第1頁（共1頁）專項(xiàng)訓(xùn)練3平行線的判定與性質(zhì)提升練習(xí)一．選擇題1．如圖，在下列給出的條件中，不能判定AB∥DF的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A【分析】利用平行線的判定定理，逐一判斷，容易得出結(jié)論．【解答】解：A、因?yàn)椤螦＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，兩直線平行），故本選項(xiàng)不符合題意．B、因?yàn)椤螦+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），故本選項(xiàng)不符合題意．C、因?yàn)椤?＝∠4，所以AB∥DF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故本選項(xiàng)不符合題意．D、因?yàn)椤?＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，兩直線平行），不能證出AB∥DF，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定；正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵，只有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才能推出兩被截直線平行．2．光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，∠1＝53°，∠2＝110°，則∠3+∠4＝（）A．164° B．117° C．123° D．107°【分析】根據(jù)平行可得∠1＝53°，∠2＝110°，最后代入∠3+∠4計(jì)算即可．【解答】解：∵平行光線，水面和底平行，∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°，∵∠1＝53°，∠2＝110°，∴∠1＝∠3＝53°，∠4＝180°﹣∠2＝70°，∴∠3+∠4＝53°+70°＝123°，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知長方形紙片ABCD，點(diǎn)E，H在AD邊上，點(diǎn)F，G在BC邊上，分別沿EF，GH折疊，使點(diǎn)B和點(diǎn)C都落在點(diǎn)P處，若∠FEH+∠EHG＝118°，則∠FPG的度數(shù)為（）A．54° B．55° C．56° D．57°【分析】根據(jù)四邊形ABCD是長方形，可得AD∥BC，得∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，所以可得∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折疊可得EF，GH分別是∠BFP和∠CGP的角平分線，可得∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，進(jìn)而可得∠FPG的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AD∥BC，∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折疊可知：EF，GH分別是∠BFP和∠CGP的角平分線，∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．4．在同一平面內(nèi)，若AB⊥l，AC⊥l，且點(diǎn)A在直線l上，則下列結(jié)論成立的是（）A．AC∥AB B．點(diǎn)B，C在直線l同側(cè) C．點(diǎn)B，C在直線l兩側(cè) D．點(diǎn)A，B，C在同一條直線上【分析】AB⊥l，AC⊥l，則過點(diǎn)A與直線l相垂直的直線有AB，AC，而過已知點(diǎn)與已知直線垂直的直線有一條并且只有一條，由此即可得答案．【解答】解：∵AB⊥l，AC⊥l，則過點(diǎn)A與直線l相垂直的直線有AB，AC，又∵“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，∴AC與AB重合，A．AC與AB，不可能平行，錯誤，不符合題意；B．點(diǎn)B，C在直線l同側(cè)，不能確定，錯誤，不符合題意；C．點(diǎn)B，C在直線l兩側(cè)，不能確定，錯誤，不符合題意；D．因?yàn)锳C與AB重合，故點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，關(guān)鍵明白在同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．5．將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，小明得到下列結(jié)論：①如果∠2＝30°，則AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，則∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，則∠4＝∠C．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定逐個判斷即可．【解答】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正確；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正確；∵BC∥AD，∠B＝45°，∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③錯誤；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正確；所以其中正確的結(jié)論有①②④，3個．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．6．如圖，AB∥CD，EG、EM、FM分別平分∠AEF，∠BEF，∠EFD，則圖中與∠DFM相等的角（不含它本身）的個數(shù)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由FM平分∠EFD可知：與∠DFM相等的角有∠EFM；由于AB∥CD，EG、EM、FM分別平分∠AEF、∠BEF、∠EFD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定定理可以推導(dǎo)出FM∥EG，由此可以寫出與∠DFM相等的角．【解答】解：∵FM平分∠EFD，∴∠EFM＝∠DFM=12∠∵EG平分∠AEF，∴∠AEG＝∠GEF=12∠∵EM平分∠BEF，∴∠BEM＝∠FEM=12∠∴∠GEF+∠FEM=12（∠AEF+∠BEF）＝90°，即∠∠FEM+∠EFM=12（∠BEF+∠∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠AEG，∠CFE＝∠AEF∴∠FEM+∠EFM=12（∠BEF+∠CFE）=12（∴在△EMF中，∠EMF＝90°，∴∠GEM＝∠EMF，∴EG∥FM，∴與∠DFM相等的角有：∠EFM、∠GEF、∠EGF、∠AEG以及∠GEF、∠EGF、∠AEG三個角的對頂角．故選：C．【點(diǎn)評】重點(diǎn)考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)和判定定理，推導(dǎo)較復(fù)雜．二．填空題7．如圖所示，一條公路修到湖邊時，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，則第三次拐的角∠C＝145°時，道路CE才能恰好與AD平行．【分析】先做出輔助線，再根據(jù)平行線的性質(zhì)對角度進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可得到∠BCE的度數(shù)．【解答】解：如圖，作BF∥AD，則：BF∥CE，∴∠ABF＝∠A＝110°，∠CBF＝∠ABC-∠ABF=35°∴∠C＝180°﹣∠CBF＝145°，即第三次拐的角為145°時，道路CE才能恰好與AD平行．故答案為：145°．【點(diǎn)評】此題主要考查了平行公理的推論和平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等．8．如圖1，為響應(yīng)國家新能源建設(shè)，樂清市公交站亭裝上了太陽能電池板．當(dāng)?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光（平行光線）與水平線最大夾角為62°，如圖2，電池板AB與最大夾角時刻的太陽光線相垂直，此時電池板CD與水平線夾角為48°，要使AB∥CD，需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)α度，則α為20．（0＜α＜90）【分析】求出∠EOF的度數(shù)，根據(jù)平行線的判定得出∠MQD＝∠EOF＝28°，再求出答案即可．【解答】解：∵EF⊥AB，∴∠EFO＝90°，∵∠OEF＝62°，∴∠EOF＝180°﹣90°﹣62°＝28°，∵AB∥CD，∴∠MQD＝∠EOF＝28°，∵要使AB∥CD，需將電池板CD逆時針旋轉(zhuǎn)α度，∴α°＝48°﹣28°＝20°，故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，垂直的定義等知識點(diǎn)，能求出∠MQD的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．9．如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分別是BA，CD延長線上的點(diǎn)，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中結(jié)論正確的有①③④．【分析】先根據(jù)AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠DEC，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN＝∠BAD，∵∠ADC+∠ADN＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴∠AEB+∠ADC≠180°，故②錯誤；∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，∴∠2＝∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2＝90°，∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點(diǎn)F，∴∠EAF+∠EDF=1∵AE⊥DE，∴∠3+∠4＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正確．故答案為：①③④【點(diǎn)評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、角平分線的定義．10．一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺ADE固定不動，將含30°的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時針轉(zhuǎn)動至圖2位置的過程中，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行．如圖3：當(dāng)∠CAE＝15°時，BC∥DE．則∠CAE其余符合條件的度數(shù)為60°或105°或135°．【分析】分四種情況進(jìn)行討論，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到∠CAE的度數(shù)．【解答】解：如圖3，當(dāng)BC∥DE時，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如左圖，當(dāng)AE∥BC時，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；如中圖，當(dāng)DE∥AB（或AD∥BC）時，∠CAE＝45°+60°＝105°；如右圖，當(dāng)DE∥AC時，∠CAE＝45°+90°＝135°．綜上所述，旋轉(zhuǎn)后兩塊三角板至少有一組邊平行，則∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合條件的度數(shù)為60°或105°或135°，故答案為：60°或105°或135°．【點(diǎn)評】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角板的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．三．解答題11．閱讀理解，補(bǔ)全證明過程及推理依據(jù)．已知：如圖，點(diǎn)E在直線DF上，點(diǎn)B在直線AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：∠A＝∠F.證明：∵∠1＝∠2（已知）∠2＝∠DGF（對頂角相等）∴∠1＝∠DGF（等量代換）∴BD∥CE（同位角相等，兩直線平行）∴∠3+∠C＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4+∠C＝180°（等量代換）∴AC∥DF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠A＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）【分析】先證明BD∥CE，得出同旁內(nèi)角互補(bǔ)∠3+∠C＝180°，再由已知得出∠4+∠C＝180°，證出AC∥DF，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）∠2＝∠DGF（對頂角相等）∴∠1＝∠DGF（等量代換）∴BD∥CE（同位角相等，兩直線平行）∴∠3+∠C＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又∵∠3＝∠4（已知）∴∠4+∠C＝180°∴AC∥DF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∴∠A＝∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；故答案為：對頂角相等；BD；CE；同位角相等，兩直線平行；C；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；AC，DF；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、對頂角相等的性質(zhì)；熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，注意兩者的區(qū)別．12．如圖，AC∥FE，∠1+∠3＝180°．（1）判定∠FAB與∠4的大小關(guān)系，并說明理由；（2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于點(diǎn)E，∠4＝78°，求∠BCD的度數(shù)．【分析】（1）由已知可證得∠2＝∠3，根據(jù)平行線的判定得到FA∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠FAB＝∠4；（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∠FAB＝∠4，理由如下：∵AC∥EF，∴∠1+∠2＝180°，又∵∠1+∠3＝180°，∴∠2＝∠3，∴FA∥CD，∴∠FAB＝∠4；（2）∵AC平分∠FAB，∴∠FAB＝2∠2，由（1）得：∠FAB＝∠4，∴∠4＝2∠2，∴∠3=∠∵EF⊥BE，AC∥EF，∴AC⊥BE，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．13．已知：直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)G，H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如圖3，在（2）的條件下，射線GH是∠BGM的平分線，在MH的延長線上取點(diǎn)N，連接GN，若∠N＝∠AGM，∠M＝∠N+12∠FGN，求∠【分析】（1）根據(jù)已知條件和對頂角相等即可證明；（2）如圖2，過點(diǎn)M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．進(jìn)而可以證明；（3）如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，過點(diǎn)H作HT∥GN，可得∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．∴∠BGF+∠DHE＝180°，∴AB∥CD；（2）證明：如圖2，過點(diǎn)M作MR∥AB，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MR．∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射線GH是∠BGM的平分線，∴∠FGM=1∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵∠M=∠N+1∴2α+β=2α+1∴∠FGN＝2β，過點(diǎn)H作HT∥GN，則∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，∵AB∥CD，∴∠AGH+∠CHG＝180°，∴90°+α+2α+3β＝180°，∴α+β＝30°，∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．14．“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝60°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達(dá)BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2，若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈A射線到達(dá)AN之前．若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作∠ACD交PQ于點(diǎn)D，且∠ACD＝120°，則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄俊螧AC與∠BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度數(shù)；（2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)0＜t＜90時，根據(jù)2t