現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，第2章 球面成像系統(tǒng)12.1

球面折射的光路計(jì)算公式2.2

單折射球面的成像放大率2.3 共軸球面系統(tǒng)2.4 球面反射鏡現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，2.1 球面折射的光路計(jì)算公式各球心在一條直線上的系統(tǒng)稱為共軸球面系統(tǒng)，連接各球心的直線稱為光軸。單個(gè)折射球面不能構(gòu)成光學(xué)元件，但透鏡是由折射球面組成。單個(gè)折射球面的折射和反射，是研究光學(xué)系統(tǒng)成像的基礎(chǔ)。延長入射光線與光軸相交于A點(diǎn)，A就是折射球面的物點(diǎn)，折射光線PA'相交于光軸而形成像點(diǎn)

A',撇號(hào)表示像方。在已知折射面結(jié)構(gòu)參數(shù)n、r、n'的情況下,如何由A來確定A'的位置?PDE-

A

Ann

OCII

rLL

L

r

L

r

I圖2.1.1 光線經(jīng)單球面的折射

U

Uy2現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，符號(hào)法則：規(guī)定光線由左向右傳播為正，圖上的量只標(biāo)注為絕對(duì)值。a.正量b.負(fù)量長度量L

hrII’?角 u度

量長度量-h

-u r-I-I’-?角度量-L-rAC C rCCA’長度：頂點(diǎn)左為負(fù)，右為正。角度：右手握拳，拇指向外則角角度為正，反之為負(fù)。*正負(fù)號(hào)僅表示方向，如頂點(diǎn)左(右)、順(反)時(shí)針或光軸上(下)，3用于判斷像的位置和倒正?，F(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，一、單折射球面的光路計(jì)算公式在三角形

APC中應(yīng)用正弦定理得：sin

I

sin(

U

)L

r rrsin

I

r

L

sinU

,sin

I

n

sin

I

,n

U

U

I

I

,L

r

r

sin

I

.sinU

—光線追跡(ray

tracing)PDE-

A

Ann

OCIIrLL

L

LI圖2.1.1 光線經(jīng)單球面的折射

U

Uy4現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，（續(xù)1：）單球面折射成像的不完善性A5nn

圖2.1.2

寬光束經(jīng)單折射面折射產(chǎn)生球差A(yù)

像方的光束不再和光軸交于一點(diǎn)，失去了同心性，這種現(xiàn)象稱為“球差”,像差的一種。非球面可以使某些特定軸上物點(diǎn)的寬光束成完善像。三次三角函數(shù)，不再適合現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)數(shù)值光線追跡計(jì)算。見第7章?，F(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，（續(xù)2:）若物點(diǎn)位于物方光軸上無限遠(yuǎn)處-

CA

OIrI

y圖2.1.3 平行光經(jīng)單折射球面的折射

U

zPL

r

r

sin

I

sinU

r n

U

U

I

I

,sinI

y

, sinI

nsin

I過折射面上P點(diǎn)作光軸的垂線，垂足到球面頂點(diǎn)O之間的距離被稱為該光線入射點(diǎn)的矢高：平行光入射時(shí)的光線追跡公式表達(dá)為：y22rz

6現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，二、近軸區(qū)域的光路計(jì)算公式若U很小，與其相應(yīng)的角I，I

，

和U

也很小，因此小寫表示為u，u

，i，

i

(實(shí)際上，

u，u

，i，i

的含義是這些角度的三角函數(shù)值，是沒有量綱的物理量，但習(xí)慣上仍稱“角度”。

)i

u

,

i

u

n

i

niSnell’s

Law:根據(jù)得即n

u

n

u

又因

y/r

yCn

u

nu

(n

n)

n

u

nu

y

n

n

CC

1/

r—折射面的曲率，rn

n

(n

n)C

焦度，單位：屈光度DPEl

(l

r) lA

Ann

OCr (l

r)

u

uiDiy7單折射球面的近軸成像—近軸折射(追跡)公式—折射面的光i

-

現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，（續(xù):）l rn

n

n

nl

又由公式再根據(jù)

l

u

lu

yn

u

nu

y

n

n

C得：近軸計(jì)算的兩個(gè)基本公式。l

僅是l

的函數(shù)，與u無關(guān)(即軸上物點(diǎn)以細(xì)光束成像時(shí)，形成的光束是同心光錐，但其是近似結(jié)果)。近軸像點(diǎn)被稱為高斯像點(diǎn)，通過高斯像點(diǎn)而垂直于光軸的像面稱為高斯像面。在近軸區(qū)的情況下，光線追跡變?yōu)閟inU

usinI

isin

I

i

sinU

u

r

ni

r

l

u,u

u

i

i

i

i

,l

r

rn

i

u

PEl

l(l

r)(l

r)A

Ann

OCr

u

uiDiy單折射球面的近軸成像i

-

8現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，2.2

單折射球面的成像放大率

m

l

rl

rnl

l

rm

h'

nl

n

l

l

r

h

n

l再由，由圖知，h

h

l rn n

n

h

hn

l

得 ，所以P1.垂軸放大率

—像高與物高之比。E

hl(l

r)l

(l

r)A

Ann

BB

OCrVW

u

h

uiDiy9近軸條件下的光路計(jì)算上式表明，在近軸區(qū)域內(nèi)垂軸放大率m，與物體的大小無關(guān)，僅決定于介質(zhì)的折射率(為已知常數(shù))和物像共軛面的位置。若m<0，倒像，

l

與l

異號(hào)，物像位于球面的兩側(cè)，像的虛實(shí)與物一致，實(shí)物成實(shí)像，虛物成虛像。若m>0，正像，

l

與l

同號(hào)，物像位于球面的同側(cè)，像的虛實(shí)與物相反，即實(shí)物成虛像，虛物成實(shí)像。i

-

現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，l rn n

n

n

l

2.軸向放大率軸向放大率是指軸上一對(duì)共軛點(diǎn)沿軸移動(dòng)量之間的比例關(guān)系。定義為：

dl

m

dl

nl

2m

dl n

l

2兩邊微商dl，得m2n

n

m

或軸向放大率恒為正，即物體沿軸移動(dòng)時(shí)，其像也以相同的方向移動(dòng)。如果物點(diǎn)沿軸移動(dòng)有限距離，軸向放大率公式為1 2nm

n

m

m10現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，3.角放大率共軛光線與光軸的夾角u

和

u之比稱為角放大率。定義為：

u

u利用關(guān)系式

lu

l

u

l

可得，

u

l

n 1n

mu還可表示為：4.三個(gè)放大率之間的關(guān)系m

m

PE

hl

l(l

r)(l

r)Ann

BB

OCrVW

u

h

A

uiDiy11近軸條件下的光路計(jì)算i

-

現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，2.過渡公式2.3 共軸球面系統(tǒng)一、過渡公式1.共軸球面系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)各個(gè)球面的曲率半徑：

r1,

r2

,

r3,

,

rk各個(gè)球面頂點(diǎn)之間的距離：t1,t2

,t3,

,tk

1各球面間介質(zhì)的折射率：n1,

n2

,

n3,

,

nk

,

nk

1r1r2

l1

l2l2

l3h1y112

h

(

h

)2

yu2

3B11An1 n1

n2O1C11 2A

(A

)B1

(B2

)2O2C2 3uB(B

)

A2

(

A3

)3O1u1

u

u2n2

n32n圖2.3.1

共軸球面光學(xué)系統(tǒng)的成像

l

t1t2n2

n1

,n3

n2

,

,nk

nk

1；u2

u1

,u3

u2

,

,uk

uk

1；h2

h1

,h3

h2

,

,hk

hk

1（截距過渡公式）l2

l1

t1,l3

l2

t2,

,lk

lk

1

tk

112現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，（續(xù)：）上述過渡公式對(duì)于光軸成較大角度的遠(yuǎn)軸光線也是同樣適用2 1 1 3 2 2 kU2

U1

,U3

U2

,

,Uk

Uk

1

L

L

t,L

L

t,

,

L

L

tk

1 k

1

光線與各球面交點(diǎn)高度的計(jì)算（過渡）問題ykk

1

yk

1

tk

1uk

1nk

1uk

1

yk

1

tk

1n

lkuk

lk

1uk

1

tk

1uk

1由于

lkuk

yk,

lk

?1uk

?1

yk?1

k

1k

1k k

1 k

1k

13.近軸光線追跡公式n

u

nu

y

n

n

C

n

u

u

y

y

t

yk

1

tk

1

n

k

1

——ynu光線追跡l r

n

n

n

n

l

l2

l1

t1,l3

l2

t2

,

,lk

lk

1

tk

1

——小l成像公式光線

“追跡”，或像方截距追跡。物像位置與該計(jì)算界面13有關(guān)！現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，二、ynu光線追跡近軸光線經(jīng)過光學(xué)系統(tǒng)包含兩個(gè)過程：發(fā)生在界面上的折射(含反射)，k

1 k

1k

1nk

1uk

1確定；以及兩界面間光線高度的過渡。折射過程由近軸折射公式

n

u

nu

y

n

n

C 確定；光線在界面上的高度變化則由過渡公式

yk

y軸上物點(diǎn)的像的位置是過渡公式為零的解。tn

(-)24026.5l'y1y2y3y0=10u1-u'3A'An2=1.51631R

=36.48R3=(-)44.64R2=(-)17.539n4=1.0n3=1.6475n1=1.0例：雙膠合透鏡用ynu

光線追跡方法確定物經(jīng)共軸光學(xué)系統(tǒng)所成像的位置和大小。14圖2.3.2

ynu光線追跡求物點(diǎn)經(jīng)雙膠合透鏡所成像的舉例假定物方截距

l=-240mm，物方孔徑角U1=1.43254

?，F(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，（續(xù)1:

）1.0(n1

)+36.48+0.02741236.51.5163(n

=n

)1 2-17.539-0.05701582.01.6475(n

=n

)2 3-

44.64-

0.02240141.0(n

)3y1

=+6mmr/

mmt0=240mmCn1

=1.0t/

mmn(1)軸上近軸光線的位置計(jì)算由已知參數(shù)，軸上點(diǎn)發(fā)出的光線與第一個(gè)面的交點(diǎn)高度得（sinU1=u1=0.025）y1

lu

(

240

0.025)=6(mm)該光線經(jīng)第一個(gè)面#1折射后的

n1'u1'

為n1'u1'=

n1u1

y1

(n1'

n1

)

C1

0.025

6

(1.5163

1)

0.0274123=

0.0599178該光線在第二個(gè)面#2上的高度由過渡公式計(jì)算得21yn1' 1.5163=y+t1(n1'u1')=6+6.5

(

0.0599178)=

5.7431473(mm)初始數(shù)據(jù)15現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，（續(xù)2:

）注意到

n2u2

=n1'u1'

，該光線經(jīng)第二個(gè)面#2折射后的

n2'u2'

為n2'u2'=n2u2

y2(n2'

n2)

C2

0.0599178

5.7431473

(1.6475

1.5163)

(

0.0570158)

0.0169563同理，光線在第三個(gè)面#3上的高度計(jì)算結(jié)果為3 22n

'

1.6475y =y+t2(n2'u2')=5.7431473+2

(

0.0169563)=

5.7225630mm注意到

n3u3

=n2'u2'，該光線經(jīng)第三個(gè)面#3折射后的

n3'u3'

為n3'u3'=n3u3

y3(n3'

n3)

C3

0.0169563

5.7225630

(1

1.6475)

(

0.0224014)

0.0999615u3'=n3'u3'/n3'=

0.0999615/1=

0.0999615得到同理，光線在第四個(gè)面#4（像面）上的高度為3(n3'u3')

=0y=y+

t34 3n

'16現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，因該光線從物方軸上點(diǎn)發(fā)出，成像后在像面上的高度為零，所以，y4

0因此，像點(diǎn)到表面#3的距離為3 33t

=

(y4

y3

)

=

0

5.7225630

=57.2476704(mm)=l

'u

'

0.0999615（續(xù)3:

）計(jì)算得出的距離

l

'3

0

。根據(jù)符號(hào)法則可知，物的像點(diǎn)位于表面#3的右方57.2476704mm處。完成一條光線的追跡計(jì)算。(2)軸外近軸光線的高度計(jì)算現(xiàn)在追跡任意軸外物點(diǎn)高度為10mm處發(fā)出的一條斜入射光線，求出該物點(diǎn)的像高。假設(shè)該光線與第一面的交點(diǎn)高度為0，即 y0=+10mm，y1=0求得該光線在第一個(gè)面#1上的

n1u11 011y =y+t0

(n1u1)t0nn

n1u1=(y1

y0

)

(0

10)/240=

0.0416667初始數(shù)據(jù)17現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，由近軸折射公式，光線經(jīng)第一面#1后折射的

n1

u1

（續(xù)4:

）n1'u1'=n1u1

y1(n1'

n1)

C1

0.0416667

0

(1.5163

1)

0.0274123=

0.0416667由過渡公式，光線在第二個(gè)面#2上的高度為1 1 111.5163y2=y1

+n

't (n

'u

') 6.5

(

0.0416667)=

0+ =

0.17861648(mm)注意到n2u2

=n1'u1'

，

該光線經(jīng)第二個(gè)面#2折射后的 n2'u2'為n2'u2'=n2u2

y2(n2'

n2)C2

0.0416667

(

0.1786148)

(1.6475

1.5163)

(

0.0570158)

0.0430028同理，光線在第三個(gè)面#3上的高度為y =y+

t23 218n2' 1.6475(n2'u2')=

0.1786148+2

(

0.0430028)

=

0.2308185(mm)現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，（續(xù)5:

）因n3u3

=n2'u2'

，

該光線經(jīng)第三個(gè)面#3折射后的

n3'u3'

為n3'u3'=n3u3

y3(n3'

n3)

C3

0.0430028

0.2308185

(1

1.6475)

(

0.0224014)

0.0396548最后，光線在像面上的高度為319y =y+

t34 3n

'

1(n3'u3')=

0.2308185+57.24767104

(

0.0396548)=

2.500963(mm)計(jì)算得出的像高

y4

0

，根據(jù)符號(hào)法則可知，物的像點(diǎn)位于光軸的下方?，F(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，物面#1#2#3像面r∞R1R2R3∞C0C1C2C30tnt0n1t1n2(n1')t2n3(n2')t3n4(n3')

1

2

3

t/nt0/n1t1/n2t2/n3t3/n4yy0y2y30nun1u1n2u2n3u3n4u4=

+ y1=

+

=（續(xù)6:

）為了簡化計(jì)算過程，上述計(jì)算可總結(jié)為表2.3.1，表中箭頭上表明了光線追跡運(yùn)算過程和計(jì)算方式。表2.3-1

表格形式的ynu近軸光線追跡計(jì)算過程?n2u2

n1u1

y1[

n1

n2

]C1n

u

nu

y

n

n

Cy2

y1

(t1n2

)n2u2

yk

1

tk

1

nk

1

nk

1uk

1yk20現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，(續(xù)7:)物面面#1面#2面#3像面rCtn∞0240136.48 -17.5390.0274123 -0.05701586.51.5163-44.64-0.02240142 57.24757061.6475 1∞0

t/n240-0.0141530 0.00748054.2867506-0.01450491.2139605 57.2475706ynu00.0256 5.7431475-0.05991785.7225632-0.0169563 -0.09996170ynu10 0 -0.1786146 -0.2308183 -2.500958-0.0416667 -0.0416667 -0.0430028 -0.0396548表2.3-2

一雙膠合透鏡的表格形式y(tǒng)nu近軸光線追跡計(jì)算過程?n2u2

n1u1

y1[

n1

n2

]C1n

u

nu

y

n

n

Cy2

y1

(t1n2

)n2u2

yk

1

tk

1

nk

1

nk

1uk

1yk212019（補(bǔ):

）近軸/理想光學(xué)系統(tǒng)的世界若U

很小，與其相應(yīng)的角I，I

，

和U

也很小，用小寫字母表示的u，

u

，i，

i

，這樣的近軸光線，此時(shí)表面的矢高已被忽略。

B’A A’B-l l'所有的近軸光線會(huì)聚到對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)1234 5孔徑光闌實(shí)際的光學(xué)鏡頭等效為3 4孔徑光闌6現(xiàn)代工程光學(xué)，，李大海，1256近軸光線追跡的光學(xué)系統(tǒng)222019Zemax軟件物面r0O r1

r2 r3 r4 r5 r6t0 t1 t2 t3 t4 t5n1 n2 n3 n4 n5 n6表面編號(hào)

0 1 2 3 4 5 6光學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)橫截面yZemax光學(xué)設(shè)計(jì)軟件的全局和局域坐標(biāo)均采用了右手坐標(biāo)系。原點(diǎn)O與光學(xué)元件頂點(diǎn)重合。 Ot6n7x像面r7O'kz現(xiàn)代工程光學(xué)，，李大海，右手坐標(biāo)系232019現(xiàn)代工程光學(xué)，，李大海，Zemax光學(xué)設(shè)計(jì)軟件的鏡頭設(shè)計(jì)界面24現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，三、共軸球面系統(tǒng)的放大率1.垂軸放大率h

整個(gè)系統(tǒng)的垂軸放大率定義為像高與物高之比，即：

m

k

h1因 h1

h2,h2

h3, ,hk

1

hk

，所以可將上式寫成：11 21 2 kh h h h hk

1

km

hk

h1

h2

hk

1

hk

mm

m整個(gè)系統(tǒng)的垂軸放大率等于各個(gè)折射面垂軸放大率的乘積。得：m

n1l1

l2

lk

,nk

l1l2

lkh1m

hk

n1u1nk

uk

若用 m

h'

nl

若用

nhu

n

h

u

得：dl125

dl

整個(gè)系統(tǒng)的軸向放大率

m

定義為：m

k

lk

1

tk

1利用關(guān)系式：

l2

l1

t1,

l3

l2

t2

,

,

lkh n

l2.軸向放大率現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，微分上列各式可得：

dl2

dl1

,

dl3

dl2

,

,

dlk

dlk

11 2k1 1 2 kdl

dl

dl

dl

dlk

dl1

dl2

dlk

m

mm

m所以有：

整個(gè)系統(tǒng)的軸向放大率同樣是各個(gè)折射面的軸向放大率的乘積。將式代入 式并稍加變換可得2 2221 211k

mnnnk

m

m

m

m

2nnnk

m

m1 2km

mm

m2

nn

此形式與 m

m

完全相同。（續(xù):

）26現(xiàn)代工程光學(xué)，2019，李大海，根據(jù)定義，整個(gè)系統(tǒng)的角放大率

為：1 21 2kkk1 1 2 kuu u uu u u u

n11

nk1

n2 1

n1 1

n1 1n1

m1 n2

m2nk

mk n

km1m2

mk n

k

m代入上式