湖南省名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本．已知3號、29號、42號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個同學(xué)的學(xué)號是()A．10 B．11 C．12 D．162．由0,1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中0與2不相鄰的四位數(shù)有A．6個 B．8個 C．10個 D．12個3．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)4．已知復(fù)數(shù)，則共軛復(fù)數(shù)()A． B． C． D．5．高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學(xué)習(xí)，去哪個工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有（）A．16種 B．18種 C．37種 D．48種6．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)滿足x2＜1，則下列不等式中一定成立的是（）A．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1 B．f（）+1＜f（）＜f（）﹣1C．f（）﹣1＜f（）＜f（）+1 D．f（）﹣1＜f（）＜f（）+17．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）A． B．2 C．-3 D．8．一口袋里有大小形狀完全相同的10個小球，其中紅球與白球各2個，黑球與黃球各3個，從中隨機(jī)取3次，每次取3個小球，且每次取完后就放回，則這3次取球中，恰有2次所取的3個小球顏色各不相同的概率為（）A． B． C． D．9．某巨型摩天輪．其旋轉(zhuǎn)半徑50米，最高點(diǎn)距地面110米，運(yùn)行一周大約21分鐘．某人在最低點(diǎn)的位置坐上摩天輪，則第35分鐘時他距地面大約為（）米．A．75 B．85 C．100 D．11010．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．8 C．6 D．11．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的為2，則輸出的值是（）A．2 B．1 C． D．-112．已知位學(xué)生得某次數(shù)學(xué)測試成績得莖葉圖如圖，則下列說法正確的是()A．眾數(shù)為7 B．極差為19C．中位數(shù)為64.5 D．平均數(shù)為64二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現(xiàn)有個大人，個小孩站一排進(jìn)行合影.若每個小孩旁邊不能沒有大人，則不同的合影方法有__________種．（用數(shù)字作答）14．不等式的解為______．15．《孫子算經(jīng)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作，約成書于四、五世紀(jì)，傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷，其中下卷“物不知數(shù)”中有如下問題：“今有物，不知其數(shù).三三數(shù)之，剩二；五五數(shù)之，剩三；七七數(shù)之，剩二.問：物幾何？”其意思為：“現(xiàn)有一堆物品，不知它的數(shù)目.3個3個數(shù)，剩2個；5個5個數(shù)，剩3個；7個7個數(shù)，剩2個.問這堆物品共有多少個？”試計算這堆物品至少有__________個．16．拋物線C:上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為3，則拋物線C的方程為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）證明：函數(shù)的圖象經(jīng)過一個定點(diǎn)，并求圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，求函數(shù)在上的值域.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正形，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線的交點(diǎn)為，求的值.20．（12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx，（I）判斷曲線y=f(x)在點(diǎn)1,f(1)處的切線與曲線y=g(x)的公共點(diǎn)個數(shù)；（II）若函數(shù)y=f(x)-g(x)有且僅有一個零點(diǎn)，求a的值；（III）若函數(shù)y=f(x)+g(x)有兩個極值點(diǎn)x1,x2，且21．（12分）在有陽光時，一根長為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為米，同時將一個半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結(jié)果用無理數(shù)表示)．22．（10分）過橢圓：右焦點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，且橢圓的長軸長為短軸長的倍.（1）求的方程；（2），為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對角線分別為，，且，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題計算出抽樣的間距為13，由此得解．【詳解】由題可得，系統(tǒng)抽樣的間距為13，則在樣本中．故選D本題主要考查了系統(tǒng)抽樣知識，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】分析：首先求由0,1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)：先排千位數(shù)，有種排法，再排另外3個數(shù)，有種排法，利用乘法原理能求出組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)；然后求數(shù)字0，2相鄰的情況：，先把0，2捆綁成一個數(shù)字參與排列，再減去0在千位的情況，由此能求出其中數(shù)字0，2相鄰的四位數(shù)的個數(shù)．最后，求得0與2不相鄰的四位數(shù)詳解：由數(shù)字0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有：．

其中數(shù)字0，2相鄰的四位數(shù)有：則0與2不相鄰的四位數(shù)有。故選B點(diǎn)睛：本題考查排列數(shù)的求法，考查乘法原理、排列、捆綁法，間接法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．3、A【解析】

觀察折線圖可知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，且折線圖呈現(xiàn)增長趨勢，高峰都出現(xiàn)在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月波動性更小.【詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確.故選A.本題考查折線圖，考查考生的識圖能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其共軛復(fù)數(shù)即可.詳解：由題意可得：，則其共軛復(fù)數(shù).本題選擇B選項.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.5、C【解析】

根據(jù)題意，用間接法：先計算3個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再排除甲工廠無人去的情況，由分步計數(shù)原理可得其方案數(shù)目，由事件之間的關(guān)系，計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個班級都有4種選擇，共有4×4×4=64種情況，其中工廠甲沒有班級去，即每個班都選擇了其他三個工廠，此時每個班級都有3種選擇，共有3×3×3=27種方案；則符合條件的有64-27=37種，故選：C．本題考查計數(shù)原理的運(yùn)用，本題易錯的方法是：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有3×4×4=48種方案；顯然這種方法中有重復(fù)的計算；解題時特別要注意．6、D【解析】

構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x），利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)，則答案可求．【詳解】由x2f′（x）＜1，得f′（x），即得f′（x）0，令g（x）＝f（x），則g′（x）＝f′（x）0，∴g（x）＝f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，∴f（）+2＜f（）+3＜f（）+4，則f（）＜f（）+1，即f（）﹣1＜f（）；f（）＜f（）+1．綜上，f（）﹣1＜f（）＜f（）+1．故選：D．本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，是中檔題．7、A【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到、的值，可得答案【詳解】第1次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第2次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第3次執(zhí)行循環(huán)體后：，；第4次執(zhí)行循環(huán)體后：，；經(jīng)過4次循環(huán)后，可以得到周期為4，因為，所以輸出的值為，故選A．本題考查程序框圖的問題，本題解題的關(guān)鍵是找出循環(huán)的周期，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】每次所取的3個小球顏色各不相同的概率為：，∴這3次取球中，恰有2次所取的3個小球顏色各不相同的概率為：.本題選擇C選項.9、B【解析】分析：設(shè)出P與地面高度與時間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由題意求出三角函數(shù)中的參數(shù)A，B，及周期T，利用三角函數(shù)的周期公式求出ω，通過初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．詳解：設(shè)P與地面高度與時間t的關(guān)系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由題意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又因為f（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．故選B．點(diǎn)睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對應(yīng)的特殊點(diǎn)求，一般用最高點(diǎn)或最低點(diǎn)求．10、A【解析】分析：由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，它的底面是一個長寬分別為的矩形，棱錐的高為，利用棱錐的體積公式可得結(jié)果.詳解：根據(jù)三視圖知：由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，它的底面是個長寬分別為的矩形，棱錐的高為，，故選A.點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于中檔題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.11、A【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，執(zhí)行循環(huán)體，逐次計算、判斷，即可得到輸出的結(jié)果，得到答案．【詳解】由題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，可得：第一次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第二次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第三次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第四次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第五次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第六次循環(huán)：，不滿足判斷條件，輸出結(jié)果，故選A．本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出問題，其中利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，一定要先確定是用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先判斷再循環(huán)，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷；注意輸入框、處理框、判斷框的功能，不可混用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．12、C【解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)求得這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、極差、中位數(shù)和平均數(shù)．【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為67，A錯誤；極差是75﹣57＝18，B錯誤；中位數(shù)是64.5，C正確；平均數(shù)為60（﹣3﹣1+1+2+7+7+12+15）＝65，D錯誤．故選C．本題考查了利用莖葉圖求眾數(shù)、極差、中位數(shù)和平均數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：根據(jù)題意可得可以小孩為對象進(jìn)行分類討論：第一類：2個小孩在一起，第二類小孩都不相鄰.分別計算求和即可得出結(jié)論。詳解：根據(jù)題意可得可以小孩為對象進(jìn)行分類討論：第一類：2個小孩在一起:,第二類：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360種，故答案為360點(diǎn)睛：考查計數(shù)原理和排列組合的綜合，對于此類題首先要把題意分析清楚，分清楚所討論的類別，再根據(jù)討論情況逐一求解即可，注意計算的準(zhǔn)確性.14、或或或【解析】

利用組合數(shù)公式得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍，即可得出正整數(shù)的取值.【詳解】，由組合數(shù)公式得，得，整理得，即，解得，由題意可知且，因此，不等式的解為或或或.故答案為：或或或.本題考查組合不等式的求解，解題的關(guān)鍵就是利用組合數(shù)公式列出不等式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.15、23【解析】除以余且除以余的數(shù)是除以余的數(shù).和的最小公倍數(shù)是.的倍數(shù)有除以余且除以余的數(shù)有，…其中除以余的數(shù)最小數(shù)為，這些東西有個，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力，屬于難題.弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點(diǎn)是通過中國古代數(shù)學(xué)名著及現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.16、【解析】

利用拋物線的定義，求出p，即可求C的方程；【詳解】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程為x，由拋物線的定義可知13，解得p＝4，∴C的方程為y2＝8x；故答案為本題考查拋物線的定義與方程，熟記定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，；（2）【解析】

（1）將函數(shù)解析式重新整理，解得定點(diǎn)，再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，（2）先解出，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域.【詳解】（1）因為，所以，所以函數(shù)的圖像經(jīng)過一個定點(diǎn)，因為，所以切線的斜率，.所以在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因為，，所以，故，則，由得或，當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：1200單調(diào)減單調(diào)增從而在上有最小值，且最小值為，因為，，所以，因為在上單調(diào)減，，所以，所以，所以最大值為，所以函數(shù)在上的值域為.本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）推導(dǎo)出DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，從而BC⊥平面PCD，進(jìn)而DE⊥BC，由此能證明DE⊥平面PCB.

（2）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角E?DB?P的余弦值.【詳解】解：（1）證明：∵在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，

底面ABCD是正方形，PD＝AB，E為PC的中點(diǎn)，

∴DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，

∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，

∵DE?平面PCD，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PCB；

（2）解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PD＝AB＝2，則E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），

，

設(shè)平面BDE的法向量，

則，取，得，

設(shè)平面BDP的法向量，

則，取，得，

設(shè)二面角E?BD?P的平面角為θ.

則.

∴二面角E?BD?P的余弦值為.本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.19、（1）；（2）.【解析】分析：(1)直接代極坐標(biāo)公式得到曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)把直線的參數(shù)方程代入，得,再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.詳解：（1）對于曲線，兩邊同乘以可得，即,所以它的直角坐標(biāo)方程為.（2）把直線的參數(shù)方程代入，得,所以,因為點(diǎn)在直線上，所以,因為,所以,所以.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和基本運(yùn)算能力.(2)過定點(diǎn)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）.當(dāng)動點(diǎn)在定點(diǎn)上方時,.當(dāng)動點(diǎn)在定點(diǎn)下方時,.20、（I）詳見解析；（II）a=3；（III）a>【解析】

（I）利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程，和函數(shù)y=g(x)聯(lián)立后由判別式分析求解公共點(diǎn)個數(shù)；（II）寫出函數(shù)y=f(x)-g(x)表達(dá)式，由y=0得到a=x+2x+lnx，求函數(shù)h(x)=x+（III）寫出函數(shù)y=f(x)+g(x)的表達(dá)式，構(gòu)造輔助函數(shù)t(x)=-x2+ax-2+xlnx，由原函數(shù)的極值點(diǎn)是其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分析導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程根的情況，分離參數(shù)a后構(gòu)造新的輔助函數(shù)，求函數(shù)的最小值，然后分析當(dāng)a大于函數(shù)最小值的情況，進(jìn)一步求出當(dāng)x【詳解】解：（I）由f(x)=xlnx，得f'(x)=lnx+1，∴f'（1）=1，又f（1）=0，∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f（1）)處的切線方程為y=x-1，代入y=-x2+ax-2∴當(dāng)a<-1或a>3時，△=(1-a)當(dāng)a=-1或a=3時，△=(1-a)當(dāng)-1<a<3時，△=(1-a)（II）y=f(x)-g(x)=x由y=0