長春高中數(shù)學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.1B.2C.4D.83.直線\(3x+4y-5=0\)的斜率是（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)4.若\(\log_{2}x=3\)，則\(x\)的值為（）A.6B.8C.9D.165.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.46.拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)7.函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x\)的極大值點是（）A.\(x=-1\)B.\(x=1\)C.\(x=0\)D.\(x=2\)8.\(\cos120^{\circ}\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)9.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{4\}\)D.\(\{1,2,3,4\}\)10.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{3}{5}x\)D.\(y=\pm\frac{5}{3}x\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)C.\(a^{2}+b^{2}\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)3.以下哪些是等比數(shù)列的性質(zhì)（）A.\(a_{n}^{2}=a_{n-1}a_{n+1}(n\gt1)\)B.\(S_{n}\)，\(S_{2n}-S_{n}\)，\(S_{3n}-S_{2n}\)成等比數(shù)列C.若\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)D.等比數(shù)列的公比\(q\neq0\)4.直線\(l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)與\(l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)平行的條件是（）A.\(A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}=0\)B.\(A_{1}C_{2}-A_{2}C_{1}\neq0\)C.\(B_{1}C_{2}-B_{2}C_{1}\neq0\)D.\(\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}\neq\frac{C_{1}}{C_{2}}\)（\(A_{2}\)，\(B_{2}\)，\(C_{2}\neq0\)）5.下列關(guān)于橢圓的說法正確的有（）A.橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為定值B.橢圓的離心率\(e\in(0,1)\)C.焦點在\(x\)軸上的橢圓標準方程為\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)D.橢圓的長軸長是\(2a\)6.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的性質(zhì)正確的有（）A.最小正周期是\(\pi\)B.圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{12}\)對稱C.圖象關(guān)于點\((-\frac{\pi}{6},0)\)對稱D.在\((-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12})\)上單調(diào)遞增7.已知向量\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow=(x_{2},y_{2})\)，則（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)B.\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)C.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)D.若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0\)8.下列屬于基本不等式應用的有（）A.求\(y=x+\frac{1}{x}(x\gt0)\)的最小值B.求\(y=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\)的最小值C.已知\(x+2y=1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值D.求\(y=\sinx+\frac{1}{\sinx}(0\ltx\lt\pi)\)的最小值9.對于函數(shù)\(y=f(x)\)，下列說法正確的有（）A.若\(f(a)=f(b)\)，則\(a=b\)不一定成立B.函數(shù)的定義域和值域一定是數(shù)集C.函數(shù)圖象一定是連續(xù)不斷的曲線D.函數(shù)一定有最大值和最小值10.下列關(guān)于導數(shù)的說法正確的有（）A.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_{0}\)處的導數(shù)\(f^\prime(x_{0})\)表示函數(shù)在\(x=x_{0}\)處的切線斜率B.若\(f^\prime(x)\gt0\)在區(qū)間\((a,b)\)上恒成立，則\(y=f(x)\)在\((a,b)\)上單調(diào)遞增C.函數(shù)\(y=f(x)\)的極值點處導數(shù)一定為\(0\)D.導數(shù)為\(0\)的點不一定是函數(shù)的極值點三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^{2}\gtb^{2}\)。（）3.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）4.圓\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)的圓心是\((0,0)\)，半徑是\(r\)。（）5.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）6.等差數(shù)列的前\(n\)項和公式是\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)。（）7.函數(shù)\(y=a^{x}(a\gt0,a\neq1)\)是指數(shù)函數(shù)，其圖象恒過點\((0,1)\)。（）8.若直線\(l\)垂直于平面\(\alpha\)內(nèi)的無數(shù)條直線，則\(l\perp\alpha\)。（）9.函數(shù)\(y=\lnx\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增。（）10.雙曲線的離心率\(e\gt1\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2x^{2}-4x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=2\)，\(b=-4\)，對稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入得\(y=1\)，頂點坐標為\((1,1)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因為\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\)是第二象限角，所以\(\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^{2}\alpha}=-\frac{4}{5}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{4}\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由直線的點斜式方程\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)（\((x_{0},y_{0})\)為直線上一點，\(k\)為斜率），已知點\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，即\(3x-y-1=0\)。4.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}+n\)，求\(a_{n}\)。答案：當\(n=1\)時，\(a_{1}=S_{1}=1^{2}+1=2\)；當\(n\geqslant2\)時，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}+n-[(n-1)^{2}+(n-1)]=2n\)。\(n=1\)時也滿足\(a_{n}=2n\)，所以\(a_{n}=2n\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^{3}-3x\)的單調(diào)性與極值情況。答案：對函數(shù)求導得\(y^\prime=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)，函數(shù)遞增；令\(y^\prime\lt0\)，得\(-1\ltx\lt1\)，函數(shù)遞減。極大值\(f(-1)=2\)，極小值\(f(1)=-2\)。2.在解析幾何中，橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì)有哪些聯(lián)系與區(qū)別？答案：聯(lián)系：都是圓錐曲線。區(qū)別：定義上，橢圓是到兩定點距離和為定值；雙曲線是差的絕對值為定值；拋物線是到定點與定直線距離相等。性質(zhì)方面，離心率橢圓\(0\lte\lt1\)，雙曲線\(e\gt1\)，拋物線\(e=1\)，且焦點、準線等性質(zhì)也不同。3.結(jié)合實際生活，舉例說明基本不等式在求最值問題中的應用