,則選項(xiàng)A為選項(xiàng)B為選項(xiàng)C為選項(xiàng)D為由圖象可知,選項(xiàng)B滿足既是奇函數(shù)又是上的增函數(shù),故選:B本題考查判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,考查基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì).4、C【解析】

先確定與2位男生同組的女生，再進(jìn)行分組排列，即得結(jié)果【詳解】2位男生在同一組的不同的選法數(shù)為，選C.本題考查分組排列問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】

設(shè)是雙曲線的左焦點(diǎn)，由題可得是一個(gè)直角三角形，由，可用表示出，，利用雙曲線定義列方程即可求解．【詳解】依據(jù)題意作圖，如下：其中是雙曲線的左焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以，由雙曲線的對稱性可得：四邊形是一個(gè)矩形，且，在中，，,,由雙曲線定義得：，即：，整理得：，故選B本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)及雙曲線定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

由f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求a，代入即可求解不等式．【詳解】∵f（x）=2x∴f（﹣x）=﹣f（x）即2整理可得，1+∴1﹣a?2x=a﹣2x∴a=1，∴f（x）=2∵f（x））=2x∴2x+12整理可得，2x∴1＜2x＜2解可得，0＜x＜1故選C．本題主要考查了奇函數(shù)的定義的應(yīng)用及分式不等式的求解，屬于基礎(chǔ)試題．7、D【解析】

先根據(jù)圖象確定A的值，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)結(jié)果的點(diǎn)求出求與的值，確定函數(shù)的解析式，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為余弦函數(shù)，再平移即可得到結(jié)果．【詳解】由題意，函數(shù)的部分圖象，可得，即，所以，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，可得，求得，故．函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得的圖象，則只要將的圖象向右平移個(gè)單位長度可得的圖象，故選：D．本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

運(yùn)用定積分運(yùn)算公式，進(jìn)行求解計(jì)算.【詳解】，故本題選C.本題考查了定積分的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】當(dāng)?shù)谝淮螆?zhí)行，返回，第二次執(zhí)行，返回，第三次，，要輸出x,故滿足判斷框，此時(shí)，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查含循環(huán)結(jié)構(gòu)的框圖問題．屬于中檔題．處理此類問題時(shí)，一般模擬程序的運(yùn)行，經(jīng)過幾次運(yùn)算即可跳出循環(huán)結(jié)束程序，注意每次循環(huán)后變量的變化情況，尋找規(guī)律即可順利解決，對于運(yùn)行次數(shù)比較多的循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般能夠找到周期或規(guī)律，利用規(guī)律或周期確定和時(shí)跳出循環(huán)結(jié)構(gòu)，得到問題的結(jié)果.10、D【解析】

在上為增函數(shù)，可以得到是為增函數(shù)，時(shí)是增函數(shù)，并且時(shí)，，利用關(guān)于的三個(gè)不等式求解出的取值范圍.【詳解】由題意，在上為增函數(shù)，則，解得，所以的取值范圍為.故選：D本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的理解分析能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

分別令和即可求得結(jié)果.【詳解】令，可得：令，可得：故選本題考查二項(xiàng)展開式系數(shù)和的相關(guān)計(jì)算，關(guān)鍵是采用賦值的方式構(gòu)造出所求式子的形式.12、A【解析】分析：由f（x）的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點(diǎn)，令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要對k進(jìn)行分類討論來確定導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的根．詳解：∵函數(shù)的定義域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函數(shù)f（x）的唯一一個(gè)極值點(diǎn)∴x=1是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=0的唯一根．∴ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點(diǎn)，令g（x）=ex﹣kxg′（x）=ex﹣k①k≤0時(shí)，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時(shí)單調(diào)遞增的g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解②k＞0時(shí)，g′（x）=0有解為：x=lnk0＜x＜lnk時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減lnk＜x時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增∴g（x）的最小值為g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=ex和y=ex圖象，它們切于（1，e），綜上所述，k≤e．故答案為：A．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析轉(zhuǎn)化ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點(diǎn).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式求得直角坐標(biāo)。【詳解】由柱坐標(biāo)可知，所以，所以直角坐標(biāo)為。所以填?？臻g點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與柱坐標(biāo)(ρ,θ,Z)之間的變換公式為。14、【解析】

試驗(yàn)的全部區(qū)域長度為4，基本事件的區(qū)域長度為2，代入幾何概型概率公式即可得結(jié)果．【詳解】設(shè)“長為4的木棍”對應(yīng)區(qū)間，“鋸成的兩段木棍的長度有一段大于3”為事件，則滿足的區(qū)間為或，根據(jù)幾何概率的計(jì)算公式可得，．故答案為．本題主要考查幾何概型等基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與長度有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總長度以及事件的長度.15、【解析】分析：過作，垂足為，則平面，則即為所求平面角，從而可得結(jié)果.詳解：依題意，畫出圖形，如圖，過作，垂足為，由平面，可得，所以平面，則即為所求平面角，因?yàn)椋?，所以，故答案?點(diǎn)睛：本題考查長方體的性質(zhì)，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.求直線與平面所成的角由兩種方法：一是傳統(tǒng)法，證明線面垂直找到直線與平面所成的角，利用平面幾何知識解答；二是利用空間向量，求出直線的方向向量以及平面的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式求解即可.16、【解析】因?yàn)?，所以。?yīng)填答案。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1.60.【解析】

（1）根據(jù)莖葉圖可得頻率，從而可計(jì)算.（2）利用組中值可計(jì)算植株高度的平均值.【詳解】（1）由莖葉圖知，.由頻率分布直方圖知，所以.（2）這批梔子植株高度的平均值的估計(jì)值.本題考查頻率的計(jì)算及頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)；(2)在定義域上是減函數(shù)．證明見解析【解析】

（1）直接根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)f（0）＝0，求出a，再進(jìn)行驗(yàn)證；（2）先判斷函數(shù)單調(diào)遞減，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義用作差比較法證明；【詳解】（1）由題知的定義域?yàn)?，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即解得.經(jīng)驗(yàn)證可知是奇函數(shù)，所以.（2）在定義域上是減函數(shù)，由（1）知，，任取，且，所以.，，，即所以在定義域上是減函數(shù)．本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，屬于中檔題．19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，直接證明，即可得出結(jié)果；（2）先由題意得到，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由向量夾角公式，即可求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意知，，，所以，所以，所以，又易知，所以，所以，又，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，所以平面，所以，因?yàn)?，，所以平面?2)由(1)知，，兩兩互相垂直，所以可建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，即，所以，則，，，，所以，，．因?yàn)?，，所以，?1)知，所以，又平面，所以，因?yàn)椋云矫?，所以為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，得，，所以為平面的一個(gè)法向量．所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，故平面與平面所成的銳二面角為.本題主要考查證明線面垂直，以及求二面角的大小，熟記線面垂直的判定定理，以及二面角的空間向量的求法即可，屬于常考題型.20、見解析；（2）見解析【解析】分析：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，進(jìn)而可求得通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾的平均年齡；（2）由題意得列聯(lián)表，利用公式計(jì)算的值，即可作出判斷.詳解：（1）由頻率分布直方圖可得:解得所以通過傳統(tǒng)的傳媒方式電視端口觀看的觀眾的平均年齡為:（2）由題意得2×2列聯(lián)表:通過PC端口觀看十九大通過電視端口觀看十九大合計(jì)青少年2896124中老年126476合計(jì)40160200計(jì)算得的觀測值為,所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為觀看十九大的方式與年齡有關(guān).點(diǎn)睛：本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，其中熟記頻率發(fā)布直方圖的性質(zhì)和準(zhǔn)確計(jì)算的值是解答此類問