第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年上海市長(zhǎng)寧區(qū)延安中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，每小題4分，共16分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是(

)A.y=x?sinx B.y=sinxx C.2.為了得到函數(shù)y=2sin(3x+π4)的圖象，只需把函數(shù)y=2sin3x的圖象上所有的點(diǎn)A.向左平移π4個(gè)單位 B.向左平移π12個(gè)單位C.向右平移π4個(gè)單位 D.3.在△ABC中，“sinA>cosB”是“△ABC為銳角三角形”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.三角函數(shù)是刻畫(huà)周期現(xiàn)象最典型的數(shù)學(xué)模型.關(guān)于三角函數(shù)周期性給出兩個(gè)結(jié)論：

①函數(shù)y=cosx?cos2x是周期函數(shù)；

②函數(shù)y=cosx+cos(πx)是周期函數(shù)．

A.①②都正確 B.①②都錯(cuò)誤 C.①正確，②錯(cuò)誤 D.①錯(cuò)誤，②正確二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。5.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P(?1,3)，則sinα的值為_(kāi)_____．6.3弧度是第______象限角．7.函數(shù)y=tan2x的最小正周期

．8.已知α是第四象限角，且cosα=35，則sinα=______．9.已知sin(θ?π3)=1310.函數(shù)f(x)=2sin(2x+π3)11.已知α∈(π,3π2),β∈(0,π2)且sin(α?β)=?12.在△ABC中，sinA：sinB：sinC=5：7：8，則sinA+sinB+sinC=______．13.如圖，貨輪在海上以40km/?的速度沿著南偏東40°的方向航行，貨輪在B處觀測(cè)到燈塔A在其南偏東70°的方向上，航行半小時(shí)到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)燈塔A在其北偏東65°的方向上，則C點(diǎn)與燈塔A的距離為_(kāi)_____km．14.函數(shù)f(x)=2sinx?cosx+sinx?cosx，x∈R的值域是______．15.直線y=m(m>0)與函數(shù)f(x)=4sin(2x+φ)圖像的相鄰的三個(gè)交點(diǎn)從左自右依次為A、B、C，若|AB|=2|BC|，則m=______．16.已知α、β滿足3sinαcosβ=2三、解答題：本題共5小題，共48分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題6分)

求函數(shù)y=23sinxcosx+2sin18.(本小題9分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若acosB+bcosA=2ccosA．

(1)求A的大??；

(2)若a=7，b+c=13，求△ABC的面積．19.(本小題9分)

(1)證明三倍角公式sin3α=3sinα?4sin3α；

(2)DS同學(xué)試著將π2?α代入第(1)小題中的公式，得到：

sin[3(π2?α)]=3sin(π2?α)?4sin3(π20.(本小題10分)

如圖，某學(xué)校足球場(chǎng)長(zhǎng)90米，寬60米，球門(mén)寬6米，球門(mén)CD位于底線中央(CD中點(diǎn)與底線中點(diǎn)重合).A是球場(chǎng)邊線的中點(diǎn)，B是底線上一點(diǎn)，且BC=12米，球員甲沿AB方向帶球突進(jìn)．

(1)求tan∠DAB的值；

(2)若甲準(zhǔn)備在線段AB上某一點(diǎn)P處起腳射門(mén)，試問(wèn)點(diǎn)P距離底線多遠(yuǎn)時(shí)，P對(duì)球門(mén)的張角(∠DPC)最大？(結(jié)果精確到0.1米)21.(本小題14分)

對(duì)于函數(shù)y=f(x)，x∈D，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T∈D，使得當(dāng)x取其定義域D中的任意值時(shí)，有x+T∈D，且成立f(x+T)=f(x)+f(T)，則稱函數(shù)y=f(x)是“類周期函數(shù)”，這個(gè)非零常數(shù)T叫做函數(shù)y=f(x)的一個(gè)“類周期”．

(1)證明函數(shù)f(x)=x+sinx是“類周期函數(shù)”；

(2)證明函數(shù)f(x)=cosx不是“類周期函數(shù)”；

(3)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)是“類周期函數(shù)”，證明：“f(T)=0”是“T是y=f(x)的一個(gè)‘類周期’”的必要非充分條件．

參考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.36.二

7.π28.?49.1310.[?5π11.?1612.1013.1014.[?1?15.2

16.?1

17.解：由于y=23sinxcosx+2sin2x=3sin2x+1?cos2x=2sin(2x?π6)+1，

函數(shù)的最小正周期18.(1)因?yàn)閍cosB+bcosA=2ccosA，

由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，

即sin(A+B)=2sinCcosA，

在△ABC中，sin(A+B)=sinC>0，

所以cosA=12，

因?yàn)锳∈(0,π)，

所以A=π3；

(2)由(1)知，cosA=12，因?yàn)閍=7，b+c=13，

由余弦定理，得a2=b2+19.(1)證明：sin3α=sin(2α+α)

=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos2α+(1?2sin2α)sinα

=2sinα(1?sin2α)+(1?2sin2α)sinα

=2sinα?2sin3α+sinα?2sin20.(1)由題意BC=12，CD=6，

可得AE=902=45，CE=60?62=27，

可得BE=CE?BC=27?12=15，DE=DC+CE=6+27=33，

可得tan∠BAE=BEAE=13，tan∠DAE=DEAE=1115，

可得tan∠DAB=tan(∠DAE?∠BAE)=1115?131+1115×13=928；

(2)設(shè)點(diǎn)P距離底線x米，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BE，垂足為Q，PQ=x，

則BQ=x3，

可得CQ=CB+BQ=12+x3，DQ=DB+BQ=18+x3，

tan∠CPQ=CQPQ=21.證明：(1)取T=2π，因?yàn)閒(x)=x+sinx，所以f(2π)=2π，

所以f(x+2π)=x+2π+sin(x+2π)=x+2π+sinx=f(x)+f(2π)，

所以函數(shù)f(x)=x+sinx是“類周期函數(shù)”，2π是其一個(gè)“類周期”；

(2)假設(shè)函數(shù)f(x)=cosx是“類周期函數(shù)”，

則存在非零常數(shù)T，使得cos(x+T)=cosx+cosT對(duì)任意x∈R都成立，

取x=0，則可得cos(0+T)=cos0+cosT，所以cos0=0，顯然不成立，

所以函數(shù)f(x)=cosx不是“類周期函數(shù)”；

(3)函數(shù)y=f(x)，x∈D是“類周期函數(shù)”，

則存在非零常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)+f(T)，對(duì)任意x∈D都成立．

取x=0，則f(0+T)=f(0)+f(T)，所以f(0)=0，

對(duì)于函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)，則有sinφ=0，所以φ=kπ(k∈Z)，

所以f(x)=±Asinωx，

對(duì)于f(x)=Asinωx，取T=2πω，則f(T)=f(2πω)=Asin2π=0，

所以f(x+T)=f(x+2πω)=Asin[ω(x+2πω)]=Asin(ωx+2π)=Asinωx=f(x)+f(2πω)=f(x)+f(T)，

所以函數(shù)f(x)=Asinωx是“類周期函數(shù)”，

對(duì)于f(x)=?Asinωx，取T=2πω，則f(T)=f(2πω)=?Asin[ω?2πω]=?Asin2π=0，

所以f(x+T)=f(x+2πω)=?Asin[ω(x+2πω)]=?Asin(ωx+2π)=?Asinωx=f(x)+f(2πω)=f(x)+f(T)，

所以f(x)=?Asinωx也是“類周期函數(shù)”，

不妨設(shè)f(x)=Asinωx