13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)授課人：XXX1.如圖，連接A，B兩點(diǎn)的所有線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短.2.如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PC最短，因?yàn)榇咕€段最短.導(dǎo)入新知PlABCD3.在以前學(xué)習(xí)過(guò)哪些有關(guān)線段大小的結(jié)論？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)？AlA′導(dǎo)入新知1.能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題.2.體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想．素養(yǎng)目標(biāo)“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱之為最短路徑問(wèn)題.AB①②③PlABCD利用對(duì)稱知識(shí)解決最短路徑問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史上著名的“牧馬人飲馬問(wèn)題”及“造橋選址問(wèn)題”.探究新知

如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問(wèn)題作圖問(wèn)題：在直線l上求作一點(diǎn)C,使AC+BC最短問(wèn)題.實(shí)際問(wèn)題ABl探究新知

現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.解：連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)C.問(wèn)題1：AlBC探究新知如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決所走路徑最短的問(wèn)題？【思考】對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l

的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？ABl利用軸對(duì)稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.問(wèn)題2：探究新知作法：（1）作點(diǎn)B

關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．ABlB′C探究新知你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C

不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴

AC+BC=AC+B′C=AB′，

∴

AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC

最短．問(wèn)題3：ABlB′CC′探究新知例1如圖，已知點(diǎn)D,點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC,AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱.∵點(diǎn)F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長(zhǎng)即為BF+EF的最小值.而CE=AD.B最短路徑問(wèn)題的應(yīng)用素養(yǎng)考點(diǎn)探究新知方法點(diǎn)撥此類求線段和的最小值問(wèn)題，找準(zhǔn)對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長(zhǎng)的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長(zhǎng)，再根據(jù)已知條件求解.探究新知如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）DPQlA.MPQlB.MPQlC.MPQlD.M鞏固練習(xí)如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問(wèn)該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)（保留作圖痕跡）.解：如圖，P點(diǎn)即為該點(diǎn).鞏固練習(xí)例2如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），點(diǎn)C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（0，3）B．（0，2）C．（0，1）D．（0，0）解析：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，然后依據(jù)點(diǎn)A與點(diǎn)B′的坐標(biāo)可得到BE、AE的長(zhǎng)，然后證明△B′C′O為等腰直角三角形即可．B′C′EA鞏固練習(xí)方法點(diǎn)撥求三角形周長(zhǎng)的最小值，先確定動(dòng)點(diǎn)所在的直線和固定點(diǎn)，而后作某一固定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，而后將其與另一固定點(diǎn)連線，連線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為三角形周長(zhǎng)最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置.探究新知如圖，已知牧馬營(yíng)地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，然后回到營(yíng)地，請(qǐng)你替牧馬人設(shè)計(jì)出最短的放牧路線.解：如圖AP+AB即為最短的放牧路線.探究新知

如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）？BAABNM利用平移知識(shí)解決造橋選址問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)2探究新知BA●●

?NMNNM

如圖假定任選位置造橋MN，連接AM和BN，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定橋的位置，才能使A到B的路徑最短呢？M探究新知【思考】我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.BAＭＮ探究新知BAＭＮA'B'1.把A平移到岸邊.AM+MN+BN長(zhǎng)度改變了.2.把B平移到岸邊.AM+MN+BN長(zhǎng)度改變了.探究新知BAＭＮ3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.AM+MN+BN長(zhǎng)度有沒(méi)有改變呢？探究新知BAA1MN如圖，平移A到A1，使AA1等于河寬，連接A1B交河岸于N作橋MN，此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N1，連接AM1，BN1，A1N1.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA1＋A1B，而AM1+M1N1+BN1轉(zhuǎn)化為AA1＋A1N1+BN1.在△A1N1B中，因?yàn)锳1N1+BN1＞A1B.因此AM1+M1N1+BN1

＞AM+MN+BN.探究新知A·BMNECD證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM

且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A到B的路徑長(zhǎng)為AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC,CD,DB,CE,則A到B的路徑長(zhǎng)為AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB

＞AM+MN+BN，故橋的位置建在MN處，A到B的路徑最短.探究新知解決最短路徑問(wèn)題的方法

在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇.方法點(diǎn)撥探究新知牧馬人從A地出發(fā)，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到B處，請(qǐng)畫出最短路徑.A′B′PQ....鞏固練習(xí)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DE C．BD D．AF解析：如圖，連接CP，由AD=CD，∠ADP=∠CDP=45°，DP=DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP=CP，∴AP+PE=CP+PE，∴當(dāng)點(diǎn)E，P，C在同一直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE長(zhǎng)，此時(shí)，由AB=CD，∠ABF=∠CDE，BF=DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF=CE，∴AP+EP最小值等于線段AF的長(zhǎng)．D鏈接中考1.如圖，直線m同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，A、A′關(guān)于直線m對(duì)稱，A、B關(guān)于直線n對(duì)稱，直線m與A′B和n分別交于P、Q，下面的說(shuō)法正確的是（）A．P是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn)，

Q是m上到A、B距離相等的點(diǎn).

B．Q是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn)，

P是m上到A、B距離相等的點(diǎn).

C．P、Q都是m上到A、B距離之和最短的點(diǎn).

D．P、Q都是m上到A、B距離相等的點(diǎn).A基礎(chǔ)鞏固題.課堂檢測(cè)2.如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10．在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R．若△PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是（）A．10B．15C．20D．30A課堂檢測(cè)3.如圖，牧童在A處放馬，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點(diǎn)A到河岸CD的中點(diǎn)的距離為500米，則牧童從A處把馬牽到河邊飲水再回家，所走的最短距離是

米.ACBD河1000課堂檢測(cè)4.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△AOB的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（3，2），B（1，3）．點(diǎn)P在x軸上，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，在圖中畫出點(diǎn)P．xyOBAB'P解析：作出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).課堂檢測(cè)如圖，荊州古城河在CC′處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到B處，須經(jīng)兩座橋：DD′,EE′（橋?qū)挷挥?jì)），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，怎樣架橋可使ADD′E′EB的路程最短？ADD′CC′EE′B能力提升題課堂檢測(cè)解：作AF⊥CD,且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF,與河岸相交于E′,D′.作DD′,EE′即為橋.理由：由作圖法可知，AF//DD′，AF=DD′，則四邊形AFD′D為平行四邊形，于是AD=FD′,同理，BE=GE′，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，GF最小.AD′CC′EE′BFGD課堂檢測(cè)（1）如圖①，在AB直線一側(cè)C、D兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P，使C、D、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出此點(diǎn)并說(shuō)明理由．（2）如圖②，在∠AOB內(nèi)部有一點(diǎn)P，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、P三點(diǎn)組成的三角形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說(shuō)明理由．（3）如圖③，在∠AOB內(nèi)部有兩點(diǎn)M、N，是否在OA、OB上分別存在點(diǎn)E、F，使得E、F、M、N，四點(diǎn)組成的四邊形的周長(zhǎng)最短，找出E、F兩點(diǎn)，并說(shuō)明理由．ABCDPOABNOABM圖①圖②圖③圖①圖②圖③拓廣探索題課堂檢測(cè)ABCDM'C'P圖①POABP'P''EF圖②NOABMN'EF圖③課堂檢測(cè)原理線段公理和垂線段最短最短路徑問(wèn)題解題方法造橋選址問(wèn)題關(guān)鍵是將固定線段“橋”平移最短路徑問(wèn)題軸對(duì)稱知識(shí)+線段公理解題方法課堂小結(jié)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習(xí)題中選取自主安排配套練習(xí)冊(cè)練習(xí)課后作業(yè)相關(guān)內(nèi)容延伸學(xué)習(xí)，授課時(shí)可參考?！墩n題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題》教案一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能理解并掌握利用軸對(duì)稱解決兩點(diǎn)之間最短路徑問(wèn)題，能將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決。掌握“垂線段最短”“兩點(diǎn)之間，線段最短”等基本原理在最短路徑問(wèn)題中的應(yīng)用。過(guò)程與方法通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和轉(zhuǎn)化能力。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。通過(guò)小組合作探究，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和勇于探索的科學(xué)態(tài)度，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中體驗(yàn)成功的喜悅。二、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題。能運(yùn)用軸對(duì)稱和平移等知識(shí)解決實(shí)際生活中的最短路徑問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)如何通過(guò)軸對(duì)稱和平移等變換，將復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并找到最短路徑的構(gòu)造方法。理解最短路徑問(wèn)題的證明思路，培養(yǎng)邏輯推理能力。三、教學(xué)方法講授法、演示法、討論法、探究法相結(jié)合，利用多媒體輔助教學(xué)，通過(guò)動(dòng)畫演示、實(shí)際操作等方式幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。四、教學(xué)過(guò)程（一）情境導(dǎo)入（5分鐘）展示生活中的實(shí)際問(wèn)題圖片或視頻，如：一位將軍從城堡A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去城堡B開(kāi)會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？提出問(wèn)題：“同學(xué)們，如果你是這位將軍，你會(huì)如何選擇路線呢？”引導(dǎo)學(xué)生思考并發(fā)表自己的想法，從而引出本節(jié)課的課題——最短路徑問(wèn)題。（二）知識(shí)回顧（3分鐘）提問(wèn)學(xué)生：“我們學(xué)過(guò)的關(guān)于最短路徑的知識(shí)有哪些？”引導(dǎo)學(xué)生回顧“垂線段最短”“兩點(diǎn)之間，線段最短”等基本原理。簡(jiǎn)單舉例，加深學(xué)生對(duì)這些原理的理解，為后續(xù)解決最短路徑問(wèn)題做好鋪墊。（三）探究新知（20分鐘）探究一：兩點(diǎn)在直線異側(cè)的最短路徑問(wèn)題多媒體展示問(wèn)題：如圖，A，B兩點(diǎn)在直線l的異側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最短。引導(dǎo)學(xué)生分析：根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，直接連接AB，與直線l的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)C。讓學(xué)生在練習(xí)本上畫出圖形，并說(shuō)明理由。探究二：兩點(diǎn)在直線同側(cè)的最短路徑問(wèn)題提出問(wèn)題：如果A，B兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最短，又該如何解決呢？組織學(xué)生小組討論，嘗試尋找解決方法。教師巡視各小組，參與討論，適時(shí)引導(dǎo)。利用多媒體動(dòng)畫演示：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線l的交點(diǎn)C即為所求。讓學(xué)生觀察動(dòng)畫，理解為什么這樣找到的點(diǎn)C能使AC+BC最短。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的證明：因?yàn)辄c(diǎn)B和點(diǎn)B′關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l是線段BB′的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得BC=B′C。所以AC+BC=AC+B′C，而根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，AB′最短，即當(dāng)點(diǎn)C為AB′與直線l的交點(diǎn)時(shí)，AC+BC最短。探究三：造橋選址問(wèn)題展示問(wèn)題：如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）引導(dǎo)學(xué)生分析：由于河寬是固定的，即MN的長(zhǎng)度是定值，所以要使路徑AMNB最短，只需AM+NB最短?？梢酝ㄟ^(guò)平移的方法，將AM+NB轉(zhuǎn)化為在同一條直線上的線段和。動(dòng)畫演示解題過(guò)程：將點(diǎn)A沿垂直于河岸的方向向下平移，使平移的距離等于河寬，得到點(diǎn)A′，連接A′B，與靠近B地的河岸交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作MN垂直于河岸，交對(duì)岸于點(diǎn)M，則MN即為所求的橋的位置。組織學(xué)生進(jìn)行證明：因?yàn)锳A′=MN，且AA′∥MN，所以四邊形AA′NM是平行四邊形，所以AM=A′N，那么AM+NB=A′N+