《計(jì)算中的圖形建構(gòu)》圖形的建構(gòu)自主學(xué)習(xí)單（一）一、知識(shí)梳理中考填空壓軸題，承載著中考選拔和區(qū)分功能，考查功能由知識(shí)型向能力型轉(zhuǎn)化，其主要特點(diǎn)是知識(shí)覆蓋面廣，綜合性強(qiáng)，思維含量高且得分率低，具有較強(qiáng)的探索性、創(chuàng)新性和思考性?？碱}熱點(diǎn)多為求線段長(zhǎng)度、面積大小、線段比、面積比等，縱觀全國(guó)考題來(lái)看，熱點(diǎn)還有最值問(wèn)題或軌跡問(wèn)題等，基本都設(shè)計(jì)為幾何綜合計(jì)算題。主要知識(shí)點(diǎn)：圖形三大變換的規(guī)律及性質(zhì)，角平分線和線段垂直平分線性質(zhì)、直角三角形判定與性質(zhì)、全等和相似的判定與性質(zhì)、特殊四邊形的判定與性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)。主要基本技能：幾何直觀想象能力，基本圖形的分析與構(gòu)造能力、復(fù)雜圖形的解構(gòu)能力，整合信息能力，邏輯推理能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。主要數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想。二、學(xué)習(xí)過(guò)程模塊一：熟練應(yīng)用通法一題多解模塊一：典例精講例題1（2020?深圳）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB=12，BOOD=43，則S視角（一）：引入?yún)?shù)求解，求面積比【解答】解法1：解：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DM∥BC，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，延長(zhǎng)BA交DM于點(diǎn)N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴ABBC=ANNM=tan∠又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，圖2∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴ABBC設(shè)BC＝4a，由BCDM=OBOD=43∴AB＝2a，DN=35a，AN=∴NB＝AB+AN＝2a+65a=165a，【解釋】解法2：解釋：如圖3過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA延長(zhǎng)線于E則有△ADE∽△CAB，∴∠DAE＝∠ACB，由tan∠ACB=12∴tan∠DAE=tan∠設(shè)AB＝m，DE＝n，則BC=2m,AE=2n由共邊定理有S△ACDS∴12AC?AD1則S△ABDS△BCD=12視角（二）巧用共邊定理轉(zhuǎn)化面積比為線段比 【解釋】解法3：如圖4過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于H∵∠AOD＝∠HOB,∠AOD＝∠OHB=90°，∴△DOA∽△BOH∴HO設(shè)AO＝3a，HO＝4a，則AH＝7a，∵tan∠ABH=tan∠ACB=12∴AHBH∴BH=14aCH=28a∴AOCO=332由共邊定理得：S△ABDS△BCD=AOCO=332

【解釋AB2=AH?AC，BC2=CH?AC∴AHCH=（ABBC）2=14，設(shè)AO＝3a，HO＝4a，則可得AOCO=332小結(jié)：本題通法（通性思維）1、有條件∠ABC＝∠DAC，聯(lián)想構(gòu)建“一線三垂直”模型；2、有條件BOOD=433、有條件tan∠ACB=12，可以在含有∠ACB的RT△4、對(duì)于結(jié)論求S△ABD例題2：如圖，在邊長(zhǎng)為22的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊ABBC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)度為．視角（一）：利用相似，直接求解【解答】解法1：如圖2，設(shè)DF，CE交于O，∵四邊形ABCD是正方形，圖1∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝CD＝AB，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴BE＝CF，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴CE＝DF，∠BCE＝∠CDF，∵∠CDF+∠CFD＝90°，∴∠BCE+∠CFD＝90°，∴∠COF＝90°，∴DF⊥CE，∴CE＝DF=(22)2∵點(diǎn)G，H分別是EC，PC的中點(diǎn)，∴CG＝FH=10∵∠DCF＝90°，CO⊥DF，∴∠DCO+∠FCO＝∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠FCO＝∠CDO，∵∠DCF＝∠COF＝90°，∴△COF∽△DOC，∴CFDF=OFCF，∴CF2＝∴OF=CF2DF=(2∵∠COF＝∠COD＝90°，∴△COF∽△DCF，∴OFOC∴OC2＝OF?OD，∴OC=10∴OG＝CG﹣OC=10∴HG=OG2+OH視角（二）：利用中點(diǎn)，構(gòu)造中位線求解【解答】解法2：如圖3，連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝22，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴AE＝CF=12×∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，DH＝FH，圖3∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF=2∴AP＝AD﹣PD=2，∴PE=A∵點(diǎn)GDF，H分別是EC，CP的中點(diǎn)，∴GH=12EP＝這里構(gòu)造中位線的方法也有多種，這里就不再贅述。視角（三）：利用中點(diǎn)，構(gòu)造全等求解【解釋】解法3：如圖4，連接FG，可得FG=12BE=22，且FG∥作GM⊥DC于點(diǎn)M，可得矩形GFCM，則CM=FG=22，GM=CF=2延長(zhǎng)GH交CD于點(diǎn)P，可得△PHD≌△GHF，則有DP=FG=22圖GH=PH=12PG，從而有PM=2=GM，且∠GMP==90°進(jìn)而得出PG=2，故有GH=1.視角（四）：建立坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間的距離【解釋】解法4：如圖5以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC、AB所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，易得E（0，2），C（22，0），F(xiàn)（2，0），D（22，22）則EC中點(diǎn)G（2，22），DF中H（322，2），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可以求得GH=1。本題求解方法還有多種，一題多解的方法不在多，而在于分析和整理，以及最終是否能形成自己的認(rèn)知和智慧。小結(jié)：本題通法（通性思維）1、利用“等角證互余”得GH為直角三角形斜邊，聯(lián)想勾股定理直接求解；2、有中點(diǎn)，聯(lián)想中位線，構(gòu)造中位線可以利用全等，也可以利用作平行線來(lái)解決；3、有中點(diǎn)聯(lián)想倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線段，構(gòu)造全等求解；4、在正方形或矩形中，問(wèn)題的解決往往構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題有很奇妙的收獲。模塊一：跟進(jìn)練習(xí)解答1、四邊形ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝3AD＝3，CE⊥BD于E，連AE，若tan∠DEA=12，則AB＝【解答】解：延長(zhǎng)CE交AB于F，連接DF，取DF的中點(diǎn)O，連接OA、OE．∵CE⊥BD，∴∠DAF＝∠DEF＝90°，∵OD＝OF，∴OA＝OD＝OF＝OE，∴A、D、E、F四點(diǎn)共圓，∴∠AFD＝∠AED，∴tan∠AFD＝tan∠AED=1∵BC＝3AD＝3，∴AD＝1，BC＝3，∴AF＝2，設(shè)BF＝x．∵∠CBF＝∠BAD＝∠BEF＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠ABD+∠BFC＝90°，∴∠ADB＝∠CFB，∴△CBF∽△BAD，∴BCAB∴32+x=x1，∴x2+2x∴x＝1或﹣3（舍棄），∴AB＝BF+AF＝1+2＝3．2、如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD＝60°，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AB交CD于點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，連接FH和CF，CF交BE于點(diǎn)G，則GF的長(zhǎng)為【解答】解：∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠BAD＝60°，∴AB＝BC＝CD＝4，AB∥CD，∠BAD＝∠BCE＝60°，∵F為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，∴EH=12BE，F(xiàn)H是△ABE的中位線，∴FH=12AB＝2，∴FH∥AB∥CD，∵BE⊥AB，∴FH⊥BE，CD⊥BE，∴∠FHE＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°，∴CE=12BC＝∴BE=BC2∴EH=12BE=3，∴FH在△FHG和△CEG中，∠FHG∴△FHG≌△CEG（AAS），∴EG＝GH=12EH在Rt△FHG中，由勾股定理得：GF=F3、如圖，四邊形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα=43，CD＝5，AD＝12，求BD的長(zhǎng)為【解答】解：如圖，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，∠DEA＝∠ACB，連接EC，容易得到△DAE∽△BAC，∴AEAC=AD∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，∴△EAC∽△DAB，∴ECBD在△DCE中，∠ADC＝∠ACB，∠EDA＝∠ABC，∴∠EDC＝90°，∵AEAD=ACAB=34，AD＝12，∴AE∴DE=122+92=由△EAC∽△DAB，∴510BD=34、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝1．將正方形沿GF折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為【解答】解：設(shè)DF＝m，AG＝n，∵正方形的邊長(zhǎng)為3，∴CF＝3﹣m，BG＝3﹣n，由折疊可得，AF＝EF，AG＝GE，在Rt△ADF中，AF2＝DF2+DA2，即AF2＝m2+9，在Rt△EFC中，EF2＝EC2+CF2，∵BE＝1，∴EC＝2，∴EF2＝4+（3﹣m）2，∴m2+9＝4+（3﹣m）2，∴m=2在Rt△BEG中，GE2＝BG2+BE2，∴n2＝（3﹣n）2+1，∴n=53，∴S△GEB=12×1×（S△ADF=12×23×3＝1，S△CEF=1∴S四邊形AGEF＝S正方形ABCD﹣S△GEB﹣S△ADF﹣S△CEF＝9-23-1方法二：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB交于H點(diǎn)，交AE于點(diǎn)Q，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，BE＝1，∴AE=10∵∠HAQ+∠AQH＝∠FQP+∠QFP＝90°，∴∠HAQ＝∠QFP，∵HF＝AB，∴△HFG≌△BAE（ASA），∴FG＝AE=10∴S四邊形AGEF=12×AE×GF方法三：在Rt△BEG中，GE2＝BG2+BE2，∴n2＝（3﹣n）2+1，∴n=5∴AG=53，∴S四邊形AGEF＝2S△AFG＝2×12×AG×HF＝25、如圖，在△ABC中，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D為△ABC上方一點(diǎn)，連接DE，DB，DE與AC邊交于點(diǎn)F，DB與AC邊交于點(diǎn)G，若BGDG=23，△DBE的面積為4，則△DFG的面積為【解答】解：連接EG，過(guò)G作GH∥AB交DE于H，如圖：∵BGDG=23，∵△DBE的面積為4，∴S△DGE=35×4∵GH∥AB，∴△DHG∽△DEB，∵BGDG=23，∵點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴HGAE∵GH∥AB，∴△HGF∽△EAF，∴HFEF設(shè)HF＝3m，則EF＝5m，∴HE＝8m，∵DHHE=DGBG=32，∴DH8∴DF＝DH+HF＝15m，∴DFEF=15m5m=3，∴S△DFGS△EGF=3，6、如圖，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半徑為r，點(diǎn)C在AB上，CD⊥OA，垂足為D，當(dāng)△OCD的面積最大時(shí)，AC的長(zhǎng)為．【解答】解：∵OC＝r，點(diǎn)C在AB上，CD⊥OA，∴DC=O∴S△OCD=12OD?∴S△OCD2=14OD2?（r2﹣OD2）=-14OD4+14r2OD2=∴當(dāng)OD2=r22，即OD=2∴∠OCD＝45°，∴∠COA＝45°，∴AC的長(zhǎng)為：45°πr180°=模塊二：有效應(yīng)用通法一題多變模塊二：變式學(xué)習(xí)原題：如圖，在邊長(zhǎng)為22的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)度為．變式1．如圖，在邊長(zhǎng)為6等邊△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且AE＝BF=2，連接EC，AF，點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)A的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)度為變式2．如圖，菱形ABCD中，AB＝8，∠D＝60°；點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，BF．G，H分別是AE，BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的最小值是．變式3．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上一動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF．連接AE，BF相交于點(diǎn)P，點(diǎn)G，H分別是AE，BF的中點(diǎn)，連接GH，點(diǎn)Q為GH的中點(diǎn)．點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為，線段PQ掃過(guò)的面積為．模塊二：跟進(jìn)練習(xí)解答1．如圖，矩形ABCD中，AB＝7，BC＝6，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，且AE＝2，連接DF，CE，點(diǎn)G、H分別是DF，CE的中點(diǎn)，連接GH，則線段GH的長(zhǎng)為【解答】解：如圖，連接CG并延長(zhǎng)，交AD于M，連接ME，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DFC＝∠FDM，∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，∴CF=12BC＝3，DG＝在△CGF和△MGD中，∠DFC=∠FDMDG=GF∴DM＝CF＝3，CG＝MG，∴AM＝3，∴ME=AM2∵CG＝MG，點(diǎn)H是CE的中點(diǎn)，∴GH=12ME2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是BC中點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AB于M．若AE＝4，CE＝2，則CM的長(zhǎng)度為．【解答】解：將△ACE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBT，延長(zhǎng)AD交BT于H，連接BE．則四邊形CEHT是正方形，△CDE≌△BDH，∴EC＝EH＝TH＝BH＝2，DE＝DH＝1，∵CD＝BD，∴S△ADC＝S△ADB，S△CDE＝S△EDB=12×1×2∴S△AEC＝S△AEB=12×2×4＝4，∴S△ABC＝4+4+2∵S△ABC=12?CM?4+12?CM?23．在Rt△ABC中，四邊形DECF為正方形，若AD＝5，DB＝6，則△ADE與△BDF的面積之和為．【解答】∵四邊形DECF為正方形，∴∠EDF＝90°，DE＝DF，∴DA繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到DA′的位置，DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到DF位置，∴圖①中的△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖②；由旋轉(zhuǎn)得：AD＝A′D＝5，∵∠A′DB＝90°，∴S△ADE+S△BDF＝S△A′BD=12×A′D×BD=12×答：△ADE與△BDF的面積之和為15．4．如圖，已知等邊三角形△ABC，點(diǎn)D，E分別在CA，CB的延長(zhǎng)線上，且BE＝CD，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥AB交DE于點(diǎn)G，F(xiàn)G＝4，則CD＝．【解答】解：延長(zhǎng)BC到點(diǎn)M，使得CM＝CD，連接DM，如圖所示：∴∠M＝∠CDM，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵∠ACB＝∠M+∠CDM＝2∠M，∴∠M＝30°，∵FG⊥AB，∴∠BFG＝90°﹣∠ABF＝90°﹣60°＝30°，∴∠M＝∠BFG，∴FG∥DM，∵F為BC的中點(diǎn)，∴FB＝FC，∵BE＝CD，∴BE＝CM，∴BE+FB＝CM+FC，∴FE＝FM，∵FG∥DM，∴FG是△EDM的中位線，∴DM＝2FG＝2×4＝8，過(guò)C點(diǎn)作CN⊥DM于點(diǎn)N，則DN=12DM=12×8＝5．如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，E為BC的中點(diǎn)，AF平分∠EAD交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AD，交AE于點(diǎn)G，若cosB=14，則FG的長(zhǎng)為【解答】解：作AM⊥BC于M，延長(zhǎng)AE、DC交于點(diǎn)N，∵cosB=14，AB＝8，∴BM＝∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝4，∴ME＝BM＝2，∴AM垂直平分BE，∴AB＝AE＝8，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠GAF，∵AD∥GF，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠GAF＝∠GFA，∴AG＝FG，設(shè)AG＝FG＝x，∴EG＝8﹣x，∵BE＝CE，∠AEB＝∠NEC，∠ABE＝∠NCE，∴△ABE≌△NCE（ASA），∴NE＝AE＝8，∵CE∥FG，∴△NCE∽△NFG，∴4x=816-x，解得x6．如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點(diǎn)E為高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝，F(xiàn)B+FD的最小值為．【解答】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥CB，∴∠BAE=12∠BAC＝∵△BEF是等邊三角形，∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，BA=∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠BCF＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F′，連接DF′，此時(shí)BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長(zhǎng)．∵∠DCF＝∠FCG＝30°，∴∠DCG＝60°，∵CD＝CG＝5，∴△CDG是等邊三角形，∴DB＝DC＝DG，∴∠CGB＝90°，∴BG=BC2∴BF+DF的最小值為53，模塊三：綜合應(yīng)用通法多解歸一模塊三：典例精講例題1：如圖，矩形ABCD中，∠BAC＝60°，點(diǎn)E在AB上，且BE：AB＝1：3，點(diǎn)F在BC邊上運(yùn)動(dòng)，以線段EF為斜邊在點(diǎn)B的異側(cè)作等腰直角三角形GEF，連接CG，當(dāng)CG最小時(shí)，CFAD的值為。通法分析：1、條件“矩形ABCD中，∠BAC＝60°”，聯(lián)想矩形的有關(guān)性質(zhì)，直角三角形30°角的邊角關(guān)系；2、條件“線段EF為斜邊在點(diǎn)B的異側(cè)作等腰直角三角形GEF”，聯(lián)想∠ABC+∠EGF=90°得B，E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，連接BG可得∠GBF＝∠GEF=45°從而有點(diǎn)G在∠ABC的平分線上，當(dāng)CG⊥BG時(shí)，CG最小。3、此時(shí)，畫(huà)出符合題意得圖形，根據(jù)△BCG是以BC為斜邊的等腰直角三角形，證明△EGB≌△FGC，可得BE＝CF，設(shè)AB＝m，根據(jù)BE：AB＝1：3，可得CF＝BE=13m，根據(jù)含30度角的直角三角形可得解決本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確進(jìn)行圖形建構(gòu)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)．【解答】解：如圖1，取EF的中點(diǎn)O，連接OB，OG，作射線BG，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵O是EF的中點(diǎn)，∴OB＝OE＝OF，∵∠EGF＝90°，O是EF的中點(diǎn)，∴OG＝OE＝OF，∴OB＝OG＝OE＝OF，∴B，E，G，F(xiàn)在以O(shè)為圓心的圓上，∴∠EBG＝∠EFG，∵∠EGF＝90°，EG＝FG，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，∴∠EBG＝45°，∴BG平分∠ABC，∴點(diǎn)G在∠ABC的平分線上，∴當(dāng)CG⊥BG時(shí)，CG最小，此時(shí)，如圖2，∵BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠GBC=12∠ABC∵CG⊥BG，∴△BCG是以BC為斜邊的等腰直角三角形，∠BGC＝90°，∴BG＝CG，∵∠EGF＝∠BGC＝90°，∴∠EGF﹣∠BGF＝∠BGC﹣∠BGF，∴∠EGB＝∠FGC，在△EGB和△FGC中，BG=∴△EGB≌△FGC（SAS），∴BE＝CF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，設(shè)AB＝m，∵BE：AB＝1：3，∴CF＝BE=13在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝2m，∴BC=AC2-AB2=例題2：矩形ABCD中，∠ADB＝30°，Rt△AEF中，∠EAF＝90°，∠AFE＝30°，將Rt△AEF繞A旋轉(zhuǎn)至圖中位置，使得點(diǎn)F落在BD上，此時(shí)AFDF=3，則此時(shí)MFBM通法分析：1、條件“矩形ABCD中，∠ADB＝30°”聯(lián)想矩形性質(zhì)及30°角直角三角形的邊角關(guān)系；2、條件“∠BAD=∠EAF＝90°，∠ADB=∠AFE＝30°”可以得ABAD∠BAD－∠BAF＝∠EAF－∠BAF，即∠FAD=∠EAB3、連接EB，△DAF∽△BAE，則有對(duì)應(yīng)角相等；4、由結(jié)論求MFBM的值，聯(lián)想△MBE∽△MAF，“反8字”相似模型，設(shè)BE＝x，則DF=3x，得AF=3DF＝3x，，得MF熟練掌握旋轉(zhuǎn)相似必成雙的基本模型是解題的關(guān)鍵．【解答】解：連接BE，∵∠ADB＝∠AFE=30°∴AB∵∠BAD＝∠EAF=90°，∴∠FAD=∠EAB=90°－∠BAF∴△DAF∽△BAE，∴DFBE=AFAE=3，∠ADF＝∠∵∠AFM＝30°∴∠ABE=∠AFM又∵∠BME＝∠FMA，∴△FMA∽△BME，∴MF設(shè)BE＝x，則DF=3x∵AFDF=3，∴AF=3DF∴MFBM=例題2變式引深：如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BCAC=34，D為AB上一點(diǎn)，H為AC上一點(diǎn)，∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，則DH通法分析：1、條件“∠ABC＝∠HDC，CB＝CD”，聯(lián)想“共頂點(diǎn)等線段作旋轉(zhuǎn)”，可將Rt△ABC中的AC邊繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度，進(jìn)行圖形建構(gòu)，即作CE⊥CD于C，交DH的延長(zhǎng)線于E，CF⊥AB于F；2、利用ASA證明△BCA≌△DCE，得∠A＝∠E，CE＝AC，因?yàn)橐椎谩鰽DH∽△ECH，則DHHC3、由于有條件BCAC=設(shè)AC＝CE＝4x，則BC＝3x，根據(jù)cosB=BCAB=【解答】解：作CE⊥CD于C，交DH的延長(zhǎng)線于E，CF⊥AB于F，∵∠B＝∠CDE，BC＝CD，∠BCA＝∠DCE，∴△BCA≌△DCE（ASA），∴∠A＝∠E，CE＝AC，∵∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△ECH，∴DHHC設(shè)AC＝CE＝4x，則BC＝3x，由勾股定理得，AB＝5x，∴cosB=BC∴BF=35BC∵CB＝CD，CF⊥BD，∴BD＝2BF=18∴AD＝5x-18x5=7模塊三：跟進(jìn)練習(xí)解答1．如圖，在△ABD中，∠A＝90°，若BE＝mAC，CD＝mAB，連接BC、DE交于點(diǎn)F，則cos∠BFE的值為．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DK⊥AD，使得DK＝mAC．∵CD＝mAB，DK＝mAC，∴CDAB=∵∠A＝∠CDK＝90°，∴△CDK∽△BAC，∴CKBC=∵BE＝mAC，DK＝mAC，∴BE＝DK，∵BE＝DK，∴四邊形BEDK是平行四邊形，∴DE∥BK，∴∠EFB＝∠CBK，設(shè)BC＝k則CK＝mk，BK=1+m2∴cos∠BFE＝cos∠CBK=BC2．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，EB＝8，AB＝4，連接AE，將△ABE沿AE所在的直線翻折，得到△AB'E，B'E交AD于點(diǎn)F，將△AB'E沿B'E所在的直線翻折，得到△A'B'E，A'E交AD于點(diǎn)G，GEGA'的值為【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，AB＝A′B＝A′B′＝4，BE＝B′E＝8，AE＝A′E，∠AEB＝∠AEB′＝∠A′EB′，∠B＝∠AB′E＝∠A′B′E，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝90°，BC∥AD，∴∠AEB＝∠FAE，∴∠AB′E＝∠B＝90°，∠FAE＝∠AEB′，∴EF＝AF，設(shè)EF＝AF＝x，則B′F＝B′E﹣EF＝8﹣x，在Rt△AB′F中，由勾股定理可得AF2＝B′F2+AB′2，即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，∴EF＝AF＝5，B′F＝3，∴tan∠FAB′=B'過(guò)點(diǎn)G作GH⊥B′E于點(diǎn)H，如圖，則GH∥AB′，∴GEGA'=EHHB'，∠EFB′＝∠HGF設(shè)HF＝3a，HG＝4a，在Rt△AEB中，tan∠AEB=ABBE=48=12，∴在Rt△EHG中，tan∠GEH=HGEH∴EH＝8a，∵B′F+HF+EH＝B′E＝8，∴3+3a+8a＝8，解得：a=511，∴EH＝8×511=40∴HB′＝B′F+HF＝3+1511=3．已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，點(diǎn)D為斜邊中點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿CD翻折得△B′CD，B′D交AC于點(diǎn)E，則DEEB'的值為【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD于F，∵∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，∴AB=AC2+BCS△ABC=12×10×20∵點(diǎn)D為斜邊中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD＝55，∴∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，∴sin∠BCD＝sin∠DBC=AC∴20105=BH10，∴∴CH=BC2-∴DH＝35，∵將△BCD沿CD翻折得△B′CD，∴∠BDC＝∠B'DC，S△BCD＝S△DCB'＝50，∴tan∠BDC＝tan∠B'DC=BH∴45∴設(shè)DF＝3x，EF＝4x，∵tan∠DCA＝tan∠DAC=EF∴4xFC=1020，∴∵DF+CF＝CD，∴3x+8x＝55，∴x=5511，∴∴S△DEC=12×DC×EF=25011，∴S△CEB∴DEB4．如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，連接EF，點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)．連接OH，則GEOH的值為．【解答】解：以O(shè)為原點(diǎn)，平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，過(guò)E