湖南省湘南聯(lián)盟2025屆數(shù)學(xué)高二下期末聯(lián)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．把四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有號(hào)的盒子中，不允許有空盒子的放法有（）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“（，）”的過(guò)程中，由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是（）A． B．C． D．3．下列命題中：①“x>y”是“x②已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3，??③線性回歸直線方程y=bx+④命題“?x∈R，x2+x+1>0其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為圓心、為半徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．以下四個(gè)命題，其中正確的個(gè)數(shù)有（）①由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有的把握認(rèn)為物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)，某人數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，則他有99%的可能物理優(yōu)秀.②兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1；③在線性回歸方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加0.2個(gè)單位；④對(duì)分類(lèi)變量與，它們的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，越小，“與有關(guān)系”的把握程度越大.A．1 B．2 C．3 D．46．下列集合中，表示空集的是（）A． B．C． D．7．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，則（）A． B． C．12 D．248．若關(guān)于的不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．9．是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)(

)A． B． C． D．10．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．311．一個(gè)盒子里有6支好晶體管，5支壞晶體管，任取兩次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管時(shí)，則第二支也是好晶體管的概率為（）A．23B．512C．712．展開(kāi)式中x2的系數(shù)為（）A．15 B．60 C．120 D．240二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)，為的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和，則能使成立的的最大值是________．14．若以連續(xù)兩次擲骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)落在由和兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界）的概率為_(kāi)_______.15．有個(gè)元素的集合的3元子集共有20個(gè)，則=_______.16．若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的3倍，則該圓錐的側(cè)面積是底面積的_________倍；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知橢圓的離心率為，順次連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所得到的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不垂直于坐標(biāo)軸的直線與相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，且直線的斜率成等比數(shù)列，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.19．（12分）已知函數(shù)，，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，…）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（3）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱上的一點(diǎn)（不與、點(diǎn)重合）.（1）若平面，求的值；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數(shù)（I）求在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線方程.（II）求的最小值.22．（10分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，判斷與的大小關(guān)系并證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先從4個(gè)球中選2個(gè)組成復(fù)合元素，再把個(gè)元素（包括復(fù)合元素）放入個(gè)不同的盒子，即可得出答案.【詳解】從個(gè)球中選出個(gè)組成復(fù)合元素有種方法，再把個(gè)元素（包括復(fù)合元素）放入個(gè)不同的盒子中有種放法，所以四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有號(hào)的盒子中，不允許有空盒子的放法有，故選C.本題主要考查了排列與組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

把用替換后兩者比較可知增加的式子．【詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故選：D.本題考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念是解題基礎(chǔ)．從到時(shí)，式子的變化是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵．3、B【解析】

①充要條件即等價(jià)條件，不等價(jià)則不充要；②根據(jù)正態(tài)分布的特征，且μ=3，得到P(X≤0)=P(X≥6)=1-P(X≤6)，判斷其正確；③根據(jù)回歸直線的特征，得出其正確；④寫(xiě)出命題p的否定?p，判定其錯(cuò)誤；最后得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，由x>y≥0，可以推出x2>y2，充分性成立，x2對(duì)于②，根據(jù)題意得P(X≤0)=P(X≥6)=1-P(X≤6)=1-0.72=0.28，所以②正確；對(duì)于③，根據(jù)回歸直線一定會(huì)過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以③正確；對(duì)于④，命題“?x∈R，x2所以正確命題有兩個(gè)，故選B.該題考查的是有關(guān)判斷命題的正誤的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有充要條件，正態(tài)分布，含有一個(gè)量詞的命題的否定，回歸直線方程的特征，屬于簡(jiǎn)單題目.4、B【解析】

取的中點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得，根據(jù)可得，從而可求得漸近線方程.【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，則為點(diǎn)到漸近線的距離則又為的中點(diǎn)，即：故漸近線方程為：本題正確選項(xiàng)：本題考查雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用點(diǎn)到直線距離公式和中位線得到之間的關(guān)系.5、B【解析】對(duì)于命題①認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)，不出錯(cuò)的概率是99%，不是數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，物理成績(jī)就有99%的可能優(yōu)秀，不正確；對(duì)于④，隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越小，說(shuō)明兩個(gè)相關(guān)變量有關(guān)系的把握程度越小，不正確；容易驗(yàn)證②③正確，應(yīng)選答案B。6、C【解析】

沒(méi)有元素的集合是空集，逐一分析選項(xiàng)，得到答案.【詳解】A.不是空集，集合里有一個(gè)元素，數(shù)字0，故不正確；B.集合由滿足條件的上的點(diǎn)組成，不是空集，故不正確；C.，解得：或，都不是自然數(shù)，所以集合里沒(méi)有元素，是空集，故正確；D.滿足不等式的解為，所以集合表示，故不正確.故選：C本題考查空集的判斷，關(guān)鍵是理解空集的概念，意在考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.7、D【解析】

由，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，求出，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出．【詳解】解：數(shù)列是等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，，所以，所以．所以，故選D．本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

先將不等式轉(zhuǎn)化為，然后構(gòu)造函數(shù)，只要小于的最大值即可【詳解】解：由，得，令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，取最大值，所以故選：A此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬于中檔題9、B【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故選B.該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，以及共軛復(fù)數(shù)，正確解題的關(guān)鍵是靈活掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.10、C【解析】

本題考查期望與方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得結(jié)論．【詳解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故選C.考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望方差.11、D【解析】試題分析：由題意，知取出一好晶體管后，盒子里還有5只好晶體管，4支壞晶體管，所以若已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為59考點(diǎn)：等可能事件的概率．12、B【解析】

∵展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令6-r=2得r=4，∴展開(kāi)式中x2項(xiàng)為，所以其系數(shù)為60,故選B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】

由題意可得，An＝＝，，若使得An≥Bn，即n（n+1）≥2n，可求.【詳解】∵（1+x）n+1的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1，由題意可得，An＝＝，又∵為的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的和，∴，∵An≥Bn，∴，即n（n+1）≥2n當(dāng)n＝1時(shí)，1×2≥2，滿足題意；當(dāng)n＝2時(shí)，2×3≥22，滿足題意；當(dāng)n＝3時(shí)，3×4≥23，滿足題意；當(dāng)n＝4時(shí)，4×5≥24，滿足題意；當(dāng)n＝5時(shí)，5×6＜25，不滿足題意，且由于指數(shù)函數(shù)比二次函數(shù)增加的快，故當(dāng)n≥5時(shí)，n（n+1）＜2n，∴＝4.故答案為4本題主要考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)應(yīng)用及不等式、指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的增加速度的快慢的應(yīng)用，屬于中檔題．14、【解析】

由擲骰子的情況得到基本事件總數(shù)，并且求得點(diǎn)落在指定區(qū)域的事件數(shù)，利用古典概型求解.【詳解】以連續(xù)兩次擲骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)，作為點(diǎn)的坐標(biāo)，共有個(gè)點(diǎn)，而點(diǎn)落在由和兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），有個(gè)點(diǎn)：，所以概率故得解．本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題.15、6【解析】

在個(gè)元素中選取個(gè)元素共有種，解=20即可得解.【詳解】在個(gè)元素中選取個(gè)元素共有種，解=20得，故答案為6.本題考查了組合數(shù)在集合中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、1；【解析】

分別計(jì)算側(cè)面積和底面積后再比較．【詳解】由題意，，，∴．故答案為1．本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】分析：（1）由求得，由時(shí)，可得的遞推式，得其為等比數(shù)列，從而易得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，數(shù)列的前項(xiàng)和可用裂項(xiàng)相消法求得．詳解：（1）∵①當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，②由①-②得：∴∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列∴（2）∵∴點(diǎn)睛：設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列，，的前項(xiàng)和求法分別為分組求和法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法．18、（1）；（2），.【解析】

（1）由橢圓離心率和四邊形的面積公式，求出和的值，即可求得橢圓的方程；（2）若設(shè)直線，，則由直線的斜率成等比數(shù)列，得，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，可求出的值.【詳解】（1），四邊形的面積，，橢圓（2）設(shè)直線，聯(lián)立，消去得：由，得，，或（a）當(dāng)時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故線段的中點(diǎn)即為原點(diǎn)；（b）當(dāng)時(shí)，，設(shè)則消去，將代入得注意到判別式，故，所以綜合（a）（b），所求軌跡方程為，或者寫(xiě)為，此題考查的是橢圓方程的求解和直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.19、（1）極大值為-1，最小值為（2）（3）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出極大值和極小值.（2）對(duì)求導(dǎo)后，令導(dǎo)數(shù)大于或等于零，對(duì)分成三類(lèi)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求得取值范圍.（3）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，令這個(gè)最小值大于或等于零，解不等式來(lái)求得的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值.（2），令，依題意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上恒成立.當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，只須，即，所以.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，只須，即，所以.綜上，的取值范圍為.（3），即，令=，因?yàn)?，所以只須，令，，，因?yàn)?，所以，所以，即單調(diào)遞增，又，即單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極值，考查利用導(dǎo)致求解參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問(wèn)題.綜合性較強(qiáng)，屬于難題.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，主要是通過(guò)導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)，結(jié)合恒成立問(wèn)題或者存在性問(wèn)題的求解策略來(lái)解決較為復(fù)雜的問(wèn)題.20、(1)(2)【解析】

（1）由平面可得，從而得到.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量后可得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平?平面平面，所以，所以，因?yàn)椋?所以.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn).則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，得.令，得；易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，則.故二面角的余弦值為.線線平行的證明可利用線面平行或面面平行來(lái)證明，空間中的角的計(jì)算，可以建立空間直角坐標(biāo)系把角的計(jì)算歸結(jié)為向量的夾角的計(jì)算，也可以構(gòu)建空間角，把角的計(jì)算歸結(jié)平面圖形中的角的計(jì)算.21、（I）；（II）【解析】

（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，把分別代入導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)中求出，，由點(diǎn)斜式即可得到切線方程；（II）求出函數(shù)的定義域，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，結(jié)合定義域，解出的范圍即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此求出的最小值。【詳解】（I），故，又故在處的切線方程