學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2017—2018學年江蘇省鹽城市高三（上）期中數(shù)學試卷一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上。1．已知集合A=｛1，3，6｝，B={1,2},則A∪B=．2．函數(shù)y=sin2x的最小正周期是．3．設(shè)冪函數(shù)y=xα的圖象經(jīng)過點,則α的值為．4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b,c，若a=2,，，則A=．5．命題“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命題,則a的取值范圍是．6．在等差數(shù)列｛an}中，若，則數(shù)列｛an｝的前6項的和S6=．7．設(shè)向量，，，若,則x+y=．8．若函數(shù)f（x）=x2+(a+3）x+lnx在區(qū)間（1，2）上存在唯一的極值點，則實數(shù)a的取值范圍為．9．設(shè)菱形ABCD的對角線AC的長為4，則=．10．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)且A＞0,ω＞0,）的部分圖象如圖所示，若（），則的值為．11．設(shè)函數(shù)f（x）是以4為周期的奇函數(shù),當x∈［﹣1，0）時，f（x）=2x,則f(log220）=．12．設(shè)函數(shù)f(x）=|x﹣a｜+（a∈R），若當x∈(0,+∞）時，不等式f（x）≥4恒成立，則的取值范圍是．13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A=，a=4，角A的平分線交邊BC于點D，其中AD=3，則S△ABC=．14．設(shè)數(shù)列{an}共有4項，滿足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若對任意的i，j(1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），ai﹣aj仍是數(shù)列{an｝中的某一項．現(xiàn)有下列命題:①數(shù)列{an｝一定是等差數(shù)列;②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③數(shù)列{an}中一定存在一項為0．其中，真命題的序號有．（請將你認為正確命題的序號都寫上）二、解答題：本大題共6小題,共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a,b，c,已知a=3,,且．(1)求b的值；（2）求sin（A﹣B）的值．16．記函數(shù)f(x）=lg（1﹣ax2）的定義域、值域分別為集合A，B．（1）當a=1時，求A∩B；(2)若“x∈A"是“x∈B”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．17．設(shè)直線是函數(shù)f(x）=sinx+acosx的圖象的一條對稱軸．（1）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時x的值；（2）求函數(shù)f（x）在［0，π]上的減區(qū)間．18．2016年射陽縣洋馬鎮(zhèn)政府決定投資8千萬元啟動“鶴鄉(xiāng)菊海"觀光旅游及菊花產(chǎn)業(yè)項目．規(guī)劃從2017年起，在相當長的年份里，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項目.2016年該項目的凈收入為5百萬元(含旅游凈收入與菊花產(chǎn)業(yè)凈收入）,并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均為上一年的1。5倍．記2016年為第1年，f(n）為第1年至此后第n（n∈N＊）年的累計利潤（注：含第n年,累計利潤=累計凈收入﹣累計投入，單位：千萬元），且當f（n）為正值時，認為該項目贏利．（1)試求f（n)的表達式；（2）根據(jù)預測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：，ln2≈0。7，ln3≈1.1）19．已知數(shù)列｛an}滿足a1=﹣1，a2=1，且．(1）求a5+a6的值;（2）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項的和，求Sn；(3）設(shè)bn=a2n﹣1+a2n，是否存正整數(shù)i,j，k（i＜j＜k),使得bi，bj，bk成等差數(shù)列?若存在，求出所有滿足條件的i，j,k；若不存在，請說明理由．20．設(shè)函數(shù)f（x)=mlnx（m∈R），g(x）=cosx．（1）若函數(shù)在(1，+∞）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍;（2）設(shè)函數(shù)φ(x）=f（x）+g(x）,若對任意的，都有φ（x）≥0，求m的取值范圍；（3）設(shè)m＞0，點P（x0，y0)是函數(shù)f(x）與g（x）的一個交點,且函數(shù)f（x）與g（x）在點P處的切線互相垂直，求證：存在唯一的x0滿足題意，且．

2017-2018學年江蘇省鹽城市高三（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、填空題:本大題共14小題，每小題5分,共計70分。請把答案填寫在答題卡相應位置上。1．已知集合A={1,3，6},B={1，2}，則A∪B={1，2，3,6}．【考點】1D：并集及其運算．【分析】利用并集定義直接求解．【解答】解:集合A=｛1，3,6}，B=｛1，2}，則A∪B={1,2，3，6}，故答案為：{1，2，3，6}2．函數(shù)y=sin2x的最小正周期是π．【考點】H1：三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ)的周期為,可得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)y=sin2x的最小正周期是=π,故答案為：π．3．設(shè)冪函數(shù)y=xα的圖象經(jīng)過點，則α的值為．【考點】4U：冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】由于冪函數(shù)y=xα的圖象過點，把此點的坐標代入解得α即可．【解答】解：∵冪函數(shù)y=xα的圖象過點，∴，解得．故答案為．4．在△ABC中，角A,B，C的對邊分別為a，b,c,若a=2，,，則A=．【考點】HP：正弦定理．【分析】由已知結(jié)合正弦定理,可得sinA=1，進而得到答案．【解答】解：在△ABC中，角A，B,C的對邊分別為a，b，c，若a=2，，，則由正弦定理得：，即,解得：sinA=1，又由A為三角形的內(nèi)角,故A=，故答案為：．5．命題“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命題，則a的取值范圍是（﹣∞,﹣2）∪（2，+∞）．【考點】2I：特稱命題．【分析】若命題“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命題,則函數(shù)y=x2﹣ax+1的圖象與x軸有兩個交點，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．【解答】解：若命題“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命題，則函數(shù)y=x2﹣ax+1的圖象與x軸有兩個交點，故△=a2﹣4＞0,解得:a∈（﹣∞，﹣2）∪(2，+∞)，故答案為：（﹣∞,﹣2）∪(2，+∞）．6．在等差數(shù)列{an}中，若，則數(shù)列｛an}的前6項的和S6=2．【考點】85：等差數(shù)列的前n項和．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得a1+a6，再由等差數(shù)列的前n項和公式求得S6．【解答】解：在等差數(shù)列{an｝中，∵，∴S6==．故答案為:2．7．設(shè)向量，，，若，則x+y=．【考點】9J:平面向量的坐標運算．【分析】根據(jù)題意，由向量的坐標計算公式可得若,則有,解可得x、y的值，將其相加即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量,，，若，則有,解可得，則x+y=，故答案為:．8．若函數(shù)f（x）=x2+（a+3）x+lnx在區(qū)間（1，2）上存在唯一的極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（﹣，﹣6）．【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，由已知條件結(jié)合零點存在定理，可得f′（1）?f′（2）＜0，解出不等式求并集即可．【解答】解:f′（x）=2x+a+3+=，若f(x）在（1，2）上存在唯一的極值點,則f′（1）f′（2)＜0，即（a+6）（2a+15）＜0,解得：﹣＜a＜﹣6，故答案為：(﹣,﹣6）．9．設(shè)菱形ABCD的對角線AC的長為4,則=8．【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義，寫出?,再由菱形的對角線互相垂直平分,利用三角中余弦函數(shù)的定義,得到||×cos∠BAO=｜|=2，從而求出答案．【解答】解:設(shè)菱形ABCD的對角線AC、BD相交于O點，則AC⊥BD，且AO=AC=2，由平面向量的數(shù)量積定義可知：?=||×||×cos∠BAC=4×｜|×cos∠BAO=4×|｜=4×2=8．故答案為：8．10．設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ為常數(shù)且A＞0，ω＞0，）的部分圖象如圖所示,若（)，則的值為．【考點】HK：由y=Asin(ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由函數(shù)f（x）的圖象求出A、T、ω和φ的值,寫出f（x）的解析式；再由f(α）的值，利用三角恒等變換求出f（α+）的值．【解答】解：由函數(shù)f（x）的圖知,A=2，由T=2×［﹣（﹣）]=2π，得ω==1，∴f（x)=2sin（x+φ）；又f（）=2sin（+φ）=2，且﹣＜φ＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（x﹣）；由f（α）=2sin(α﹣）=，∴sin（α﹣）=；又0＜α＜，∴﹣＜α﹣＜,∴cos（α﹣）==；∴f（α+）=2sinα=2sin[（α﹣）+]=2sin（α﹣）cos+cos(α﹣）sin=2××+2××=．故答案為:．11．設(shè)函數(shù)f(x）是以4為周期的奇函數(shù),當x∈[﹣1，0)時，f（x）=2x，則f（log220）=．【考點】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；3T:函數(shù)的值．【分析】由函數(shù)f（x）是以4為周期的奇函數(shù)，log220∈（4，5)，可得：4﹣log220x∈[﹣1,0），進而f（log220)=f（log220﹣4）=﹣f（4﹣log220），結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)，可得答案．【解答】解:∵函數(shù)f(x）是以4為周期的奇函數(shù)，log220∈（4，5），∴4﹣log220x∈[﹣1，0），∴f（log220）=f（log220﹣4)=﹣f(4﹣log220），∵當x∈[﹣1，0）時，f（x）=2x,∴f(log220）=﹣（）==，故答案為：．12．設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣a|+（a∈R），若當x∈（0，+∞）時,不等式f(x)≥4恒成立，則的取值范圍是（﹣∞，2］．【考點】3R：函數(shù)恒成立問題．【分析】利用勾勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解:函數(shù)f（x）=｜x﹣a|+（a∈R）,∵x∈（0,+∞）當x＞a時，可得f(x）=x+﹣a﹣a≥4，當且僅當x=3時取等，即6﹣a≥4，可得：a≤2．當x＜a時，可得f（x）=a﹣x+，∵y=在（0，+∞)是遞減函數(shù)，對f（x）≥4不成立．∴a無解．故答案為（﹣∞，2]．13．在△ABC中，角A，B,C的對邊分別為a，b，c,已知A=，a=4,角A的平分線交邊BC于點D，其中AD=3，則S△ABC=12．【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】由題意ABD和ADC面積和定理可得AD=，△ABC中利用余弦弦定理即可求解b?c,根據(jù)S△ABC=cbsinA可得答案．【解答】解：由A=，a=4，余弦定理:cosA=，即bc=b2+c2﹣112．…①角A的平分線交邊BC于點D，由ABD和ADC面積和定理可得AD=，AD=3，即bc=3（b+c）…②由①②解得：bc=48．那么S△ABC=cbsinA=12．故答案為：1214．設(shè)數(shù)列{an}共有4項，滿足a1＞a2＞a3＞a4≥0,若對任意的i，j（1≤i≤j≤4,且i，j∈N*）,ai﹣aj仍是數(shù)列｛an｝中的某一項．現(xiàn)有下列命題:①數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列；②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③數(shù)列｛an｝中一定存在一項為0．其中,真命題的序號有①②③．（請將你認為正確命題的序號都寫上）【考點】8H:數(shù)列遞推式．【分析】根據(jù)題意：對任意i，j(1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是該數(shù)列的某一項，因此0∈｛an}，即a4=0，進而推出數(shù)列的其它項，可得答案．【解答】解：根據(jù)題意：對任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是該數(shù)列的某一項，令i=j,則0為數(shù)列的某一項，即a4=0，則a3﹣a4=a3∈{an}，（a3＞0)．必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，而a1﹣a2=a2或a3，若a1﹣a2=a2，則a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2,a3，a4，舍去；若a1﹣a2=a3∈{an},此時a1=3a3，可得數(shù)列｛an}為：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）;據(jù)此分析選項：易得①②③正確；故答案為：①②③二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在△ABC中,角A,B，C的對邊分別為a，b，c,已知a=3，，且．（1)求b的值；(2）求sin（A﹣B）的值．【考點】GI:三角函數(shù)的化簡求值;9R:平面向量數(shù)量積的運算．【分析】（1)由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義求得c的值，再利用余弦定理，求得b的值．（2)利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA的值，再利用兩角差的正弦公式求得sin(A﹣B）的值．【解答】解：（1)在△ABC中，由，得accosB=7，即，解得c=3．在△ABC中,由余弦定理，得b2=a2+c2﹣2ac?cosB=9+9﹣18?=4，∴b=2．（2）因為，所以B為銳角，故．又由余弦定理,得,所以A為銳角，且．所以．16．記函數(shù)f（x）=lg（1﹣ax2）的定義域、值域分別為集合A，B．（1）當a=1時，求A∩B;（2)若“x∈A"是“x∈B”的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷；1E：交集及其運算．【分析】(1)當a=1時，f（x)=lg（1﹣x2），求出A，B進而可得求A∩B；（2）若“x∈A"是“x∈B"的必要不充分條件,則B?A，進而可得答案．【解答】解：（1)當a=1時，f（x）=lg(1﹣x2)，由1﹣x2＞0，得A=（﹣1，1）．…又0＜1﹣x2≤1，所以B=（﹣∞，0]．…故A∩B=（﹣1，0]．…（2）“x∈A”是“x∈B"的必要不充分條件?B?A．…①當a=0時，A=R,B={0}，適合題意;…②當a＜0時，A=R，B=［0,+∞），適合題意;…③當a＞0時，，B=（﹣∞，0]，不適合題意．…綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]．…17．設(shè)直線是函數(shù)f(x)=sinx+acosx的圖象的一條對稱軸．（1)求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時x的值；(2）求函數(shù)f（x）在[0，π］上的減區(qū)間．【考點】GL:三角函數(shù)中的恒等變換應用；H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】(1）由直線是函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸，可得對x∈R恒成立．變形得到對x∈R恒成立，得．從而求得函數(shù)解析式，由,可得時，f（x）取得最大值2；（2)由復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f(x）的單調(diào)減區(qū)間，取k值可得f（x）在［0，π]上的減區(qū)間．【解答】解：(1）∵直線是函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸,∴對x∈R恒成立．∴對x∈R恒成立，即對x∈R恒成立,得．從而．故當，即時，f(x）取得最大值2;（2）由，解得，k∈Z．取k=0，可得f（x）在［0，π]上的減區(qū)間為．18．2016年射陽縣洋馬鎮(zhèn)政府決定投資8千萬元啟動“鶴鄉(xiāng)菊海"觀光旅游及菊花產(chǎn)業(yè)項目．規(guī)劃從2017年起,在相當長的年份里，每年繼續(xù)投資2千萬元用于此項目.2016年該項目的凈收入為5百萬元（含旅游凈收入與菊花產(chǎn)業(yè)凈收入），并預測在相當長的年份里，每年的凈收入均為上一年的1。5倍．記2016年為第1年,f（n）為第1年至此后第n（n∈N*）年的累計利潤（注：含第n年，累計利潤=累計凈收入﹣累計投入，單位：千萬元），且當f（n)為正值時，認為該項目贏利．（1）試求f（n）的表達式；（2)根據(jù)預測，該項目將從哪一年開始并持續(xù)贏利?請說明理由．（參考數(shù)據(jù):，ln2≈0。7，ln3≈1。1)【考點】8B:數(shù)列的應用．【分析】(1）由題意知,第1年至此后第n（n∈N*)年的累計投入為8+2（n﹣1）（千萬元），第1年至此后第n（n∈N＊)年的累計凈收入為，利用等比數(shù)列的求和公式可得f(n)．（2）方法一：由f（n+1）﹣f（n)=，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．方法二：設(shè),求導利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．【解答】解：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N＊)年的累計投入為8+2（n﹣1)=2n+6（千萬元），…第1年至此后第n（n∈N＊）年的累計凈收入為=(千萬元)．…所以（千萬元）．…（2）方法一：因為=，所以當n≤3時，f（n+1）﹣f（n）＜0，故當n≤4時,f(n)遞減;當n≥4時，f（n+1）﹣f（n）＞0，故當n≥4時，f(n）遞增．…又，，．所以,該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利．…答：該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利．…方法二：設(shè)，則,令f'（x）=0,得，所以x≈4．從而當x∈［1，4）時，f'（x)＜0，f(x）遞減；當x∈（4，+∞）時,f’（x）＞0,f（x）遞增．…又，，．所以，該項目將從第8年開始并持續(xù)贏利．…答：該項目將從2023年開始并持續(xù)贏利．…19．已知數(shù)列｛an｝滿足a1=﹣1,a2=1，且．（1）求a5+a6的值；（2）設(shè)Sn為數(shù)列{an｝的前n項的和，求Sn；（3）設(shè)bn=a2n﹣1+a2n，是否存正整數(shù)i，j，k（i＜j＜k）,使得bi,bj，bk成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的i，j，k；若不存在，請說明理由．【考點】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．【分析】（1）由題意，當n為奇數(shù)時,;當n為偶數(shù)時,．結(jié)合a1=﹣1，a2=1，進一步求得,則a5+a6可求；（2）①當n=2k時，Sn=S2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（a2+a4+…+a2k）,代入等比數(shù)列前n項和公式求解；②當n=2k﹣1時，由Sn=S2k﹣a2k求解；（3）由（1）得（僅b1=0且｛bn}遞增）．結(jié)合k＞j,且k，j∈Z，可得k≥j+1．然后分k≥j+2與k=j+1兩類分析可得滿足條件的i,j，k只有唯一一組解,即i=1，j=2,k=3．【解答】解:（1）由題意，當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，．又a1=﹣1，a2=1,∴，即a5+a6=2；（2）①當n=2k時，Sn=S2k=(a1+a3+…+a2k﹣1)+（a2+a4+…+a2k）===．②當n=2k﹣1時,Sn=S2k﹣a2k===．∴；（3)由（1)，得（僅b1=0且{bn}遞增）．∵k＞j，且k，j∈Z,∴k≥j+1．①當k≥j+2時，bk≥bj+2，若bi,bj，bk成等差數(shù)列,則=，此與bn≥0矛盾．故此時不存在這樣的等差數(shù)列．②當k=j+1時,bk=bj+1，若bi，bj,bk成等差數(shù)列,則=，又∵i＜j，且i，j∈Z，∴i≤j﹣1．若i≤j﹣2,則bi≤bj﹣2，得，得≤0，矛盾，∴i=j﹣1．從而2bj=bj﹣1+bj+1,得,化簡，得3j﹣2=1，解得j=2．從而，滿足條件的i,j，k只有唯一一組解，即i=1，j=2，k=3．20．設(shè)函數(shù)f（x）=mlnx（m∈R)，g（x)=cosx．（1）若函數(shù)在（1,+∞）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；（2)設(shè)函數(shù)φ（x）=f（x)+g（x)，若對任意的,都有φ(x）≥0，求m的取值范圍；(3)設(shè)m＞0,點P（x0，y0）是函數(shù)f(x)與g(x）的一個交點，且函數(shù)f（x）與g（x）在點P處的切線互相垂直,求證：存在唯一的x0滿足題意，且．【考點】6B