高二數(shù)學(xué)零診試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若集合\(A=\{1,2\}\)，則\(A\)的子集個(gè)數(shù)為（）A.2B.3C.4D.82.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(4\pi\)D.\(3\pi\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(2\)C.\(-2\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.45.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.1B.2C.4D.-46.雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A.3B.6C.9D.127.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域?yàn)椋ǎ〢.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,-1)\)8.若\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)9.已知函數(shù)\(f(x)=x^{2}+ax+3\)，若\(f(1)=0\)，則\(a\)的值為（）A.-4B.4C.-2D.210.在\(\triangleABC\)中，\(A=60^{\circ}\)，\(a=\sqrt{3}\)，\(b=1\)，則\(B\)的度數(shù)為（）A.\(30^{\circ}\)B.\(60^{\circ}\)C.\(120^{\circ}\)D.\(150^{\circ}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=|x|\)2.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)是等比數(shù)列，公比為\(q\)，則下列說法正確的有（）A.\(q\neq0\)B.\(a_{n}\neq0\)C.若\(q>1\)，則\(\{a_{n}\}\)單調(diào)遞增D.若\(0<q<1\)，則\(\{a_{n}\}\)單調(diào)遞減3.下列直線中，與直線\(y=3x+1\)平行的有（）A.\(y=3x-1\)B.\(y=6x+1\)C.\(y=3(x+1)\)D.\(y=-\frac{1}{3}x+1\)4.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的性質(zhì)正確的有（）A.焦點(diǎn)在\(x\)軸上B.長(zhǎng)半軸長(zhǎng)\(a=4\)C.短半軸長(zhǎng)\(b=3\)D.離心率\(e=\frac{\sqrt{7}}{4}\)5.以下說法正確的有（）A.空間中兩直線不平行就相交B.一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行C.垂直于同一條直線的兩條直線可能平行，可能相交，也可能異面D.球的體積公式是\(V=\frac{4}{3}\pir^{3}\)（\(r\)為半徑）6.若\(a>b\)，則下列不等式成立的有（）A.\(a+c>b+c\)B.\(ac>bc\)(\(c\neq0\))C.\(\frac{1}{a}<\frac{1}\)D.\(a^{2}>b^{2}\)7.設(shè)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），則下列說法正確的有（）A.若\(z\)是實(shí)數(shù)，則\(b=0\)B.若\(z\)是純虛數(shù)，則\(a=0\)且\(b\neq0\)C.\(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)D.\(z\)的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=a-bi\)8.已知\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow=(x_{2},y_{2})\)，則下列與向量相關(guān)的說法正確的有（）A.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)B.若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)，則\(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)C.\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)D.若\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角為\(\theta\)，則\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}\)9.下列導(dǎo)數(shù)公式正確的有（）A.\((x^{n})^\prime=nx^{n-1}\)（\(n\inR\)）B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^{x})^\prime=e^{x}\)10.在概率統(tǒng)計(jì)中，以下說法正確的有（）A.事件\(A\)與\(B\)互斥，則\(P(A+B)=P(A)+P(B)\)B.若\(A\)，\(B\)相互獨(dú)立，則\(P(AB)=P(A)P(B)\)C.期望\(E(X)\)是衡量隨機(jī)變量\(X\)取值中心位置的一個(gè)量D.方差\(D(X)\)越大，表明數(shù)據(jù)越穩(wěn)定三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數(shù)\(y=2^{x}\)是奇函數(shù)。（）3.兩條異面直線所成角的范圍是\((0,\frac{\pi}{2}]\)（）4.直線\(x+y+1=0\)與直線\(x-y+1=0\)垂直（）5.函數(shù)\(y=\cos2x\)的圖象是由\(y=\cosx\)圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腬(2\)倍得到。（）6.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow=\overrightarrow{0}\)。（）7.若\(a,b\inR\)，且\(a+b=1\)，則\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)。（）8.雙曲線的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)（焦點(diǎn)在\(x\)軸）。（）9.對(duì)于函數(shù)\(y=f(x)\)，若\(f(x_{1})=f(x_{2})\)，則\(x_{1}=x_{2}\)。（）10.若\(a>b\)，則\(a^{3}>b^{3}\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2x^{2}-8x+3\)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)，對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=2\)，\(b=-8\)，對(duì)稱軸\(x=\frac{8}{4}=2\)。把\(x=2\)代入得\(y=2\times2^{2}-8\times2+3=-5\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,-5)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha-3\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)的值。答：分子分母同時(shí)除以\(\cos\alpha\)，則\(\frac{\sin\alpha-3\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha-3}{\tan\alpha+1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入，得\(\frac{2-3}{2+1}=-\frac{1}{3}\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}=n^{2}+n\)，求\(a_{n}\)。答：當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(a_{1}=S_{1}=1^{2}+1=2\)；當(dāng)\(n\geqslant2\)時(shí)，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=n^{2}+n-[(n-1)^{2}+(n-1)]=2n\)。\(n=1\)時(shí)也滿足\(a_{n}=2n\)，所以\(a_{n}=2n\)。4.求過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答：與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線設(shè)為\(2x-y+c=0\)，把點(diǎn)\((1,2)\)代入得\(2\times1-2+c=0\)，解得\(c=0\)，所以直線方程為\(2x-y=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^{3}-3x\)的單調(diào)性。答：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^{2}-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime>0\)，得\(x>1\)或\(x<-1\)，函數(shù)在\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)單調(diào)遞增；令\(y^\prime<0\)，得\(-1<x<1\)，函數(shù)在\((-1,1)\)單調(diào)遞減。2.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^{2}+y^{2}=1\)的位置關(guān)系。答：圓\(x^{2}+y^{2}=1\)圓心\((0,0)\)，半徑\(r=1\)。圓心到直線\(y=kx+1\)（即\(kx-y+1=0\)）的距離\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}\)。當(dāng)\(d=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}<1\)（\(k\neq0\)）時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)\(d=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}=1\)（\(k=0\)）時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)\(d=\frac{1}{\sqrt{k^{2}+1}}>1\)，無解，不存在直線與圓相離。3.在\(\triangleABC\)中，已知\(A=60^{\circ}\)，\(a=\sqrt{3}\)，討論滿足條件的三角形個(gè)數(shù)。答：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}\)得\(\frac{\sqrt{3}}{\sin60^{\circ}}=\frac{\sinB}\)，則\(b=2\sinB\)。因?yàn)閈(A=60^{\circ}\)，所以\(0<B<120^{\circ}\)，\(\sinB\)在\((0,120^{\circ})\)的值域是\((0,1]\)，\(b=2\sinB\)，\(b\in(0,2]\)。又\(a=\sqrt{3}\)，當(dāng)\(b\in(0,\sqrt{3})\)時(shí)，有兩解；當(dāng)\(b=\sqrt{3}\)或\(b=2\)時(shí)，有一解；當(dāng)\(b\in(\sqrt{3},2)\)時(shí)，有一解。4.討論等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}\)的最值情況。答：對(duì)于等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)，\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)d}{2}=\frac0cmyiem{2}n^{2}+(a_{1}-\fracwi40oca{2})n\)。若\(d>0\)，\(S_{n}\)是開口向上拋物線，有最小值（\(n\)取靠近對(duì)稱軸的值）；若\(d<0\)，\(S_{n}\)是開口向下拋物線，有最大值（\(n\)取靠近對(duì)稱軸的值）；若\(d=0\)，\(S_{n}=na_{1}\)，無