銅仁學(xué)院線性代數(shù)期末試卷及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.線性代數(shù)中，向量組的線性相關(guān)性是指（）。A.向量組中存在非零向量，使得其他向量可以表示為該向量的線性組合B.向量組中存在非零向量，使得其他向量可以表示為該向量的線性組合C.向量組中存在非零向量，使得其他向量可以表示為該向量的線性組合D.向量組中存在非零向量，使得其他向量可以表示為該向量的線性組合答案：A2.矩陣的秩是指（）。A.矩陣中線性無(wú)關(guān)的行向量的最大個(gè)數(shù)B.矩陣中線性無(wú)關(guān)的列向量的最大個(gè)數(shù)C.矩陣中線性無(wú)關(guān)的行向量的最大個(gè)數(shù)和列向量的最大個(gè)數(shù)D.矩陣的行階梯形中非零行的個(gè)數(shù)答案：C3.線性方程組有解的充分必要條件是（）。A.系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩B.系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩C.系數(shù)矩陣的秩大于增廣矩陣的秩D.系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩且等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)答案：A4.矩陣A可逆的充分必要條件是（）。A.|A|≠0B.A的秩等于A的階數(shù)C.A的行向量線性無(wú)關(guān)D.A的列向量線性無(wú)關(guān)答案：A5.向量組α1,α2,...,αs線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）。A.由向量α1,α2,...,αs構(gòu)成的矩陣的秩等于sB.由向量α1,α2,...,αs構(gòu)成的矩陣的秩小于sC.由向量α1,α2,...,αs構(gòu)成的矩陣的秩大于sD.由向量α1,α2,...,αs構(gòu)成的矩陣的秩等于s且等于向量的個(gè)數(shù)答案：A6.矩陣A和B相似的充分必要條件是（）。A.A和B的秩相等B.A和B的特征值相同C.A和B有相同的特征多項(xiàng)式D.A和B有相同的特征值且對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)答案：D7.矩陣A和B合同的充分必要條件是（）。A.A和B的秩相等B.A和B的特征值相同C.A和B有相同的特征多項(xiàng)式D.A和B有相同的特征值且對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)答案：A8.矩陣A和B等價(jià)的充分必要條件是（）。A.A和B的秩相等B.A和B的特征值相同C.A和B有相同的特征多項(xiàng)式D.A和B有相同的特征值且對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)答案：A9.矩陣A和B相等的充分必要條件是（）。A.A和B的秩相等B.A和B的特征值相同C.A和B有相同的特征多項(xiàng)式D.A和B的對(duì)應(yīng)元素相等答案：D10.矩陣A和B的乘積AB等于零矩陣的充分必要條件是（）。A.A和B的秩相等B.A和B的特征值相同C.A和B有相同的特征多項(xiàng)式D.A和B的對(duì)應(yīng)元素相等答案：A二、填空題（每題4分，共20分）1.矩陣A=[1,2;3,4]的行列式|A|=______。答案：-22.矩陣A=[1,2;3,4]的秩r(A)=______。答案：23.矩陣A=[1,2;3,4]的逆矩陣A^(-1)=______。答案：[-2,1;1.5,-0.5]4.矩陣A=[1,2;3,4]和B=[5,6;7,8]的乘積AB=______。答案：[19,22;43,50]5.矩陣A=[1,2;3,4]的特征值λ1=______，λ2=______。答案：1,5三、計(jì)算題（每題10分，共50分）1.計(jì)算矩陣A=[1,2;3,4]的行列式|A|。解：|A|=1×4-2×3=-2。2.計(jì)算矩陣A=[1,2;3,4]的秩r(A)。解：A的秩r(A)=2，因?yàn)锳的行向量線性無(wú)關(guān)。3.計(jì)算矩陣A=[1,2;3,4]的逆矩陣A^(-1)。解：A^(-1)=[-2,1;1.5,-0.5]。4.計(jì)算矩陣A=[1,2;3,4]和B=[5,6;7,8]的乘積AB。解：AB=[19,22;43,50]。5.計(jì)算矩陣A=[1,2;3,4]的特征值。解：A的特征值λ1=1，λ2=5。四、證明題（每題10分，共20分）1.證明矩陣A和B相似的充分必要條件是A和B有相同的特征值且對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。證明：必要性：設(shè)A和B相似，即存在可逆矩陣P，使得B=P^(-1)AP。則A和B有相同的特征值，因?yàn)樗鼈兊奶卣鞫囗?xiàng)式相同。又因?yàn)锳和B有相同的特征值，所以它們對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。充分性：設(shè)A和B有相同的特征值且對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)。設(shè)A的特征值為λ1,λ2,...,λn，對(duì)應(yīng)的特征向量為α1,α2,...,αn。則B的特征值也為λ1,λ2,...,λn，對(duì)應(yīng)的特征向量為β1,β2,...,βn。由于A和B的特征向量線性無(wú)關(guān)，所以存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B。因此，A和B相似。2.證明矩陣A和B合同的充分必要條件是A和B的秩相等。證明：必要性：設(shè)A和B合同，即存在可逆矩陣P和Q