安徽省六安市葉集皖西當(dāng)代中學(xué)2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.73．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則（

）A．1 B． C．3 D．1或34．已知m，n為兩條不同直線，，，為三個(gè)不同平面，則下列條件能推出的是（

）A．，B．，C．，，D．，，，5．若為的邊的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．已知向量與的夾角為120°，||＝3，|＋|＝，則等于（

）A．5 B．4 C．3 D．17．已知正四棱錐的體積為，底面邊長為，則以為球心，為半徑的球的體積為（

）A． B． C． D．8．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，則（

）A．B．的外接圓半徑為C．的面積的最大值為D．的周長的取值范圍是二、多選題（本大題共3小題）9．關(guān)于樣本數(shù)據(jù)：，下列結(jié)論中正確的是（

）A．極差為6 B．眾數(shù)為7 C．中位數(shù)為8 D．平均數(shù)為810．湖光巖瑪珥湖，位于廣東省湛江市麻章區(qū)湖光鎮(zhèn)，是中國乃至世界最大的濕瑪珥湖，是中國瑪珥湖研究的始發(fā)點(diǎn)，也是世界瑪玶湖研究的關(guān)鍵點(diǎn)．某小組計(jì)劃測量如圖所示的湖光巖瑪珥湖的東西方向的總湖長，即測量湖光巖瑪珥湖湖岸的兩個(gè)測量基點(diǎn)之間的距離，現(xiàn)在湖光巖瑪珥湖的湖岸取另外兩個(gè)測量基點(diǎn)，測得米，，，則（

）

A．米 B．米C．米 D．米11．已知圓錐SO(O是底面圓的圓心,S是圓錐的頂點(diǎn))的母線長為7,高為3.若P,Q為底面圓周上任意兩點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A．三角形SPQ面積的最大值為23B．三棱錐O-SPQ體積的最大值為2C．四面體SOPQ外接球表面積的最小值為11πD．直線SP與平面SOQ所成角的余弦值的最小值為21三、填空題（本大題共3小題）12．復(fù)數(shù)的虛部為.13．若一組數(shù)據(jù)的方差為1，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.14．如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量.(1)若，求；(2)若與共線，求的值.16．已知三棱柱（如圖所示），底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱底面ABC，，E為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積17．某高校承辦了奧運(yùn)會(huì)的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三?四?五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.(1)求的值；(2)估計(jì)這100名候選者面試成績的平均數(shù)和分位數(shù)（精確到0.1）；(3)在第四?五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自同一組的概率.18．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，其面積為.(1)求角；(2)若的角平分線交于點(diǎn)，且，求的值.19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為菱形，，．(1)證明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)求二面角P－AD－B的余弦值．

參考答案1．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的計(jì)算公式及復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以，即所以，所以所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故選B.2．【答案】B【詳解】設(shè)事件A為不用現(xiàn)金支付，則故選B.3．【答案】D【分析】根據(jù)題意利用余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】由余弦定理可得，即，整理可得，解得或.故選D.4．【答案】A【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)平面與平面關(guān)系的判定可判斷BCD.【詳解】對(duì)A，若，，則，故A正確；對(duì)B，若，，則與平行或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，，，則與平行或相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，若，，，，則與平行或相交，故D錯(cuò)誤.故選A.5．【答案】A【分析】直接利用向量的加減法及數(shù)乘運(yùn)算即可.【詳解】2(2.故選A.6．【答案】B【分析】將|＋|＝兩邊平方，得到關(guān)于的一元二次方程，解方程即可.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為120°，||＝3，|＋|＝，所以，,因?yàn)?，，所以，，所以，（舍去）或，故選B．7．【答案】D【分析】根據(jù)棱錐的體積公式，結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)、勾股定理、球的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)在底面的射影為，則為該正棱錐的高，因?yàn)檎睦忮F的體積為，底面邊長為，所以有，因?yàn)樵谠撜睦忮F中，底面是正方形，所以，因此由勾股定理可得，所以為半徑的球的體積為，故選D.8．【答案】D【分析】利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理邊化角判斷AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范圍判斷CD即可.【詳解】選項(xiàng)A，由可得，又是的內(nèi)角，，所以，由正弦定理得，因?yàn)橹?，所以，即，所以，A說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，設(shè)的外接圓半徑為，因?yàn)?，所以由正弦定理得，所以，解得，B說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由正弦定理可得，解得，由余弦定理得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的面積，C說法錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由C知，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由三角形的性質(zhì)知，所以，D說法正確；故選D.9．【答案】AB【分析】分別求出平均數(shù)、眾數(shù)、極差和中位數(shù)，即可判斷.【詳解】對(duì)于數(shù)據(jù)：，極差為，故A正確；眾數(shù)為7，故B正確；中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤.平均數(shù)為，故D錯(cuò)誤；故選AB.10．【答案】ABD【分析】中，由等腰三角形的性質(zhì)求判斷選項(xiàng)B；在和中，正弦定理求和判斷選項(xiàng)AC；在中，由余弦定理得判斷選項(xiàng)D.【詳解】在中，，，則米，B選項(xiàng)正確．在中，，又，則，由正弦定理可得，即，解得米，A選項(xiàng)正確；中同理可得米，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；在中，由余弦定理得，所以米，D選項(xiàng)正確．故選ABD.11．【答案】BD【解析】經(jīng)典題型：圓錐的性質(zhì)、三棱錐的體積、四面體外接球的表面積、直線與平面所成角如圖,由題意得圓錐的底面半徑PO=SP2-S對(duì)于A,由于S△SPQ=12×7×7×sin∠PSQ=72sin∠PSQ,當(dāng)sin∠PSQ=1,即PQ=14時(shí)(提示:因?yàn)橹睆介L為4,PQ=14必能取到),△SPQ面積的最大值為72,故對(duì)于B,因?yàn)镾△OSP=12×2×3=3(提示:求棱錐體積的最大值的關(guān)鍵是找出定面積或定高線),則當(dāng)OP⊥OQ時(shí),三棱錐O-SPQ的體積取得最大值,所以(VO-SPQ)max=(VQ-OSP)max=13×3×2=233,對(duì)于C,設(shè)∠POQ=θ(0<θ<π),則△POQ外接圓的半徑為OP2sinπ-θ2=1cosθ2.設(shè)四面體SOPQ外接球的球心為O',△POQ外接圓的圓心為A,則O'A=12SO=32,所以O(shè)'O2=O'A2+AO2=34+1cos2θ2=34+21+cosθ.因?yàn)閷?duì)于D,由線面角的定義,可得當(dāng)OP⊥平面SOQ時(shí),直線SP與平面SOQ所成角的余弦值最小,即為SOSP=37=217,故D正確.【思路導(dǎo)引】利用勾股定理求出圓錐底面半徑→利用三角形面積公式求出△SPQ面積的最大值→判斷A轉(zhuǎn)化為求(VQ-OSP)max→根據(jù)OP⊥OQ求出最大值→判斷B利用正弦定理求出△POQ外接圓的半徑→利用勾股定理求外接球半徑→求范圍→判斷C由線面角的定義,得OP⊥平面SOQ時(shí),直線SP與平面SOQ所成角的余弦值最小→求出最小的余弦值→判斷D12．【答案】1【分析】計(jì)算出模長，并利用復(fù)數(shù)除法法則得到，求出虛部.【詳解】，故虛部為1.故答案為：1.13．【答案】2【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)得到數(shù)據(jù)的方差為，進(jìn)而得到標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】數(shù)據(jù)的方差為，故數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為.故答案為：2.14．【答案】.【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DF//CE，交AB于點(diǎn)F，由BE=2EA，D為BC中點(diǎn)，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得，進(jìn)而可求；（2）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求得.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)?，則，解得，則，所以.（2）由題意可得：，因?yàn)榕c共線，則，解得.16．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）連接，交于，連接，證明即可；（2）取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，可得平面，由可求.【詳解】（1）連接，交于，連接，在中，為中點(diǎn)，，平面，平面，平面；（2）取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，為等邊三角形，，平面，平面，平面，，，平面，為中點(diǎn)，，平面，且，則.17．【答案】(1)，(2)平均數(shù)為69.5，分位數(shù)為69.4；(3)【分析】（1）由每個(gè)小矩形面積代表頻率，所有頻率之和為1，可得，；（2）根據(jù)直方圖中各個(gè)數(shù)字特征的求法運(yùn)算即可；（3）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數(shù)，再利用列舉法求出古典概型的概率即可．【詳解】（1）因?yàn)榈谌?四?五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，解得；（2）由（1）知，平均數(shù)為；前兩組頻率之和為0.3，前三組頻率之和為0.75，所以中位數(shù)位于組內(nèi)，且，即分位數(shù)為69.4；（3）第四?五兩組志愿者分別有20人，人，故按照分層抽樣抽得第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人選出2人，所有情況有，共10種，其中選出的2人來自同一組的有，共6種，所以選出的2人來自同一組的概率為.18．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用面積公式和余弦定理整理可得，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意利用面積公式可得，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：，整理可得，且，所以.（2）由題意可得：，且，可知，可得，即，又因?yàn)椋傻?，解得，?在中，由余弦定理得，即，所以.19．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）作圖，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，DE，分析圖中的幾何關(guān)系，即可證明；（2）根據(jù)第1問的結(jié)果，過點(diǎn)E作，垂足為F，則∠PF