PAGEPAGE1小題專練·作業(yè)(十四)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．已知集合M是函數(shù)y＝eq\f(1,\r(1－2x))的定義域，集合N是函數(shù)y＝x2－4的值域，則M∩N＝()解析由題意得M＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))，N＝[－4，＋∞)，所以M∩N＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))。故選B。答案B2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－2)，x>2，,x2＋2，x≤2，))則f(f(1))＝()A．－eq\f(1,2) B．2C．4 D．11解析因?yàn)閒(1)＝12＋2＝3，所以f(f(1))＝f(3)＝3＋eq\f(1,3－2)＝4。故選C。答案C3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋a，x>0，,4x－2－1，x≤0。))若f(a)＝3，則f(a－2)＝()A．－eq\f(15,16) B．3C．－eq\f(63,64)或3 D．－eq\f(15,16)或3解析當(dāng)a>0時(shí)，若f(a)＝3，則log2a＋a＝3，解得a＝2(滿意a>0)；當(dāng)a≤0時(shí)，若f(a)＝3，則4a－2－1＝3，解得a＝3，不滿意a≤0，所以舍去。于是，可得a＝2。故f(a－2)＝f(0)＝4－2－1＝－eq\f(15,16)。故選A。答案A4．函數(shù)y＝ln(2－|x|)的大致圖象為()解析令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|－2<x<2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，解除C、D。當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝lneq\f(1,2)<0，解除B。故選A。答案A5．(2024·遼寧五校聯(lián)考)設(shè)a＝2017eq\s\up15(eq\f(1,2018))，b＝log2017eq\r(2018)，c＝log2018eq\f(1,2017)，則()A．c>b>aB．b>c>aC．a(chǎn)>c>bD．a(chǎn)>b>c解析因?yàn)閍＝2017eq\s\up15(eq\f(1,2018))>20170＝1,0<b＝log2017eq\r(2018)<log20172017＝1，c＝log2018eq\f(1,2017)<log20181＝0，所以a>b>c。故選D。答案D6．(2024·貴陽摸底)已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(2,ex＋1)(a∈R)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的值域?yàn)?)A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－3,3)D．(－4,4)解析解法一：由f(x)是奇函數(shù)知f(－x)＝－f(x)，所以a－eq\f(2,e－x＋1)＝－a＋eq\f(2,ex＋1)，得2a＝eq\f(2,ex＋1)＋eq\f(2,e－x＋1)，所以a＝eq\f(1,ex＋1)＋eq\f(ex,ex＋1)＝1，所以f(x)＝1－eq\f(2,ex＋1)。因?yàn)閑x＋1>1，所以0<eq\f(1,ex＋1)<1，－1<1－eq\f(2,ex＋1)<1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)。故選A。解法二：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－eq\f(2,ex＋1)。因?yàn)閑x＋1>1，所以0<eq\f(1,ex＋1)<1，－1<1－eq\f(2,ex＋1)<1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)?－1,1)。故選A。答案A7．(2024·開封考試)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(x)＝－f(x＋2)，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝2x＋log2x，則f(2015)＝()A．5B．eq\f(1,2)C．2D．－2解析由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2。故選D。答案D8．(2024·祁陽二模)已知偶函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時(shí)，f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))＋sinx，設(shè)a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，則()A．a(chǎn)<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．c<a<b解析因?yàn)楫?dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時(shí)，y＝sinx單調(diào)遞增，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))也為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))＋sinx也為增函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))為偶函數(shù)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，f(x)的圖象關(guān)于x＝eq\f(π,2)對(duì)稱，所以f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因?yàn)?<π－3<1<π－2<eq\f(π,2)，所以f(π－3)<f(1)<f(π－2)，即c<a<b。故選D。答案D9．(2024·北京高考)能說明“若f(x)>f(0)對(duì)隨意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是________。解析這是一道開放性試題，答案不唯一。只要滿意f(x)>f(0)對(duì)隨意的x∈(0,2]都成立，且函數(shù)f(x)在[0,2]上不是增函數(shù)即可。如f(x)＝sinx，答案不唯一。答案f(x)＝sinx(答案不唯一)10．(2024·蚌埠質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝e|x|·lg(eq\r(1＋4x2)＋ax)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值為________。解析依題意有f(－x)＋f(x)＝0，f(－x)＝e|－x|·lg(eq\r(1＋4－x2)－ax)，f(－x)＋f(x)＝e|x|lg(1＋4x2－a2x2)＝0，故a2＝4，a＝±2。答案±211．(2024·洛陽統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)同時(shí)滿意下列兩個(gè)條件，則稱該函數(shù)為“美麗函數(shù)”：(1)?x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0；(2)?x1，x2∈R，且x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0。①f(x)＝sinx；②f(x)＝－2x3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)＋x)。以上四個(gè)函數(shù)中，“美麗函數(shù)”的個(gè)數(shù)是________。解析由條件(1)，得f(x)是R上的奇函數(shù)，由條件(2)，得f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)。對(duì)于①，f(x)＝sinx在R上不單調(diào)，故不是“美麗函數(shù)”；對(duì)于②，f(x)＝－2x3既是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞減，故是“美麗函數(shù)”；對(duì)于③，f(x)＝1－x不是奇函數(shù)，故不是“美麗函數(shù)”；對(duì)于④，易知f(x)在R上單調(diào)遞增，故不是“美麗函數(shù)”。答案112．(2024·浙江高考)函數(shù)y＝2|x|sin2x的圖象可能是()解析設(shè)f(x)＝2|x|sin2x，其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函數(shù)，故解除A、B；令f(x)＝0，所以sin2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，所以x＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，故解除C。故選D。答案D13．(2024·河北名校聯(lián)考)已知奇函數(shù)f(x)滿意f(x＋1)＝f(1－x)，若當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)，且f(2018－a)＝1，則實(shí)數(shù)a的值可以是()A．eq\f(9,11) B．eq\f(11,9)C．－eq\f(9,11) D．－eq\f(11,9)解析因?yàn)閒(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)＝f(2－x)，又函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(2－x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，周期為4。當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，令f(x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝1，得x＝eq\f(9,11)，又f(2018－a)＝f(2－a)＝f(a)，所以a可以是eq\f(9,11)。故選A。答案A14．(2024·成都檢測)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿意f(x＋2)＋f(x)＝0，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝log2(x＋1)，則下列不等式正確的是()A．f(log27)<f(－5)<f(6)B．f(log27)<f(6)<f(－5)C．f(－5)<f(log27)<f(6)D．f(－5)<f(6)<f(log27)解析f(x＋2)＋f(x)＝0?f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)。又f(－x)＝－f(x)，且有f(2)＝－f(0)＝0，所以f(－5)＝－f(5)＝－f(1)＝－log22＝－1，f(6)＝f(2)＝0。又2<log27<3，所以0<log27－2<1，即0<log2eq\f(7,4)<1，f(log27)＋f(log27－2)＝0?f(log27)＝－f(log27－2)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,4)))＝－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,4)＋1))＝－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,2)))，又1<log2eq\f(7,2)<2，所以0<log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,2)))<1，所以－1<－log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(7,2)))<0，所以f(－5)<f(log27)<f(6)。故選C。答案C15．(2024·衡水中學(xué)第十五次模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)若滿意：①對(duì)隨意x1，x2(x1≠x2)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；②對(duì)隨意x，都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，則稱函數(shù)f(x)為“關(guān)于點(diǎn)(a，b)的斜函數(shù)”。已知函數(shù)y＝f(x－1)是關(guān)于點(diǎn)(1,0)的斜函數(shù)，若m，n滿意不等式f(m2＋2n)≤－f(－n2－2m)，則當(dāng)m∈[1,4]時(shí)，eq\f(3n－m,m＋n)的取值范圍為________。解析由①可知函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，由②及函數(shù)y＝f(x－1)是關(guān)于點(diǎn)(1,0)的斜函數(shù)，可知函數(shù)y＝f(x)是關(guān)于點(diǎn)(0,0)的斜函數(shù)。所以函數(shù)y＝f(x)為R上的奇函數(shù)且