向量法在中學(xué)幾何中的應(yīng)用案例分析綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u27866向量法在中學(xué)幾何中的應(yīng)用案例分析綜述 1216341.1用向量數(shù)量積來(lái)解決幾何問(wèn)題 1101121.2通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解決幾何問(wèn)題 3240871.3利用法向量求解幾何中的線面角、面面角問(wèn)題 41.1用向量數(shù)量積來(lái)解決幾何問(wèn)題1.1.1用向量解決立體幾何問(wèn)題一些經(jīng)典問(wèn)題的解題思路：(1)如何將問(wèn)題中給到我們的已知條件。如線段、角度等。轉(zhuǎn)化為向量表示；(2)思考一下能不能夠用“基向量”，或者已經(jīng)知曉的其他向量來(lái)表示未知向量；(3)針對(duì)題目所提出的問(wèn)題。如何巧妙運(yùn)用“已知向量”進(jìn)行計(jì)算，來(lái)得到我們所需結(jié)果。1.1.2利用向量的數(shù)量積解決問(wèn)題用其定義及性質(zhì)可解決的問(wèn)題：(1)利用定義?？捎脕?lái)解決：兩向量數(shù)量積及夾角問(wèn)題；(2)利用性質(zhì)?？梢越鉀Q線段或直線的垂直問(wèn)題；(3)利用性質(zhì)?？捎脕?lái)解決：求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題。求兩點(diǎn)間的距離問(wèn)題。1.1.3例題及解析例1.如圖3-1所示,空間四邊形OABC中，求證：．圖3-1例2.如圖3-2所示，已經(jīng)知道線段在平面內(nèi)，線段，線段，線段，QUOTE∠DBD'=30°，如果，求間的距離．解： 圖3-2例3：如圖3-3，分別是棱長(zhǎng)為1的正方立體圖形的棱的中點(diǎn)．請(qǐng)求出異面直線所成的角．圖3-31.1.4小結(jié)用向量解幾何題一般方法：通讀題目，把握題意。將題中相關(guān)的已知條件“向量化”。再用已知向量表示未知向量。然后用這些向量去計(jì)算、證明。最終得出答案。1.2通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解決幾何問(wèn)題1.2.1將立體幾何問(wèn)題“向量化”的途徑1.我們可以用一組基向量來(lái)協(xié)助問(wèn)題解決。起到主要協(xié)助作用的是向量的各種基本概念和運(yùn)算規(guī)律。2.還可以用空間直角坐標(biāo)系協(xié)助問(wèn)題解決。這個(gè)方法運(yùn)用：用坐標(biāo)把向量轉(zhuǎn)化為數(shù)和它的運(yùn)算。來(lái)解決問(wèn)題。1.2.2例題及解析例1.如圖3-4，在正方體中，的中點(diǎn)，求證：證明：不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為：1個(gè)單位長(zhǎng)度圖3-4提示：(1)“不妨設(shè)”可以算是向量解題當(dāng)中的一個(gè)小巧思。它的作用主要與一部分和題要沾不上邊的數(shù)據(jù)有關(guān)，可以設(shè)定它們。能起到一定簡(jiǎn)化題目的作用。如立體幾何的常見(jiàn)問(wèn)題：求角的大小。判斷決定直線間的位置關(guān)系。判斷決定直線與平面的位置關(guān)系時(shí)。都可以運(yùn)用到“不妨設(shè)”這個(gè)小巧思。(2)怎么才能正確構(gòu)建一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。我們可以選任意一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底[15]。但是在實(shí)際操作中，還是要考慮點(diǎn)、線、面的基本特征。正確處理好它們應(yīng)該處在的位置，才能起到簡(jiǎn)化答題的作用。例2.證：假若有兩條直線，它們都關(guān)于同一平面垂直。就可以說(shuō)它們是平行的。把這句話改寫(xiě)成一個(gè)題目：已知求證：．證明：如圖3-5所示，我們把點(diǎn)當(dāng)作原點(diǎn)，把這條有向線段作為正軸，建立空間直角坐標(biāo)系為沿軸，軸，軸的坐標(biāo)向量，再假設(shè)。提示：圖3-51.法向量的定義：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱(chēng)這個(gè)向量垂直于平面，記作．如果，那么向量叫做平面的法向量。2.有三個(gè)步驟可以用來(lái)解決問(wèn)題：首先是將一個(gè)直觀的問(wèn)題想辦法用向量的方式呈現(xiàn)出來(lái)。接下來(lái)就是進(jìn)行運(yùn)算，套用各種向量公式。得出答案后再回歸到原來(lái)的題目[16]中去。1.3利用法向量求解幾何中的線面角、面面角問(wèn)題1.1.1法向量的定義假若有一條，我們就把直線的方向向量定義為，那么這個(gè)向量QUOTEa就叫作平面的法向量。利用法向量：可以巧妙解決空間角度問(wèn)題。距離問(wèn)題。1.1.2用法向量求解線面角、面面角有一條直線和一個(gè)平面，它們之間形成了一個(gè)角。這個(gè)角又可以看成是表示成的向量所在的直線。和這個(gè)平面的法向量所處的一條直線的夾角的余角。求線面角的問(wèn)題可以變通為。求表示直線的這個(gè)向量和這個(gè)平面的法向量之間所夾的線線角。兩個(gè)向量之間夾角的余弦公式如下：QUOTEcosa,b=abaQUOTEb?？梢缘玫饺缦孪蛄糠ǖ墓剑篞UOTEsinθ=cosAB,1.1.3如何利用向量求解空間距離1.兩異面直線的距離。可以轉(zhuǎn)化為：與這兩者都相交的線段。在其公垂向量上的投影長(zhǎng)度。2.點(diǎn)到平面的距離。可以轉(zhuǎn)化為：過(guò)這點(diǎn)的平面的斜線。在平面法向量上的投影長(zhǎng)度。1.1.4例題及解析例1.解：以點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸。建立空間直角坐標(biāo)系。則圖3-6所以，直線與平面所成角的正弦為。向量屬近代數(shù)學(xué)的核心概念。自其被引入中學(xué)數(shù)學(xué)教材后