第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《勾股定理的應(yīng)用》專項(xiàng)測試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號(hào)：___________1．八年級11班松松同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測量如圖的風(fēng)箏的高度，測得如下數(shù)據(jù)：①測得的長度為8米：（注：）②根據(jù)手中剩余線的長度計(jì)算出風(fēng)箏線的長為17米；③牽線放風(fēng)箏的松松身高1.6米．(1)求風(fēng)箏的高度．(2)若松松同學(xué)想風(fēng)箏沿方向下降9米，則他應(yīng)該往回收線多少米？2．每年的11月9日是我國的消防日，為了增強(qiáng)全民的消防安全意識(shí)，某校師生舉行了消防演練，如圖，云梯長為25米，云梯頂端C靠在教學(xué)樓外墻上（墻與地面垂直），云梯底端A與墻角O的距離為7米．(1)求云梯頂端C與墻角O的距離的長；(2)現(xiàn)云梯頂端C下方4米D處發(fā)生火災(zāi)，需將云梯頂端C下滑到著火點(diǎn)D處，則云梯底端水平方向向右滑動(dòng)的距離為多少米．3．如圖所示，有兩根直桿隔河相對，一桿高30m，另一桿高，兩桿相距．現(xiàn)兩桿上各有一只魚鷹，他們同時(shí)看到兩桿之間的河面上E處浮起一條小魚，于是以同樣的速度同時(shí)飛下來奪魚，結(jié)果兩只魚鷹同時(shí)叼住小魚．則兩桿底部距小魚E處的距離各是多少？4．《九章算術(shù)》中記“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．問：折者高幾何？”譯文：一根竹子，原高一丈，蟲傷有病，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好著地，著地處離原竹子根部4尺遠(yuǎn)．問：竹子折斷處離地面有幾尺？（1丈尺）5．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問題.即，，，，求的長．

6．如圖，某一海域有4個(gè)海島A，B，C，D，海島C在海島A的正東方向，海島D位于海島A北偏東方向上，海島B位于海島A南偏東方向上，海島C位于海島B北偏東方向上，海島C位于海島D南偏東方向上，海島A和海島B之間的距離為40海里．(1)求海島A和海島C之間的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）(2)一艘船從海島A出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿方向前往海島D處運(yùn)送物資．求該船到達(dá)海島D處所用的時(shí)間．（結(jié)果保留根號(hào)）7．直角三角形的三邊關(guān)系：如果直角三角形兩條直角邊長為a、b，斜邊長為c，則．(1)圖1為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖1推導(dǎo)上面的關(guān)系式．利用以上所得的直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行解答；(2)如圖2，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A、B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路，且．測得千米，千米，求新路比原路少多少千米？(3)在第（2）問中若時(shí)，，，，，設(shè)，求x的值．8．某賓館裝修，需在一段樓梯臺(tái)階上鋪上一塊地毯，將樓梯臺(tái)階完全蓋?。畼翘菖_(tái)階剖面圖如圖，已知，，．(1)求BC的長；(2)若已知樓梯寬，需要購買________的地毯才能鋪滿所有臺(tái)階．9．“為了安全，請勿超速”．如圖，一條公路建成通車，在某路段上限速60千米小時(shí)，為了檢測車輛是否超速，在公路旁設(shè)立了觀測點(diǎn)C，從觀測點(diǎn)C測得一小車從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B行駛了5秒，已知，米，米．(1)請求出觀測點(diǎn)C到公路的距離；(2)此車超速了嗎？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）10．2025年1月1日，汕頭市區(qū)春節(jié)煙火晚會(huì)精彩呈現(xiàn)，吸引了近萬名市民共同感受“粵東之城，蛇年呈祥”的美好圖景．如圖，東海岸道路上有A、B兩個(gè)出口，相距250米，在公路北面不遠(yuǎn)處的C地是煙火晚會(huì)煙花燃放處，已知C與A的距離為150米，與B的距離為200米，在煙花燃放過程中，為了安全起見，燃放點(diǎn)C周圍半徑130米范圍內(nèi)不得進(jìn)入．(1)煙花燃放點(diǎn)C距離公路的垂直距離為多少米？(2)煙花燃放過程中，按照安全要求，A、B之間的公路是否需要暫時(shí)封鎖？若需要封鎖，請說明理由，并求出需要封鎖的公路長．11．如圖，某小區(qū)的兩個(gè)噴泉，位于小路的同側(cè)，兩個(gè)噴泉之間的距離為，噴泉的供水點(diǎn)在小路上．現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)兩條互相垂直的供水管道和，已鋪管道長為，長為，供水點(diǎn)到的距離是．(1)請判斷供水管道與是否符合鋪設(shè)要求；(2)求的長及的長．12．如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B、D作，連接、．已知，，，設(shè)．(1)用含x的代數(shù)式表示的長．(2)點(diǎn)C在上什么位置時(shí)，的值最小？最小值是多少？(3)根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請通過構(gòu)圖求代數(shù)式的最小值．13．如圖1，A村和B村在一條大河的同側(cè)，它們到河岸的距離分別為1千米和4千米，又知道的長為4千米．現(xiàn)要在河岸上建一水廠向兩村輸送自來水．有兩種方案備選方案1：水廠建在C點(diǎn)，修自來水管道到A村，再到B村（即）．（如圖2）方案2：作A點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接交于M點(diǎn)，水廠建在M點(diǎn)處，分別向兩村修管道和．（即）（如圖3）從節(jié)約建設(shè)資金方面考慮，將選擇管道總長度較短的方案進(jìn)行施工，請利用已有條件分別進(jìn)行計(jì)算，判斷哪種方案更合適．14．已知某消防車的云梯最大能伸長25米，在一次救援中，消防車云梯伸到最長25米，它的底部與建筑物之間的水平距離米，云梯底部與地面的距離米．(1)求此時(shí)云梯頂端C離地面的高度為多少米；(2)若云梯頂端需要伸到距離地面17的處，則消防車需要向建筑物方向移動(dòng)多少米到達(dá)處？15．如圖，琪琪在離水面高度的岸邊C處，用繩子拉停在B處的小船靠岸，開始時(shí)繩子的長為．

(1)開始時(shí)，小船距岸A的距離為_______；(2)若琪琪收繩后，船到達(dá)D處，求小船向岸A移動(dòng)的距離的長．參考答案1．(1)米(2)7米【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉勾股定理，能從實(shí)際問題中抽象出勾股定理是解題的關(guān)鍵；（1）利用勾股定理求出的長，再加上的長度，即可求出的高度；（2）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論∶【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得，所以，（負(fù)值舍去），所以，（米），答：風(fēng)箏的高度為米；（2）如圖：由題意得，米，∴米，∴，∴米，∴（米），∴他應(yīng)該往回收線7米．2．(1)云梯頂端與墻角的距離的長為(2)云梯底端在水平方向上滑動(dòng)的距離為【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）在中，根據(jù)勾股定理即可得到求解；（2）在中，根據(jù)勾股定理求出，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：在中，，，由勾股定理得，即，解得：；答：云梯頂端與墻角的距離的長為；（2）解：，，，在中，，，由勾股定理得，即，解得：，，．答：云梯底端在水平方向上滑動(dòng)的距離為．3．和【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．由題意可得：，，那么，代入數(shù)據(jù)，解方程即可．【詳解】解：由題意可得：，，則，故，解得：，則（m），答：兩桿底部距小魚E處的距離分別是和．4．竹子折斷處離地面有4.2尺．【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)竹子折斷處離地面有尺，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面有尺，由題意得：，，，，∴，則：，解得：．答：竹子折斷處離地面有4.2尺．5．【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．設(shè)，則，由勾股定理列出方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，由題意，得：，解得：，即．6．(1)海里(2)時(shí)【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握方向角的概念、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，可得是等腰直角三角形，得海里,解,求出即可得到答案；（2）證明是直角三角形，求出的長，根據(jù)時(shí)間=路程÷速度可得答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，∴，根據(jù)題意得，∴，∴是等腰直角三角形，∵海里，∴海里，在中，，∴海里，∴海里；（2）解：根據(jù)題意得，，∴是直角三角形，又，在中，，∴海里，∴該船到達(dá)海島D處所用的時(shí)間時(shí)．7．(1)見解析(2)新路比原路少0.5千米(3)【分析】本題考查的是勾股定理的證明方法以及勾股定理的應(yīng)用；（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡即可得證；（2）設(shè)千米，則千米，根據(jù)勾股定理列方程，解方程即可得到結(jié)果；（3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：，∴梯形的面積為或，，，即，（2）解：設(shè)千米，則千米，在中，，即，解得：，即，（千米），答：新路比原路少千米，（3）解：由題得，，在中，，在中，，，即，解得：．8．(1)；(2)．【分析】此題考查了平移的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用．（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形，把樓梯臺(tái)階的橫豎分別向上向左平移，進(jìn)一步求出面積即可．【詳解】（1）解：由題意可得，；（2）解：利用平移可知，把樓梯臺(tái)階的橫豎分別向上向左平移，地毯的長為，∴地毯面積為，故答案為：9．(1)觀測點(diǎn)C到公路的距離為米(2)此車沒有超速，理由見解析【分析】此題主要考查了度的角所對的直角邊是斜邊的一半，勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作于H，先求出的長，再用勾股定理求解即可；（2）先求出的長，再求出的長，進(jìn)而求出汽車的速度，即可得出答案．【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作于H，在中，，．米（米）（米）即觀測點(diǎn)C到公路的距離為（米）．（2）解：米，米米∴車速為（米/秒）千米/小時(shí)米/秒，∴此車沒有超速．10．(1)120米(2)需要，封鎖的公路長為100米，理由見解析【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵；（1）過C作，由勾股定理得逆定理得是直角三角形，且，再由三角形面積求的得長即可；（2）過C作，以點(diǎn)C為圓心，以130米為半徑畫弧，交于點(diǎn)E、F連接、，根據(jù)，判斷有危險(xiǎn)，再根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而求出即可．【詳解】（1）解：由題意得米，米，米，如圖，過C作，，，是直角三角形，且，，，解得：（米），答：煙花燃放點(diǎn)C距離公路的垂直距離為120米；（2）解：按照安全要求，之間的公路需要暫時(shí)封鎖，理由如下：如圖，由（1）可知，，公路上存在兩點(diǎn)E、F到的距離為130米，公路上之間到燃放點(diǎn)C的距離勻小于130米，按照安全要求，A、B之間的公路段需要暫時(shí)封鎖，以點(diǎn)C為圓心，以130米為半徑畫弧，交于點(diǎn)E、F連接、，，，，在中，，，即需要封鎖的公路長為100米．11．(1)符號(hào)要求，理由見解析；(2)，．【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判定與是否垂直即可；（2）根據(jù)等面積法求出，再利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）解：符號(hào)要求，理由如下：在中，，，，，，，是直角三角形，，，符合要求；（2），，，，，，，，，，在中，，由勾股定理得：．12．(1)(2)點(diǎn)A、C、E在一條直線上；(3)25【分析】本題考查了勾股定理和最短路徑問題，涉及到了二次根式等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，會(huì)構(gòu)造圖形，利用了數(shù)形結(jié)合的思想方法．（1）利用勾股定理分別求出，，即可求解；（2）延長至F，使，連接，證明四邊形是矩形，得到，求出，由兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)A、C、E在一條直線上時(shí)的值最小，即可求解；（3）利用前面兩題的方法先構(gòu)造出圖形，再求解即可．【詳解】（1）解：已知，，∴，∵，，，∴，，∴．（2）解：當(dāng)點(diǎn)A、C、E在一條直線上時(shí)的值最小，最小值是；理由如下：如圖，延長至F，使，連接由，則，，∴四邊形是矩形，∴，∴，由兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)A、C、E在一條直線上時(shí)的值最小，最小值是．（3）解：如圖，H為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)P、Q作，連接、．已知，，，設(shè)．∴，可知當(dāng)點(diǎn)M、H、N在一條直線上時(shí)的值最小，延長至G，使，連接，同理可證四邊形是矩形，∴，∴，由兩點(diǎn)之間線段最短，可知當(dāng)點(diǎn)M、H、N在一條直線上時(shí)的值最小，最小值是25，∴代數(shù)式的最小值是25．13．方案1路線短，更合適．理由見解析【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．方案1：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，方案2：過作交延長線于點(diǎn)H，利用勾股定理分別求出兩種路線的長度，比較即可．【詳解】解：方案1：過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∵，∴，在中，，∴，∴；方案2：過作交延長線于點(diǎn)H，，，，，同理，，，，，∵，∴方案1路線短，更合適．14．(1)此時(shí)云梯頂端離地面的高度為9米(2)4米【分析】本題考查了勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，本題中根據(jù)梯子長不會(huì)變的等量關(guān)系求解是解題的關(guān)鍵．（1）在中，利用勾股定理求解即可；（2）先求出