第18講

等腰三角形目錄CONTENTS123課標(biāo)要求

作業(yè)目標(biāo)教材整合·核心歸納重點(diǎn)精講·變式探究課標(biāo)要求作業(yè)目標(biāo)

01第四單元

第18講課標(biāo)要求作業(yè)目標(biāo)等腰三角形1.理解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理:等腰三角形的兩個底角相等;底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.2.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有兩個角相等的三角形是等腰三角形.3.探索等邊三角形的性質(zhì)定理:等邊三角形的各角都等于60°.4.探索等邊三角形的判定定理:三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形.運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)定理及判定定理解決問題運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)定理及判定定理解決問題要求與目標(biāo)教材整合核心歸納

02第四單元

第18講性

質(zhì)(1)兩腰相等，兩底角相等，即AB＝AC，∠B＝∠C；(2)底邊上的高、中線及頂角平分線重合，簡稱“三線合一”；(3)是軸對稱圖形，有一條對稱軸

判

定(1)定義法：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；(2)等角對等邊：有兩個角相等的三角形是等腰三角形面

積考點(diǎn)?等腰三角形【省卷T14】考點(diǎn)清單

2.

如右圖，在△ABC中，∠B＝∠C，DE⊥AB于點(diǎn)E，DE交BC于點(diǎn)D，連接AD.

第2題圖(1)若∠C＝25°，則∠EDB＝

°；(2)若AD＝BD，BE＝3，

則AC的長為

?.65

6

1.

已知等邊三角形ABC的周長為12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，過

點(diǎn)D作BC邊的平行線交AC于點(diǎn)E，則DE的長是

?.2

ABCDEBC＝4

25°

25°

AB＝AC＝6DE垂直平分ABAB＝2BE＝6性質(zhì)(1)三邊相等，三個內(nèi)角相等，且都等于60°；(2)是軸對稱圖形，有三條對稱軸；(3)“三線合一”

判定(1)定義法：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形面積

性

質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩端點(diǎn)的距離相等.即如右圖，若CD⊥AB于點(diǎn)O，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，則AP＝

，∠A＝

?

判

定與線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.即如右圖，若PA＝PB，則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上BP

∠B

考點(diǎn)?等邊三角形考點(diǎn)?線段垂直平分線【長沙T19】考點(diǎn)清單重難精講變式探究

03第四單元

第18講(2)若△ABC的一邊長為3，一邊長為4，則△ABC的周長為

?；例如下圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，E為邊AC上一點(diǎn)，連接AD，DE.

例題圖(1)如圖①，若∠BAC＝56°，∠BAD＝36°，AD＝AE，則∠B的度數(shù)為

，∠EDC的度數(shù)為

?；62°

18°

10或1156°36°∠B＝∠C62°

∠AED＝∠ADE＝80°80°62°∠EDC＝∠AED－∠C＝18°分類討論思想3，3，4或

4，4，320°例如下圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為邊BC上一點(diǎn)，E為邊AC上一點(diǎn)，連接AD，DE.

(3)如圖②，若∠ABC＝60°，AB＝8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，

點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，則∠BAD的度數(shù)為

，DE的長為

?；30°

4

等邊三角形三線合一中位線(4)如圖②，若AD是△ABC的中線，DE∥AB，

求證：△ADE為等腰三角形.證明：∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴∠BAD＝∠CAD.

又∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE.

∴∠CAD＝∠ADE.

∴EA＝ED.

∴△ADE為等腰三角形.三線合一求證邊相等求證角相等等邊對等角∠BAC＝60°∠BAD＝∠DAC

2.

(2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底邊BC上的高，若

點(diǎn)F到直線AB的距離為3，則點(diǎn)F到直線AC的距離為(

C

)1.

(2024·湖南)若等腰三角形的一個底角的度數(shù)為40°，則它的

頂角的度數(shù)為

?°.100

【易錯變式】若等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則另外兩個內(nèi)

角的度數(shù)分別為

?.B.2C.370°，40°或55°，55°

C3.

如圖，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF過點(diǎn)D且EF∥BC，則△AEF的周長是(

C

)A.8cmB.9cm第3題圖CC.10cmD.11cm△AEF的周長＝AE＋EF＋AF＝AE＋ED＋DF＋AF＝AE＋EB＋CF＋AF＝AB＋AC＝10cm4.

如下圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AD＝AE，BD＝CE.

(1)求證：AB＝AC；第4題圖證明：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F.

∵AD＝AE，∴DF＝EF.

∵BD＝CE，∴BF＝CF.

∴AB＝AC.

(2)若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接寫出圖中除△ABC

與△ADE外所有的等腰三角形.解：除△ABC與△ADE外所有的等腰三角形有△ABD，

△AEC，△ABE，△ADC.F做輔助線三線合一DF＝EFAB＝AC5.

如圖，AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠DCE＝40°，則∠EAB等于(

C

)A.40°B.30°C.20°D.15°第5題圖C6.

將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，

已知∠α＝60°，點(diǎn)B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長為

cm.第6題圖2

A.25cmB.45cmC.50cmD.55cm第7題圖C【變式設(shè)問】若∠B＝50°，∠C＝35°，則∠BAD的度數(shù)為

?.60°

△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋CD＋BD＝AB＋BC35°35°70°50°DN是線段

AC的垂直平分線8.

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AE＝5，

AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則CE＝

?.第8題圖4

BE＝AE＝5355勾股定理

9.

(2024·自貢)如圖，等邊三角形ABC鋼架的立柱CD⊥AB于點(diǎn)D，AB長12m.現(xiàn)將鋼架立柱縮短成DE，∠BED＝60°，則新鋼架減少用鋼(

D

)第9題圖D10.

在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已

知點(diǎn)A，B是兩格點(diǎn)，若點(diǎn)C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個數(shù)是(

)A.6B.7C.8D.9第10題圖C11.

如下圖，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A，B外的任意一點(diǎn)，分別以AC，BC為邊在線段AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE交DC于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，連接MN.

求證：(1)AE＝BD；第11題圖證明：∵△ACD和△BCE是等邊三角形，∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝∠ECB＝60°.∴∠DCA＋∠DCE＝∠ECB＋∠DCE.

∴∠ACE＝∠DCB.

在△ACE與△DCB中，

∴△ACE≌△DCB(SAS).∴AE＝BD.

(2)△CMN為等邊三角形.第11題圖證明：由(1)知△ACE≌△DCB，∴∠CAE＝CDB.

∵∠DCN＝180°－∠ACM－∠ECB＝60°，

∴∠DCN＝∠ACM.

又∵AC＝DC，∴△ACM≌△DCN(ASA).∴CM＝CN.

∵∠MCN＝60°，MC＝NC，∴△CMN為等邊三角形.11