山西省臨汾市高級(jí)中學(xué)2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若在和處切線平行，則（）A．B．C．D．2．若點(diǎn)O和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為（）A．[3-,） B．[3+,） C．[,） D．[,）3．“夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”是以我國(guó)哪位數(shù)學(xué)家命名的數(shù)學(xué)原理（）A．楊輝 B．劉微 C．祖暅 D．李淳風(fēng)4．在等差數(shù)列中，，則為（）A．2 B．3 C．4 D．55．復(fù)數(shù)在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．王老師在用幾何畫板同時(shí)畫出指數(shù)函數(shù)（）與其反函數(shù)的圖象，當(dāng)改變的取值時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖象時(shí)而無交點(diǎn)，并且在某處只有一個(gè)交點(diǎn)，則通過所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)，我們可以求出當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的值為（）A． B． C． D．7．,若,則的值等于（）A．B．C．D．8．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍是A． B． C． D．10．已知，則()A． B． C． D．以上都不正確11．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5+a7+a9＝21，則S13＝（）A．36 B．72 C．91 D．18212．《數(shù)學(xué)統(tǒng)綜》有如下記載：“有凹錢，取三數(shù)，小小大，存三角”.意思是說“在凹（或凸）函數(shù)（函數(shù)值為正）圖象上取三個(gè)點(diǎn)，如果在這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)中兩個(gè)較小數(shù)之和最大的數(shù)，則存在將這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)值作為三邊長(zhǎng)的三角形”.現(xiàn)已知凹函數(shù)，在上取三個(gè)不同的點(diǎn)，均存在為三邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的二項(xiàng)展開式中的的系數(shù)為，則__________．14．已知函數(shù)若方程恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解..，則的取值范圍是__________.15．已知函數(shù)的零點(diǎn)，則整數(shù)的值為______.16．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠甲、乙兩條相互獨(dú)立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知，甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為相.（1）若從甲、乙兩條生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品。至少有一件合格的概率為.求的值：（2）在（1）的前提下，假設(shè)每生產(chǎn)一件不合格的產(chǎn)品，甲、乙兩條生產(chǎn)錢損失分別為元和元，若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢件產(chǎn)品。估計(jì)哪條生產(chǎn)線的損失較多？（3）若產(chǎn)品按照一、二、三等級(jí)分類后銷售，每件可分別獲利元，元，元，現(xiàn)從甲、乙生產(chǎn)線各隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測(cè)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示。用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為，求的分布列并估計(jì)該廠產(chǎn)量為件時(shí)利潤(rùn)的期望值.18．（12分）《流浪地球》是由劉慈欣的科幻小說改編的電影，在2019年春節(jié)檔上影，該片上影標(biāo)志著中國(guó)電影科幻元年的到來；為了振救地球，延續(xù)百代子孫生存的希望，無數(shù)的人前仆后繼，奮不顧身的精神激蕩人心，催人奮進(jìn).某網(wǎng)絡(luò)調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了大量觀眾的評(píng)分，得到如下統(tǒng)計(jì)表：評(píng)分12345678910頻率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36（1）求觀眾評(píng)分的平均數(shù)？（2）視頻率為概率，若在評(píng)分大于等于8分的觀眾中隨機(jī)地抽取1人，他的評(píng)分恰好是10分的概率是多少？（3）視頻率為概率，在評(píng)分大于等于8分的觀眾中隨機(jī)地抽取4人，用表示評(píng)分為10分的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.若直線與曲線相切.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）在曲線上任取兩點(diǎn)，，該兩點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成，且滿足，求面積的最大值.20．（12分）為評(píng)估設(shè)備生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100件零件作為樣本，測(cè)量其直徑后，整理得到下表：直徑5859616263646566676869707173合計(jì)件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計(jì)算，樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，以頻率值作為概率的估計(jì)值，用樣本估計(jì)總體.（1）將直徑小于等于或直徑大于的零件認(rèn)為是次品，從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取3個(gè)零件，計(jì)算其中次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（2）為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判（表示相應(yīng)事件的概率）：①；②；③.評(píng)判規(guī)則為：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則設(shè)備等級(jí)為甲；僅滿足其中兩個(gè)，則等級(jí)為乙；若僅滿足其中一個(gè)，則等級(jí)為丙；若全部不滿足，則等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備的性能等級(jí)并說明理由.21．（12分）我校食堂管理人員為了解學(xué)生在校月消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.如圖是根據(jù)調(diào)査的結(jié)果繪制的學(xué)生在校月消費(fèi)金額的頻率分布直方圖.已知，，金額段的學(xué)生人數(shù)成等差數(shù)列，將月消費(fèi)金額不低于550元的學(xué)生稱為“高消費(fèi)群”.（1）求m，n值，并求這100名學(xué)生月消費(fèi)金額的樣本平均數(shù).（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“高消費(fèi)群”與性別有關(guān)？高消費(fèi)群非高消費(fèi)群合計(jì)男女1050合計(jì)附：，其中0.100.050.0100.005K02.7063.8416.6357.87922．（10分）（1）已知，求復(fù)數(shù)；（2）已知復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，且，求復(fù)數(shù)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得，得到，則，由x1≠x2，利用基本不等式求得x12+x22＞1．【詳解】由f（x）lnx，得f′（x）（x＞0），∴，整理得：，則，∴，則，∴x1x2≥2，∵x1≠x2，∴x1x2＞2．∴2x1x2＝1．故選：A．本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．2、B【解析】

由題意可得,,故.設(shè),則.

關(guān)于

對(duì)稱,故

在上是增函數(shù),當(dāng)時(shí)有最小值為,無最大值,故的取值范圍為,

故選B.3、C【解析】

由題意可得求不規(guī)則幾何體的體積的求法，即運(yùn)用祖暅原理.【詳解】“夫疊棋成立積，緣冪勢(shì)既同，則積不容異”的意思是“夾在兩平行平面之間的兩個(gè)幾何體被平行于這兩個(gè)平行平面的任意平面所截，如果兩個(gè)截面面積仍然相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”，這就是以我國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅命名的數(shù)學(xué)原理，故選：C.本題考查祖暅原理的理解，考查空間幾何體體積的求法，考查對(duì)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由等差數(shù)列性質(zhì)，得，問題得解.【詳解】是等差數(shù)列，，，解得.故選：A本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】分析：先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再判斷其在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限.詳解：由題得，所以復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限.故答案為B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（a,b）,點(diǎn)（a,b）所在的象限就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.復(fù)數(shù)和點(diǎn)（a,b）是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.6、B【解析】

當(dāng)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則在該點(diǎn)的公切線的斜率相等，列出關(guān)于的方程.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，解得：故選B.本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要注意根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的凹凸性，得到在其公共點(diǎn)處公切線的斜率相等.7、D【解析】試題分析：考點(diǎn)：函數(shù)求導(dǎo)數(shù)8、C【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積．【詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點(diǎn)，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C本題主要考查正弦定理和線面位置關(guān)系，考查了幾何體外接球的應(yīng)用問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.解題的關(guān)鍵求外接球的半徑．9、C【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)和，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，得或．時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，且，此時(shí)在必有零點(diǎn)，故不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，且，要使得存在唯一的零點(diǎn)，且，只需，即，則，選C．考點(diǎn)：1、函數(shù)的零點(diǎn)；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．10、B【解析】由題意可得：據(jù)此有：.本題選擇B選項(xiàng).11、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出,根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得.【詳解】因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,所以,所以,所以.故選C.本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和.屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由題意，三點(diǎn)的縱坐標(biāo)中兩個(gè)較小數(shù)之和小于等于2，可得m2﹣m+2≤2，即可得出結(jié)論．【詳解】易知，所以，在上的最小值為.由題意可知，當(dāng)，∴或，，故選A.本題考查新定義，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

，所以9-3r=6,r=1,=9,,故填1.14、【解析】

通過作出函數(shù)圖像，將三個(gè)實(shí)數(shù)解問題轉(zhuǎn)化為三個(gè)交點(diǎn)問題，可得m的取值范圍，于是再解出c的取值范圍可得最后結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)圖像，由圖可知，恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，于是，而，，解得，故，所以的取值范圍是.本題主要考查函數(shù)圖像的運(yùn)用，分段函數(shù)的交點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，圖像識(shí)別能力，對(duì)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想要求較高.15、3【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知若存在零點(diǎn)則零點(diǎn)唯一，由零點(diǎn)存在定理可判斷出零點(diǎn)所在區(qū)間，從而求得結(jié)果.【詳解】由題意知：在上單調(diào)遞增若存在零點(diǎn)，則存在唯一一個(gè)零點(diǎn)又，由零點(diǎn)存在定理可知：，則本題正確結(jié)果：本題考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】試題分析：根據(jù)題意，記白球?yàn)锳，紅球?yàn)锽，黃球?yàn)?，則一次取出2只球，基本事件為、、、、、共6種，其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種；所以所求的概率是．考點(diǎn)：古典概型概率三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)乙生產(chǎn)線損失較多.(3)見解析【解析】

（1）利用對(duì)立事件概率公式可得；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可得；（3）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖得三個(gè)等級(jí)的概率，求出隨機(jī)變量的分布列，利用公式求得期望．【詳解】（1）由題意，知，解得.（2）由（1）知，甲生產(chǎn)線產(chǎn)品不合格率為，乙生產(chǎn)線產(chǎn)品不合格率為.設(shè)從甲、乙生產(chǎn)線各隨機(jī)抽檢件產(chǎn)品，抽到不合格品件數(shù)分別為和，則，，所以，甲、乙損失的平均數(shù)分別為，.所以，乙生產(chǎn)線損失較多.（3）由題意，知，，.因?yàn)椋?，，所以的分布列為所以，（元）．所以，該產(chǎn)量為件時(shí)利潤(rùn)的期望值為元.本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求解，對(duì)于求離散型隨機(jī)變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可能取值，計(jì)算得出概率，列出離散型隨機(jī)變量概率分布列，最后由期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望，其中列出離散型隨機(jī)變量概率分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問題.18、（1）8；（2）；（3）分布列見解析，2.【解析】

（1）利用平均數(shù)的公式求解即可；（2）所求概率為評(píng)分恰好是10分的概率與評(píng)分大于等于8分的概率的比,即可求解；（3）由題知服從,進(jìn)而去利用公式求解分布列及期望即可.【詳解】（1）設(shè)觀眾評(píng)分的平均數(shù)為,則（2）設(shè)A表示事件“1位觀眾評(píng)分不小于8分”,B表示事件“1位觀眾評(píng)分是10分”（3）由題知服從,（,1,2,3,4）則的分布列為：01234P本題考查平均數(shù),考查二項(xiàng)分布的分布列與期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.19、（1）；（2）【解析】

（1）由直線與圓相切，可得圓心到直線的距離等于半徑，列方程求解,進(jìn)而由直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)即可；（2）設(shè)，（，，），由，展開利用三角函數(shù)求最值即可.【詳解】（1）由題意可知，直線的直角坐標(biāo)方程為.曲線是圓心為，半徑為的圓，由直線與曲線相切可得.可知曲線的直角坐標(biāo)方程為.所以曲線的極坐標(biāo)方程為，即.（2）由（1）不妨設(shè)，（，，）..當(dāng)時(shí)，面積的最大值為.本題主要考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，考查了極坐標(biāo)系下三角形的面積公式，考查了三角函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.20、（1）；（2）設(shè)備的性能為丙級(jí)別.理由見解析【解析】

（1）對(duì)于次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合條件的次品數(shù)/樣本總數(shù)，次品可通過尋找直徑小于等于或直徑大于的零件個(gè)數(shù)求得，再根據(jù)該分布符合，進(jìn)行期望的求值（2）根據(jù)（2）提供的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，再結(jié)合樣本數(shù)據(jù)算出在每個(gè)對(duì)應(yīng)事件下的概率，通過比較發(fā)現(xiàn)，，，三個(gè)條件中只有一個(gè)符合，等級(jí)為丙【詳解】解：（1）由圖表知道：直徑小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共計(jì)6件，從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上任取一件，取到次品的概率為，依題意，故；（2）由題意知，，，，，，，所以由圖表知道：，，，所以該設(shè)備的性能為丙級(jí)別.對(duì)于正態(tài)分布題型的數(shù)據(jù)分析，需要結(jié)合的含義來進(jìn)行