重難點14三角形中位線定理的運用

IEQ知識梳理

▲知識點1：三角形的中位線

★1、定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

幾何語言：如下圖：在zMBC中，E分別是邊AB、AC的中點,

.?.OE是△48C的中位線.

A

★2、性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半.

幾何語言：：D、E分別是邊AB、AC的中點，

1

DEWBC,S.DE=^BC.

★3、一個三角形有三條中位線，如圖。E,DEEB都是△NBC的中位線，中位線是一

條線段.

★4、三角形的三條中位線把原三角形分成四個全等的小三角形，三個面積相等的平行

四邊形；四個全等小三角形的周長都是原三角形周長的一半.

m題型解讀

國典題精練

【題型一利用三角形中位線定理求線段長】

【例題1】（2024秋?長沙期中）如圖，在△NBC中，D,E分別是48,/C的中點，F(xiàn),G

分別是AD,NE的中點，且FG=2c",則8c的長度是（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

11

【分析】利用三角形中位線定理求得尸G=5DE,DE=-BC,于是得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，:△4DE中，F(xiàn)、G分別是40、NE的中點，

：.DE=2FG=4cm,

,:D,E分別是48,4C的中點，

是△NBC的中位線，

:.BC=2DE=8cm,

故選：C.

【點評】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是

解題的關(guān)鍵.

【變式1-1】（2024秋?海淀區(qū)期中）如圖，8。是△48C的中線，E,尸分別是8C的

中點，連接￡尸.若/。=4,則跖的長為（）

35

A.-B.2C.-D.4

【分析】根據(jù)三角形的中線的概念求出DC,根據(jù)三角形中位線定理計算即可.

【解答】解：。是△/BC的中線，/。=4,

"：E,尸分別是。D,5c的中點，

:.EF是ABCD的中位線，

1

：.EF=~DC=2,

故選：B.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題

的關(guān)鍵.

【變式1-2】（2024秋?射洪市校級期中）如圖，是等腰三角形/5C的頂角平分線，BC

=10,點E,尸分別是4D,/C邊的中點，連結(jié)即，EF//BC,則斯=.

11

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CO=]BC=5x10=5,根據(jù)三角形中位線定理即可

得到結(jié)論.

11

【解答】解：由條件可知。。=萬8。=5乂10=5,

；點、E,尸分別是4D,NC邊的中點，

:.EF是AACD的中位線，

115

：.EF--CD=5x5=5,

5

故答案為：

【點評】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定

理是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3】（2024春?青縣期末）如圖所示，OE為△N8C的中位線，點尸在上，且

ZAFB=90°,若/3=6,8c=8,則E尸的長為（）

【分析】先根據(jù)三角形中位線定理求出DE的長，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半求出DF的長即可得到答案.

【解答】解：：是△/BC的中位線，BC=8,

1

：.DE=~BC=4,。是的中點，

VZAFB=9Q°,

1

：.DF=~AB=3,

:,EF=DE-DF=1,

故選：A.

【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，熟知三角形中

位線定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式1-4】（2024秋?東營期末）如圖，四邊形N8CO中，P、R分別是BC、CD上的點,

E、尸分別是/尸、R尸的中點，當(dāng)點尸在C8上從C向。移動而點R不動時，那么下列

結(jié)論成立的是（）

A.線段昉的長逐漸增大

B.線段環(huán)的長逐漸減小

C.線段E尸的長不變

D.線段跖的長與點P的位置有關(guān)

1

【分析】連接根據(jù)三角形中位線定理得到E尸=p凡得出結(jié)論.

【解答】

解：如圖，連接/火，

；E、1分別是4尸、RP的中點,

:.EF是LAPR的中位線，

1

：.EF=~AR,

:點R不動，

；.4R大小不變，

線段E尸的長不變，

故選：C.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于

第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式1-5]（2024春?東港市期末）如圖，中，ZBAD=ZCADfBE=CE,AD1.

13

A.6B.—C.7D.8

【分析】延長AD交力C于尸，可證得△ZB□名從而4尸=48=4,可證得DE是

△5CF的中位線，從而得出W的值，進(jìn)一步可得出結(jié)果.

ZADB=ZADF=90°,

在△45。和△/即中，

YBAD=/.FAD

AD=AD,

/-ADB=Z-ADF

公

:.AABDAAFDCASA)f

:.BD=DF,AF=AB=4,

■:BE=CE,

:.CF=2DE=3,

：.AC=4F+CF=4+3=7,

故答案為：C.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，解決問題的

關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形.

【變式1-6】（2024春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，點。，K分別是△/2C的邊/C的中

點，連接過點C作C/〃3E,交的延長線于點尸，若斯=3,求DE的長.

【分析】先證明DE為△/BC的中位線，得到四邊形8CFE為平行四邊形，求出5c=EF

=3,根據(jù)中位線定理即可求解.

【解答】解：￡分別是△/BC的邊/8、NC的中點，

：.DE為4ABC的中位線，

1

C.DE//BC,DE=-BC,

J.EF//BC,

,JCF//BE,

四邊形BCFE為平行四邊形,

:.BC=EF=3,

13

:?DE=/C=萬.

【點評】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形判定與性質(zhì)，熟知三角形中位線定

理是解題關(guān)鍵.

【變式1-7]如圖，在△48C中，4B=12cm,AC=8cm,AD、NE分別是其角平分線和中

線，過點C作于點/，交于點G,連接ER求線段所的長.

【分析】首先證明則/G=/C=4,GF=CF,證明斯是4206的中

位線，利用三角形的中位線定理即可求解.

【解答】解：在△NGF和△NCF中，

{/.GAF=^CAF

\AF=AF,

UAFG=^AFC

:.AAGF咨AACF(ASA).

：.AG=AC=S,

：.GF=CF,則8G=/8-/G=12-8=4(cm).

又,：BE=CE,

:.EF是ABCG的中位線.

1

/.EF=~BG—2cm.

答：的長為2c?z,

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確證明GF=CF是關(guān)鍵.

【題型二利用三角形中位線定理求周長】

【例題2】（2024秋?隆回縣期末）如圖，D,￡分別是△48C的邊N8,NC上的中點，如

果△/￡）￡的周長是10,則△48C的周長是（）

111

【分析】根據(jù)線段中點的定義、三角形中位線定理得到=AE=~AC,DE=~

BC,根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案.

【解答】解：,:D,E分別是△ABC的邊/￡ZC上的中點，

11

.?.OE是△48C的中位線，AD--AB,AE=~AC,

1

：.DE^~BC,

?.,△/DE的周長=10,

：.AD+AE+DE=10,

.?.△48C的周長=4B+/C+2C=2（AD+AE+DE）=20,

故選：D.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第

三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1]（2024秋?萊蕪區(qū)期末）如圖，△/BC是邊長為2的等邊三角形，取8C邊中點

E,作廢）〃48,EF//AC,得到四邊形EZX4R它的周長記作G；取中點回，作。1項

//FB,E[Fi〃EF,得到四邊形即1，它的周長記作C2,則。2=（）

c

3

A.4B.2C.-D.1

【分析】根據(jù)三角形中位線定理可求出Q的值，進(jìn)而可得出C2的值得出答案.

【解答】解：是3C的中點，ED//AB,

是△4BC的中位線,

：4ABC是邊長為2的等邊三角形，

11

.'.DE—~^AB=AF—1,AD=~AC—1,

:.DE=AD,

,:EF〃AC,

四邊形瓦切尸是菱形，

ACi=4Xl=4,

1

同理求得：C2=4X^=2.

故選：B.

【點評】本題主要考查三角形的中位線，等邊三角形的性質(zhì)，找出計算周長的規(guī)律是解

題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2024秋?漢壽縣期末）如圖，在△N3C中，。是NC邊的中點，且

ED//BC,ED交4B于點E,若NC=4,BC=6,則△/￡）￡的周長為.

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到NB=8C=6,根據(jù)三角形中位線定理求出DE,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案.

【解答】解：???。是/C邊的中點，BDLAC,

1

???5。是線段4C的垂直平分線，AD=-AC=29

:?AB=BC=6,

是4C邊的中點，ED//BC,

1

.?.點E是N2的中點，DE=~BC^3,

在RtZ\4D8中，點E是的中點，

1

：.DE=~AB=3,

：.AADE的周長=AE+DE+AD=8,

故答案為：8.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行

于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3]（2024秋?姜堰區(qū)期末）如圖，在△/BC中，4D是高，E、尸分別是/2、AC

的中點，且N5=5,AC=4,則四邊形/￡￡/的周長為.

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別求出DE、。尸，根據(jù)線段中點的概念分

別求出/E、AF,進(jìn)而求出四邊形4EDk的周長.

【解答】解：Y4D是△N8C中2C邊上的高，

:.NADB=NADC=90°,

■:E、尸分別是48、ZC的中點，

1111

:.DE=5AB=25,DF=~AC=2,AE-~AB=2.5,AF=]4C=2,

：.四邊形AEDF的周長=AE+DE+DF+AF=9,

故答案為：9.

【點評】本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，熟記相關(guān)性

質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2-4］（2024秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△N8C中，CDLAB于點、D,E,尸分別

為NC,8c的中點.AB=\Q,8C=8,DE=4.6,則的周長是.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出所，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出DE

根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案.

【解答】解：尸分別為/C,3c的中點

尸是△NBC的中位線，

11

：.EF=~AB=~x10=5,

".'CDLAB,

:.NBDC=90°,

在RtzXADC中，尸為2c的中點，BC=8,

11

則。尸=嚴(yán)。=5*8=4,

4DEF的周長=￡>￡+￡尸+。尸=4.6+5+4=13.6,

故答案為：13.6.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟記三角形

中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式2-5】（2024春?本溪期末）如圖，AC,3。是四邊形N2CD的對角線，點、E,尸分

別是4D,2c的中點，點M,N分別是/C,AD的中點，順次連接EM,MF,FN,NE,

若/8=CO=2,則四邊形ENFM的周長是.

B

11

【分析】利用三角形中位線定理推知=EM=NF=~CD,所以利用四邊

形的周長公式計算即可.

【解答】解：,點E是40的中點，點N是3。的中點，

:.EN是LABD的中位線，

1

：.EN=-AB.

同理，MF、EM、NF分別是△/8C、△/1)(?、△BCD的中位線，

11

EN=MF=-AB=1,EM=NF=~CD=1,

.?.四邊形及VFM的周長是：EN+MF+EM+NF^4.

故答案為：4.

【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于

第三邊的一半.

【變式2-6](2024春?鼎城區(qū)期末)如圖，在△N8C中，ADLBC,垂足為。，E,尸分別

為邊/C,2C的中點，連接DE,EF.

(1)若N3=40°,ZC=55°,求NDEF的度數(shù)；

(2)若40=6,BD=8,CD=4,求△￡)￡尸的周長.

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N3/C,根據(jù)三角形中位線定理得到環(huán)〃N8,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCM=/A4C=85°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=EC,進(jìn)

而得到NEOC=NC=55°,計算即可；

(2)根據(jù)勾股定理求出根據(jù)三角形中位線定理求出EE根據(jù)勾股定理求出/C,根

據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE,結(jié)合圖形計算即可.

【解答】解：(1)；/8=40°,/C=55°,

AZ5y4C=180°-AB-ZC=85°,

■:E,尸分別為邊/C,8c的中點，

：.EF//AB,

ZCEF=NA4C=85

在Rtzxaoc中，E為邊zc的中點，

1

：.DE=~AC=ECf

：.ZEDC=ZC=55°,

AZZ)EC=180°-ZEDC-ZC=70°,

:./DEF=85°-70°=15°；

(2)在中，AD=6,BD=8,

由勾股定理得：AB=y/AD2+BD2=V62+82=10,

,:E,方分別為邊ZC,SC的中點，

1

：.EF=~AB=5f

在中，AD=6,0)=4,

由勾股定理得：AC=、AD2+CD2=a2+42=2g,

1、_

.U?DE=-AC=

,:BD=8,CD=4,

：.BC=\2,

??,下為邊的中點，

：.CF=6,

:.DF=6-4=2,

二△DEF的周長=5+2+疝=7+V13.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行

于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【題型三利用三角形中位線定理求角度】

【例題3】（2024秋?安岳縣期末）如圖，在△48C中，D、E、尸分別是45、AC.8c的

中點，若NCFE=55°,則的度數(shù)為（）

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到所〃DF//AC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/

ADE.

【解答】解：:。、E、P分別是/2、AC.2C的中點，

J.EF//AB,DF//AC,

：.ZB=ZCFE=55°,

,CDF//AC,

：.ZADE=ZB=55°,

故選：C.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線平行于第三邊是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1】（2024秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，點M,N分別是△N8C的邊48,NC的中

點，若/N=60°,Z5=75°,貝.

A

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/C,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到九W〃BC,根據(jù)

平行線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：在△NBC中，//=60°,/B=75：

則NC=180°-Zy4-Z5=180°-60°-75°=45°,

:點M,N分別是△48C的邊48,/C的中點，

:.MN是叢ABC的中位線，

C.MN//BC,

：.ZANM=ZC=45°,

故答案為：45°.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形的中位線平

行于第三邊是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2】（2024?永安市模擬）如圖，DE是△N8C的中位線，/4BC的平分線交。E于

點、F,若/DFB=32°,N/=75°,則.

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE//BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NE8C=/DE8=

32°,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案.

【解答】解：是△/BC的中位線，

C.DE//BC,

:.NFBC=/DFB=32°,

尸是N48。的平分線，

:.NDBF=/FBC=32",

:.NADE=NDBF+NDFB=64°,

.?./4ED=180°-N4-/4DE=18Q°-75°-64°=41°,

故答案為：41°.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、平行

線的性質(zhì)，掌握三角形中位線平行于第三邊是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3】如圖，在四邊形4BC。中，點E,F,G分別是4D,BC,/C的中點，AB=

CD,/EG尸=144°,則NG斯的度數(shù)為

A

E

D

G

11

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EG=58,FG=~AB,進(jìn)而證明EG=/G,根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)得到NG斯=NGEE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【解答】解：：點E,F,G分別是AD,BC,4C的中點，

：.EG是△4CD的中位線，F(xiàn)G是△4C5的中位線，

11

：.EG=~CD,FG^-AB,

；4B=CD,

：.EG=FG,

：.ZGEF=ZGFE,

：NEGF=144°,

1

：.ZGEF^-x(180°-144°)=18°,

故答案為：18°.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌

握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式3-4】(2024春?順德區(qū)校級期中)如圖，在四邊形/BCD中，點￡、尸分別是邊

AB.的中點，BC=15,CD=9,EF=6,ZAFE=5Q°,求NNOC的度數(shù).

【分析】連接2。，根據(jù)三角形中位線定理得到斯〃8D,BD=2EF=U,根據(jù)平行線的

性質(zhì)求出根據(jù)勾股定理的逆定理得到/2DC=90°,計算即可.

【解答】解：連接AD,

:點E、尸分別是邊N3、4。的中點，EF=6,

J.EF//BD,BD=2EF=\2,

；.NADB=NAFE=50°,

在△5OC中，BD2+CD2=122+92=225,5C2=225,

則BD2+CD2^BC2,

:.NBDC=90°,

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理的逆定理，熟記三角形的中位線平

行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式3-5】（2024春?鼓樓區(qū)期中）如圖所示，在△4BC中，N/=40。，D,E分別在

AB,AC±,BD=CE,BE,CD的中點分別是N,直線MN分別交48,AC^P,

Q.求/NP。的度數(shù).

【分析】取3c的中點連接Mf,NH,根據(jù)三角形中位線定理得到EC,MH=

11

-EC.NH//BD,NH^-BD,根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案.

【解答】解：取8C的中點“，連接加”，NH,

,:M,H為BE,5c的中點，

1

J.MH//EC,MH=~EC.

"：N,〃為CD,8c的中點，

1

C.NH//BD,NH=~BD.

?；BD=CE,

：.MH=NH.

：.ZHMN=ZHNM,

"：MH//EC,

：./HMN=ZPQA,

同理，ZHNM=ZQPA,

-//)=70°.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握三角

形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【題型四利用三角形中位線定理證明線段關(guān)系】

【例題4】（2024秋?杜爾伯特縣期末）如圖，已知△48C中，。是上一點，AD=AC,

AELCD,垂足是E,尸是8c的中點.求證：BD=2EF.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CE=E。，根據(jù)三角形中位線定理證明結(jié)論.

【解答】證明：'：AD=AC,AELCD,

：.CE=ED,

:尸是8c的中點，

；.EF是4CDB的中位線，

：.BD=2EF.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平

行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1】（2024春?秦都區(qū)期末）如圖，在△4BC中，4B=AC,點、D、E分別是邊/2、

/C上的點，連接3E、DE,ZADE=ZAED,點尸、G、H分別為BE、DE、2c的中

點.求證：FG=FH.

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理得到/D=/E，根據(jù)線段的和差得到2D=CE,根據(jù)

三角形的中位線定理即可得到結(jié)論.

【解答】證明：：AAED,

：.AD=AE,

；4B=4C,

：.AB-AD=AC-AE,

即BD=CE,

?:點、F、G、H分別為BE、DE、8c的中點，

：.FG是AEDB的中位線，F(xiàn)H是ABCE的中位線，

11

：.FG=~BD,FH^-CE,

：.FG=FH.

【點評】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中

位線定理是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2】（2024秋?互助縣期中）如圖，已知BD=CD,DB±AB,DCLAC,

且￡、F、G、，分別為49、AC.CD、3。的中點，求證：EH=FG.

【分析】連接根據(jù)三角形中位線定理證明即可.

【解答】證明：連接

?:E、”分別為/8、8。的中點，

:.EH是AABD的中位線，

1

：.EH=~AD,

1

同理可得：FG--AD,

:.EH=FG.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三

邊的一半.

【變式4-3】已知：如圖，E為口42CD中DC邊的延長線上的一點，且CE=DC,連接

NE分別交2C、AD于點尸、G,連接NC交RD于。，連接。足求證：AB=20F.

【分析】先證明4/8尸名△￡3得8尸=尸。，再利用三角形中位線定理即可解決問題.

【解答】證明：：CE〃4B,

:.NE=NBAF,NFCE=NFBA,

又,：CE=CD=AB,

:.AFCE冬AFBA(ASA),

:.BF=FC,

尸是8c的中點,

是/C的中點,

OF是ACAB的中位線，

：.AB=2OF.

【點評】本題考查三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等

知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，出現(xiàn)中點條件想到三角形中位線定理.

【變式4-4】（2024春?富平縣期末）如圖，在四邊形/BCD中，對角線NC、BD相交于點

O,且E、尸分別是/8、CD的中點，E、尸分別交3D、NC于點G、H,取

3c邊的中點連接EN、FM.求證：

（1）尸是等腰三角形；

（2）OG=OH.

【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理，即可證得△EMF是等腰三角形；

（2）根據(jù)等邊對等角，即可證得然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得/OGH=

根據(jù)等角對等邊即可證得.

【解答】證明：（1）'：M,尸分別是8C、CD的中點，

1

：.MF//BD,MF=~BD,

1

同理：ME//AC,ME=~AC,

'：AC=BD,

：.ME=MF,

即△MM是等腰三角形；

（2）,:ME=MF

：./MEF=ZMFE,

'：MF//BD,

ZMFE=ZOGH,

同理，ZMEF=ZOHG,

：.ZOGH=ZOHG

：.OG=OH.

【點評】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定，證明△ME尸為等腰三角

形是解題關(guān)鍵.

【變式4-5】(2024春?瑤海區(qū)期末)已知：如圖，在△NBC中，點、D、E分別是48、AC

的中點

(1)若DE=2,則8C=；若/ACB=7Q°,則1

(2)連接CD和交于點。，求證：CO=2DO.

【分析】(1根據(jù)三角形中位線定理即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)三角形中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)解：：點。、￡分別是/3、/C的中點，

.?.￡>￡是三角形的中位線，

：.BC=2DE=4,DE//BC,

；./AED=NACB=70°,

故答案為：4,70；

(2)取80、CO中點G、H-,

1

則G8〃2C,GH=~BC,

1

,:DE〃BC,DE=~BC,

J.DE//GH,DE=GH,

四邊形DGHE為平行四邊形，

：.DO=OH=HC,

即CO=2DO.

【點評】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

【變式4-6】（2024春?虎丘區(qū)校級期中）如圖，線段是的角平分線，取8c中

點N,連接NN,過點C作/M的垂線段CE垂足為￡.

（1）求證：EN//AB.

（2）若NC=13,AB=37,求EN的長度.

【分析】（1）延長CE交N2于尸，證明根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE

=斯，根據(jù)三角形中位線定理證明結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形中位線定理計算即可.

【解答】（1）證明：延長CE交于凡

是NCAB的角平分線，

ZCAM=/BAM,

在△C4E和中，

{/.CAE=^FAE

\AE=AE,

UAEC=AAEF=90°

:.△CAE2MAE（ASA）,

：.CE=EF,

,:CN=NB,

:.EN是叢CFB的中位線，

J.EN//AB-,

（2）解：由（1）可知，ACAE絲AFAE,

：.AF=AC=13,

：.BF=AB-AF=24,

,:EN是4CFB的中位線,

1

:.EN=5BF=12.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中

位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式4-7】(2024秋?天河區(qū)校級月考)如圖所示，在四邊形48C。中，48=DC,E,F

分別是4D,5c的中點，G,〃分別是3D,NC的中點.

(1)連結(jié)EG,GF,FH,HE,請證明四邊形EGEH■是平行四邊形；

(2)猜一猜￡尸與G4的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【分析】(1)由三角形的中位線定理得小〃尸G,EH=FG,由平行四邊形的判定方法,

即可求證；

1

(2)由三角形的中位線定理得等量代換得FH=E"，即可求證.

【解答】(1)證明：：G,H分別是BD,/C的中點，E,尸分別是4D,5c的中點，

/.FG是ABCD的中位線，EF是△NOC的中位線，

1

C.EH//CD,EH=-CD,

1

FG//CD,FG=~CD,

J.EH//FG,

,:EH=FG,

四邊形EGFH是平行四邊形；

(2)解：EFLGH,

理由如下：

?尸是5c的中點,

〃是/C的中點，

是△NBC的中位線，

1

：.FH=~AB,

；AB=DC,

1

：.FH=-CD,

：.FH=EH,

,/四邊形EGFH是平行四邊形，

四邊形EGF”是菱形.

【點評】本題考查了三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定及性質(zhì)，掌

握三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，菱形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型五利用三角形中位線定理證明角關(guān)系】

【例題5】（2024春?莆田期末）如圖，在四邊形/BCD中，AD=BC,E、廠分別是邊DC、

的中點，尸E的延長線分別AD、3c的延長線交于點8、G,求證：ZAHF^ZBGF.

H

1

【分析】連接8。，取8。的中點尸，連接EP,FP,根據(jù)三角形中位線定理得到PF=5

1

AD,PF//AD,EP=~BC,EP//BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

【解答】證明：連接8。，取3。的中點P,連接EP,FP,

,:E、F、尸分別是DC、AB、3。邊的中點，

.?.EP是△BCD的中位線，P尸是的中位線，

11

：.PF=^AD,PF〃AD,EP=-5C,EP//BC,

:?NH=NPFE,/BGF=/FEP,

■:AD=BC,

：.PE=PF,

：.ZPEF=/PFE,

：.ZAHF=ZBGF.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平

行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1】（2024春?西峰區(qū)校級月考）如圖，四邊形45c。中，AD=BC,尸是對角線

5。的中點，N、/分別是48、CD的中點，求證：ZPMN=ZPNM.

11

【分析】先說明7W是的中位線得到尸N=58C,同理可得外/=萬/。，進(jìn)而得到

PN=PM,最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論.

【解答】解：???尸是對角線的中點，N分別是力5的中點,

???PN是△08。的中位線,

1

：.PN=-BCf

1

同理：PM=~ADf

?:AD=BC,

：.PN=PMf

/PMN=ZPNM.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，靈活運

用相關(guān)判定、性質(zhì)定理成為解答本題的關(guān)鍵.

【變式5-2】(2024春?歙縣期中)如圖，CD是△NBC的角平分線，AELCD^E,F是

NC的中點，

(1)求證：EF//BC-,

(2)猜想：/B、ZDAE,NE4c三個角之間的關(guān)系，并加以證明.

【分析】(1)延長NE交8C于“，證明得到E是/〃的中點，根據(jù)三

角形中位線定理證明；

(2)利用(1)中全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形外角定理推知：ZEAC=ZB+Z

DAE.

【解答】證明：(1)延長4E交于“，

在△。4￡1和4。上出中，

/.ACE=/.HCE

cp=cp

“EA=NCE”=90。'

:.ACAE沿ACHE(ASA),

是NX的中點，又尸是/C的中點，

尸是的中位線，

：.EF//BC；

(2)解：NEAC=NB+NDAE.理由如下：

由(1)知△CAEmACHE,

：.ZEAC=ZEHC.

又NAEH=ZB+ZBAH,

：.NEAC=ZB+ZDAE.

A

D,

BH

【點評】本題考查的是三角形的中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等

于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3】如圖，中，D、￡分別為川9、/C上的點，且BD=CE,M、N分別

是BE、CD的中點.過MV的直線交48于P,交NC于。，求證：ZQPA=ZPQA.

【分析】根據(jù)中位線定理證明進(jìn)而證明ZHMN=ZPQA,

所以得到/QPA=ZPQA.

【解答】證明：如圖，取8c的中點X,連接NH,

'：M,N為BE,CD的中點，〃為BC的中點，

:.MH、NH分別是ABCE、△BCD的中位線，

11

：.MH//EC,MH=~EC,NH//BD,NH=《BD.

又,：BD=CE,

：.MH=NH,

：.ZHMN=ZHNM.

?：MH〃EC,

：./HMN=APQA.

同理可得：ZHNM=ZQPA.

：.ZQPA=ZPQA.

【點評】本題考查中位線定理在三角形中的應(yīng)用，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造三角形的中位

線.

【變式5-4】一個對角線相等的四邊形/BCD,E、產(chǎn)分別為43,CZ）的中點，斯分別交

對角線氏9,ZC于M,N,求證：ZOMN=ZONM.

【分析】取/。的中點。，連接E0、FQ,根據(jù)三角形中位線定理得到E0〃/C,EQ=-

1

BD,FQ=-ACfFQ//AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)證明即可.

【解答】證明：取4。的中點。，連接E。、FQ,

,:E,F、。分別為48,CD、4。的中點，

11

：.EQ//BD,EQ=-BD,FQ=-AC,FQ//AC,

:./QEF=/OMN,ZQFE=ZONM,

?；AC=BD,

:?QE=QF,

:?NQEF=/QFE,

：.ZOMN=ZONM.

D

【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于

第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式5-5](2024秋?唐河縣期中)如圖①是華師大版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第80頁的第3

題:

在四邊形/BCD中，AD=BC,

尸是對角線2。的中點，

M是。C中點，N是48的中點.

求證：/PMN=/PNM(不用證明)

結(jié)論應(yīng)用：

(1)如圖②，在上述題目的條件下，延長圖中的線段/。交的延長線于點￡,延長

線段8c交M0的延長線于點足求證：/AEM=NF；

(2)若(1)中的N/+N/2C=122°,則/尸的度數(shù)為.

AEN,再根據(jù)/尸皿=/尸?31即可證明/4￡村=/尸；

(2)先由三角形中位線定理得到PN〃/。，則由三角形外角的性質(zhì)得到

ZDPN=ZA+ZABD,再由尸河〃BC,得到ND2C,ZMPN=ZA+ZABC=

122°,據(jù)此求解即可.

【解答】(1)證明：是5。的中點，M是中點，

:,PM是ADBC的中位線，

1

：.PM\\BC,PM=-BC,

：.ZPMN=ZFf

1

同理可得尸NilAD,PN=-ADf

：.ZPNM=ZAEN,

?；AD=BC,

:.PM=PN,

：.ZPMN=ZPNMf

：.ZAEM=ZF；

(2)*：PN//AD,

：.ZPNB=ZA,

9：/DPN是叢PNB的一個外角,

：.ZDPN=ZPNB+ZABD=NA+NABD,

'JPM//BC,

：./MPD=/DBC,

：.ZMPN=ZDPN+ZMPD=ZA+ZABD+ZDBC=ZA+ZABC=122°,

■;PM=PN,

1

：.^PMN=-X(180°-122°)=29°,

AZF=ZPMN=29°.

故答案為：29。.

【點評】本題考查了三角形中位線定理、三角形外角的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟知

三角形中位數(shù)定理是解題的關(guān)鍵.

【題型六利用三角形的中位線求最值】

【例題6】（2024秋?洪洞縣期末）蹺蹺板是在狹長的木桿中間裝上軸，然后架在支柱上，

兩人對坐兩端，輪流用腳蹬地，使一端蹺起，圖1是兩個小朋友玩蹺蹺板實物圖；圖2是

其示意圖，支柱兒W垂直于地面，點M是N8的中點，MN=35cm,那么小朋友在游戲中,

點2離地面的最大高度是（）

【分析】由平行線等分線段定理推出/N=CN,得到兒W是△NBC的中位線，因此九火=5

BC,即可求出2C=70米，于是得到點2離地面的最大高度是70米.

【解答】I?：\'MN//BC,MA=BM,

:.AN=CN,

:.MN是AABC的中位線，

1

：.MN=~BC,

■:MN=35米，

:.BC=10米，

點B離地面的最大高度是70米.

故選：C.

1

【點評】本題考查三角形中位線定理，關(guān)鍵是由三角形中位線定理得到=

【變式6-1］（2024秋?杜爾伯特縣期末）如圖，在RtZX/BC中，NC=90°,/C=6,BC=

8,點N是2c邊上一點，點M為48邊上的動點，點。、E分別為CN,的中點，則

的最小值是（）

c

1224

A.2B.-C.3D.—

【分析】連接CM,當(dāng)時，DM的值最?。ù咕€段最短），此時。E有最小值，根

1

據(jù)勾股定理求出AB,根據(jù)三角形的面積公式求出CM,根據(jù)三角形的中位線得出DE=-CM

即可.

【解答】解：連接CM,當(dāng)時，CN的值最小（垂線段最短），此時?！暧凶钚≈?，

理由是：VZC=90°,AC=6,BC=8,

?'?AB=V>1C2+BC2=V62+82=10,

11

：.-AC^BC=~AB^CMf

11

x6x8=~xl0xCM,

24

：.CM=—,

??,點。、E分別為CN,MN的中點，

112412

.'.DE=-CM=-X—=—,

12

即DE的最小值是M，

故選：B.

【點評】本題考查了垂線段最短，三角形的面積，三角形的中位線和勾股定理等知識點,

熟練垂線段最短和三角形的中位線性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2024春?西山區(qū)校級期中）如圖所示，在四邊形/BCD中，CD=鳳,ZC=

30°,M為中點，動點尸從點2出發(fā)沿2c向終點C運動，連接4P,DP,取4P中

點N,連接MV,求線段的最小值（）

V13V133

A.——B.--C.-D.3

42N

【分析】過點。作。EL8C于E,根據(jù)垂線段最短得到點尸與點E重合時，DP最小，根

據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出DE,根據(jù)三角形中位線定理計算，得到答案.

【解答】解：過點。作DEL3c于E,

則當(dāng)點尸與點E重合時，DP最小，

在RtzXCDE中，ZC=30°,CD=V13,

則?！?#=受，

丁川為4D中點，N是4P中點，

1

：.MN=-DP,

???線段MN的最小值為半，

4

故選：A.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短,

掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3】如圖，在RtZ\48C中，Z5=90°,AB=6,fiC=8,點。在8c上，以NC

為對角線的所有平行四邊形4DCE中，DE的最小值是（）

A.10B.8C.6D.5

【分析】平行四邊形/OCE的對角線的交點是NC的中點O,當(dāng)。。時，O。最小，

即DE最小，根據(jù)三角形中位線定理即可求解.

【解答】解：平行四邊形4DCE的對角線的交點是NC的中點。，當(dāng)。8c時，OD最

小，即DE最小.

■：OD.LBC,BC1.AB,

C.OD//AB,

又；OC=O4

：.CD=DB,

是△NBC的中位線，