《3.1.1方程的根與函數(shù)的零點》教學(xué)設(shè)計一、分析教材結(jié)構(gòu)與功能分析本節(jié)內(nèi)容安排在最新的人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書《數(shù)學(xué)1·必修·A版》第三章，第一節(jié)的第一課時。本課時知識點和其他知識的聯(lián)系可以用如下的框架圖表示。教材呈現(xiàn)方式分析通過分析三對特殊的函數(shù)和方程：方程與函數(shù)、方程與函數(shù)、方程與函數(shù)，發(fā)現(xiàn)方程的根和對應(yīng)的函數(shù)圖像與x軸的交點坐標(biāo)的關(guān)系，推廣到一般二次方程及其相應(yīng)的二次函數(shù)，再推廣到一般的方程和它所對應(yīng)的函數(shù)，導(dǎo)出零點的定義，得出這樣一個規(guī)律：方程有實根的圖像與軸有交點有零點，再通過分析二次函數(shù)在區(qū)在區(qū)間，是否有零點與和的乘積合0的大小的關(guān)系，以及在區(qū)間，是否有零點與和的乘積合0的大小代的關(guān)系，得出函數(shù)在區(qū)間是否有零點與和的乘積合0的大小的關(guān)系，并運用這個規(guī)律來解決例1。二、學(xué)情分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過解二次方程、二次函數(shù)及其圖像和基本性質(zhì)，在本書的前兩章學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本性質(zhì)，會解一般的一元二次方程，能繪制一般的二次函數(shù)和其他比較簡單的函數(shù)的圖像并分析其性質(zhì)，在初中還學(xué)過《用函數(shù)的觀點看一元二次方程》，學(xué)生初步了解二次函數(shù)的圖像與x軸的交點有三種情況，當(dāng)二次函數(shù)的圖像與x軸有交點時，交點的橫坐標(biāo)就是一般二次方程的根，但沒有提出零點的概念，研究得不夠深入，并且沒有推廣到一般方程的解和它所對應(yīng)的函數(shù)圖像與x軸的交點的關(guān)系。作為高一的學(xué)生，具備了一定的觀察能力，進(jìn)行合理猜測的能力和歸納能力。三、教學(xué)目標(biāo)分析知識技能：1、掌握方程的實根與函數(shù)的零點的聯(lián)系和零點定理。2、理解一元二次方程的實根與對應(yīng)函數(shù)的圖象的聯(lián)系。3、初步體會函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想。情感態(tài)度：通過探究式教學(xué)讓學(xué)生積極參與，感受課堂學(xué)習(xí)樂趣，體驗成功的喜悅。數(shù)學(xué)思考：用聯(lián)系的觀點來看待問題。解決問題：用函數(shù)的觀點來復(fù)雜的方程的解的問題/。四、重點難點分析重點：函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系，因為它把函數(shù)和方程聯(lián)系起來，使學(xué)生初步形成用函數(shù)的觀點解決問題的意識。連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法，這是求解或證明函數(shù)在某區(qū)間上存在零點和方程的根在某區(qū)間的一種重要方法。難點：確定方程的根的大致區(qū)間是本知識點的難點，因為對于比較復(fù)雜的函數(shù)，學(xué)生作圖有一定的難度。五、教學(xué)方法與教學(xué)手段1、探究式教學(xué)法；2、講授法；3、強(qiáng)化法；4、師生對話法。六、第一課時教學(xué)過程設(shè)計第一課時教學(xué)過程設(shè)計（續(xù)）第一課時教學(xué)過程設(shè)計（續(xù)）。內(nèi)容師生活動設(shè)計意圖1、本章知識總攬。師：向?qū)W生大體介紹本章知識的內(nèi)容，說明本章知識和前后知識之間的聯(lián)系以及本章內(nèi)部知識之間的聯(lián)系。讓學(xué)生了解本章知識所處的地位和需要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。2、引導(dǎo)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)一元二次方程的實根和它對應(yīng)的二次函數(shù)圖像之間的關(guān)。師：一元二次方程的實根與二次函數(shù)的圖像有什么樣的關(guān)系呢？通過問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。學(xué)生思考，老師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生。師：首先我給大家?guī)讉€特殊的一元二次方程和它們對應(yīng)二次函數(shù)：方程與函數(shù)；方程與函數(shù)；方程與函數(shù).師：大家解出每一組中方程的實根，作出函數(shù)圖象并找出圖象和x軸的交點的橫坐標(biāo)。體會一下一元二次方程的實根與它對應(yīng)的函數(shù)圖象和x軸的交點有怎樣的關(guān)系。（畫表格）函數(shù)方程的根函數(shù)圖像與x軸的交點師：通過這幾組特殊的一元二次方程和它對應(yīng)的二次函數(shù)，參照老師在黑板上畫出的這個表格，你們你們能夠得到什么結(jié)論？對于一般的一元二次方程，它的實根與它對應(yīng)的函數(shù)圖象到底有什么聯(lián)系？生：歸納總結(jié)。充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生自己的思考和交流，得出結(jié)論。師：引導(dǎo)學(xué)生把結(jié)論歸納成一個表格，利用表格幫助學(xué)生強(qiáng)化理解。生：在老師的引導(dǎo)下得出結(jié)論。師：通過這個表格，可以看出，一元二次方程的實根實際上就等價于對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)。師：這個結(jié)論對于一般的情形成立嗎？師：為了更容易解決這個問題，先來學(xué)習(xí)零點的概念。（板書：對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。）師：零點是點嗎？它與方程的根有何關(guān)系？師：函數(shù)的零點與函數(shù)的圖像與x軸的交點有什么關(guān)系？（零點并不是點，它不是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)，而是實數(shù)，例如函數(shù)的零點是x=-1,3。函數(shù)的零點就是方程的實根，亦即函數(shù)圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)）因此，方程有實根函數(shù)的圖象與x軸有交點函數(shù)有零點。師：如何根據(jù)零點的意義求零點？可以解方程而得到（代數(shù)法）；可以利用函數(shù)的圖像找出零點（幾何法）。生：交流討論后作出回答。把知識歸納成一個表格，一目了然。3、例題講解。例、利用函數(shù)的圖像判斷方程有沒有實根根，有幾個實根。師：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生把它化為一般的一樣二次方程的形式：，通過作出函數(shù)的圖象，觀察圖象與x軸有沒有交點，有幾個交點來得出結(jié)論。通過例題，對新知識進(jìn)行簡單的應(yīng)用，從而達(dá)到強(qiáng)化的目的。讓學(xué)生初步體會函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想。師：這道題大家還有沒有其他的解法呢？如果我們把方程的兩邊分別看作函數(shù)和函數(shù)，那么大家想一下，方程的實根與函數(shù)h(x)和g(x)的圖象有什么聯(lián)系呢？學(xué)生：在老師的引導(dǎo)下思考問題，解決老師提出的問題。啟發(fā)學(xué)生從多個角度思考、解決問題，從不同的角度去體會方程的實根與函數(shù)圖象的聯(lián)系。老師進(jìn)行例題小結(jié)：其實這道題直接用根式判別法更容易，那么題目為什么要求我們“根據(jù)函數(shù)圖象”來判斷呢？這道題的目的在于讓大家學(xué)會用函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解決方程的問題，當(dāng)你們遇到復(fù)雜的函數(shù)的問題的時候，你們就能體會到這種方法的妙處。讓學(xué)生明白把方程的實根與函數(shù)圖象的聯(lián)系起來的意義。4、課堂小結(jié)及布置聯(lián)系。師：我們一起來總結(jié)一下。這堂課你們都學(xué)到了哪些知識？有什么體會？生：交流收獲和體會。反饋學(xué)生對要求掌握的知識是否掌握到位。師：把方程的實根與函數(shù)的零點聯(lián)系起來，這樣對于方程的問題，我們可以采用函數(shù)的思想，將它與對應(yīng)函數(shù)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出函數(shù)的零點，從而找出方程的實根。有些時候，我們還可以采用數(shù)形結(jié)合的思想，作出函數(shù)的圖象，使問題更容易解決。強(qiáng)調(diào)把方程與函數(shù)聯(lián)系起來的重要性以及數(shù)形結(jié)合的作用。5、作業(yè)。作業(yè)：第88頁練習(xí)題第1題。鞏固所學(xué)知識，拓展能力。七、第二課時教學(xué)過程設(shè)計。第二課時教學(xué)過程設(shè)計（續(xù)）。第二課時教學(xué)過程設(shè)計（續(xù)）。第二課時教學(xué)過程設(shè)計（續(xù)）。1、復(fù)習(xí)引入。師：上次課我們學(xué)習(xí)了方程的實根與函數(shù)的零點象聯(lián)系，大家一起來回憶一下，他們之間是怎樣的一種聯(lián)系呢？生：回答問題。師：一元二次方程的實根與對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象之間的這種關(guān)系，對于一般的方程的實根與它對應(yīng)的函數(shù)的圖象成不成立呢？生：思考，嘗試回答問題。引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知識，為本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)做鋪墊。2、講授函數(shù)的零點。師：有的同學(xué)說成立，有的同學(xué)說不成立，那到底成不成立呢？為了解決這個問題，我們首先來學(xué)習(xí)函數(shù)的零點的概念。對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。讓學(xué)生明白為什么要學(xué)習(xí)零點，能夠集中學(xué)生的注意力。師：大家先自己體會一下函數(shù)的零點這個新的概念。生：根據(jù)定義理解零點。師：（畫出一個函數(shù)圖像，標(biāo)出圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)）譬如說這個函數(shù)，它的零點就是……通直觀的函數(shù)圖象加深學(xué)生對零點的認(rèn)識。師：給出兩個具體的函數(shù)：，，大家先思考一下，這兩個函數(shù)的零點分別是什么。學(xué)生：找出這兩個函數(shù)的零點。師：大家說函數(shù)的零點是？生：全班齊答。師：點名提問。某某：回答問題。了解學(xué)生對函數(shù)的零點的掌握情況。3、方程的實根與函數(shù)的零點的聯(lián)系。師：大家說，函數(shù)的零點與函數(shù)圖象和x軸的交點之間又有什么樣的關(guān)系呢？生：思考，回答。師：根據(jù)零點的定義，函數(shù)的零點，是使函數(shù)值為零的實數(shù)，那么它就是函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)。師：大家覺得函數(shù)零點與對應(yīng)的方程的實根有什么樣的關(guān)系呢？生：思考，回答。師：函數(shù)的零點就是方程的實根。師：這樣，通過函數(shù)的零點，我們就把一般的函數(shù)的圖象與x軸的交點和它對應(yīng)方程的實根聯(lián)系起來：方程有實根函數(shù)的圖象與x軸有交點函數(shù)有零點。也就是說，一元二次方程的實根和對應(yīng)函數(shù)圖象的聯(lián)系對應(yīng)一般的方程的實根和對應(yīng)函數(shù)圖象夜是成立的。通過逐步提問，層層分析來引導(dǎo)學(xué)生。師：把方程的實根與函數(shù)的零點聯(lián)系起來，這樣，求方程的實根，就是確定它對應(yīng)的函數(shù)的零點。對于不能直接求解的的方程，我們可以采用函數(shù)的思想，將它與對應(yīng)函數(shù)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出函數(shù)的零點，從而找出方程的實根。啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)的思想解決方程的問題。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)零點定理。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)零點定理（續(xù)）。師：下面，我們就來看一下方程的實根和函數(shù)的零點的關(guān)系的一個具體的應(yīng)用。師：如果我給你一個方程，你怎么來說明它在某一個固定的閉區(qū)間上有實根呢？生：思考，回答問題。師：以判斷方程，在區(qū)間（1,2）內(nèi)有沒有實根為例，引發(fā)學(xué)生思考。生：思考，演算，回答。問題與學(xué)生的認(rèn)知水平發(fā)生沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。師：通過方程的實根與函數(shù)的零點之間的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為如何說明函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有零點。我們怎么根據(jù)一個函數(shù)圖像來判斷它在某個閉區(qū)間上有沒有零點呢？生：思考，討論交流。啟發(fā)學(xué)生用轉(zhuǎn)化的思想解決問題。師：給出零點定理：如果函數(shù)在區(qū)間【a，b】內(nèi)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且，那么函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c（a，b），使得，c也就是方程的實根。通過一系列的問題層層逼近，逐步引導(dǎo)。師：為什么前面是開區(qū)間，而后面是閉區(qū)間呢？生：思考，發(fā)表見解。師：既然，所以c不能取到a點或b點，否則，這與矛盾，所以c只能是在開區(qū)間（a，b）內(nèi)取。師：為什么要求函數(shù)在區(qū)間【a，b】內(nèi)的圖象是連續(xù)不斷的呢？生：思考，交流，發(fā)表見解。師：以分段函數(shù)作圖說明。師：如果函數(shù)在區(qū)間【a，b】內(nèi)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且，我們能不能說函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)沒有零點？師：如果函數(shù)在區(qū)間【a，b】內(nèi)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，但是否只有一個零點？在什么情況下只有一個零點？師：如果函數(shù)在區(qū)間【a，b】內(nèi)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點時一定有嗎？如果函數(shù)圖像不連續(xù)呢？生：生：思考，交流，發(fā)表見解。師：通過圖像讓學(xué)生理解可能出現(xiàn)的情況。加深學(xué)生對零點定理的理解。4、例題講解。證明方程在區(qū)間（1,2）內(nèi)有實根。師：點名提問。生：闡述解題思路。解決提出的問題，鞏固、應(yīng)用所學(xué)知識，了解學(xué)生對知識的掌握情況。分析書上的里1.的思路（由于設(shè)備原因，不能進(jìn)行實際的演練講解）。讓學(xué)生掌握思路。5、課堂小結(jié)。師：同學(xué)們，本節(jié)課你們都學(xué)到了那些知識？生：談自己本堂課的收獲。反饋學(xué)生的要求掌握的知識是否掌握到位。師：對于不能直接求解的的方程，我們可以采用函數(shù)的思想，將它與對應(yīng)函數(shù)聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出函數(shù)的零點，從而找出方程的實根。有些時候，我們還可以采用數(shù)形結(jié)合的思想，作出函數(shù)的圖象，使問題更