2024級(jí)高一下學(xué)期第二次學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試題滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間為120分鐘。2．答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上。3．使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，要字跡工整，筆跡清晰：超出答題區(qū)書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。1．已知事件A與事件B互為對(duì)立事件，且，則（）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.72．給定一組數(shù)據(jù)：10，12，15，16，18，20，21，則其75%分位數(shù)為（）A．17 B．18 C．19 D．203．某公司A，B，C三個(gè)部門(mén)的員工數(shù)量之比為a：3：4，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)部門(mén)抽取18名員工進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，若從B部門(mén)抽取員工6名，則從A部門(mén)抽取員工的數(shù)量為（）A．2 B．4 C．5 D．64．在正方體中，直線(xiàn)AC與所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．袋子中有4個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中1個(gè)紅球、3個(gè)白球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，則“第二次摸到白球”的概率為（）A． B． C． D．6．若a，b是異面直線(xiàn)，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．存在與a，b都平行的直線(xiàn) B．存在與a，b都垂直的平面C．存在過(guò)a且與b垂直的平面 D．存在過(guò)a且與b平行的平面7．如圖，是用斜二測(cè)畫(huà)法得到的水平放置的的直觀圖，其中．以BC為軸，將旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．8．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱BC，，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面上任意一點(diǎn)，若直線(xiàn)BP與平面EFG無(wú)公共點(diǎn)，則下列命題中，①平面EFG②平面平面③所有點(diǎn)P在直線(xiàn)上④BP與所成的角為，則的最小值是正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的有（）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，，則10．已知一組樣本數(shù)據(jù)，，，，滿(mǎn)足，則去掉后的新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)相比（）A．平均數(shù)不變 B．中位數(shù)不變 C．方差不變 D．極差不變11．在如圖所示的三棱錐中，，兩兩互相垂直，下列正確的為（

）A．直線(xiàn)與平面所成的角為45°B．二面角的正切值為C．到面的距離為D．作平面，垂足為，則為的重心三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知數(shù)據(jù)-1，2，4，x，7，8的眾數(shù)為4，則其標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______．13．若某正四棱臺(tái)的上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2和4，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為_(kāi)_______．14．如圖，在三棱錐中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且PA⊥平面ABC，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，且．若直線(xiàn)MN與底面ABC所成角的正切值為，則的值為_(kāi)_______；在A，M，B，P，N，C6個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成三棱錐的概率為_(kāi)_______．（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）每年的4月23日為“世界讀書(shū)日”．為了解學(xué)生課外閱讀情況，某學(xué)校從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)其每天閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行調(diào)查，并依據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制了如下頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；（3）已知落在樣本數(shù)據(jù)的平均值是53，方差是4；落在樣本數(shù)據(jù)的平均值是68，方差是9．求落在樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差．16．（15分）如圖，在四棱錐中，，，．（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若，E，F(xiàn)分別為BD，PD的中點(diǎn)，求證：平面平面AEF．17．（15分）如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.18．（17分）甲、乙兩支代表隊(duì)進(jìn)行趣味籃球?qū)官?，?guī)則如下：對(duì)抗賽分為若干局：每局比賽只有勝負(fù)兩種結(jié)果，勝者得1分，負(fù)者得0分；積分首先達(dá)到3分的代表隊(duì)贏得對(duì)抗賽，對(duì)抗賽結(jié)束．假定甲代表隊(duì)每局比賽獲勝的概率為，且各局比賽結(jié)果互不影響．（1）求經(jīng)過(guò)3局比賽，對(duì)抗賽結(jié)束的概率；（2）求甲代表隊(duì)贏得對(duì)抗賽的概率．19．（17分）如圖，在直三棱柱中，，，P，Q分別為AC，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）設(shè)平面與平面的交線(xiàn)為l，求二面角的正切值；（3）在線(xiàn)段CQ上是否存在點(diǎn)M，使直線(xiàn)AM與平面所成角的大小為？若存在，求出CM的長(zhǎng)度；若不存在，說(shuō)明理由．2024級(jí)高一下學(xué)期第二次學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題CDBCADBC二、選擇題9．BC10．ABD11．ABD三、填空題12．313．14．，四、解答題15．解：（1）由題意知，， 2分解得． 4分（2）根據(jù)頻率分布直方圖，， 6分所以． 8分（3）由頻率分布直方圖知，落在、的樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分別為60，40， 9分所以， 12分所以． 15分16．證明：（1）因?yàn)?，，所以．又因?yàn)?，，平面PAD，平面PAD，所以CD⊥平面PAD． 4分又平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD． 6分（2）延長(zhǎng)AE交CD于G，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為BD，PD中點(diǎn)，所以，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC． 9分因?yàn)?，所以，又E為BD中點(diǎn)，所以，注意到，所以，所以．又因?yàn)椋訥為CD中點(diǎn)，所以． 12分又因?yàn)槠矫鍼BC，平面PBC，所以平面PBC． 13分因?yàn)?，平面AEF，平面AEF，所以平面平面AEF． 15分17.【詳解】（1）因?yàn)闉檎切?，所以；因?yàn)?，所?又，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平面?）過(guò)點(diǎn)P作的垂線(xiàn)，垂足為H，連結(jié).因?yàn)槠矫嫫矫?，又平面平面，平面，故平?所以直線(xiàn)與平面所成角為在中，，由余弦定理得，所以.所以,又，故，即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.18．解：（1）設(shè)事件“甲第i局獲勝”，事件A=“經(jīng)過(guò)3局比賽，對(duì)抗賽結(jié)束”，由題意知，前3局比賽中，甲全勝或者全負(fù)，即，， 2分， 4分于是，經(jīng)過(guò)3局，對(duì)抗賽結(jié)束的概率為． 6分（2）設(shè)事件B=“甲贏得對(duì)抗賽”，“經(jīng)過(guò)i局比賽，甲贏得對(duì)抗賽”，．則．若，則甲、乙的積分之比為3：0，；若，則甲、乙的積分之比為3：1，即在前三局比賽中，甲勝兩局負(fù)一局，第四局甲獲勝，所以； 13分若，則甲、乙的積分之比為3：2，即在前四局比賽中，甲、乙兩人各勝兩局，第五局甲獲勝，所以； 16分故． 17分19．解：（1）設(shè)，連接PN，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以N為中點(diǎn)，又因?yàn)镻為AC中點(diǎn)，所以． 2分因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?4分（2）設(shè)平面與平面的交線(xiàn)為l，又平面，平面，所以． 5分因?yàn)?，，，所以BC⊥平面． 5分設(shè)O為AB中點(diǎn)，則，所以PO⊥平面． 6分因?yàn)槠矫?，所以．過(guò)O作，因?yàn)?，所以l⊥平面POH．連接P