第10章二元一次方程組

01思維導(dǎo)圖

1二元一勸程組定義

二元一次方程（組）定義2.二元一次方程組定義

3.二元一次方程（組）的解

1代入消元法

二元一次方程組解二元一次方程組

2加減消元法

1解題步驟

二元一次方程（組）應(yīng)用的

2.基本公式

02知識速記

【知識點(diǎn)01】二元一次方程（組）定義

1.二元一次方程組定義

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程，叫做二元一次方程.

2.二元一次方程組定義

方程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)得次數(shù)都是1,并且一共有兩個(gè)方程，像這樣的方程組叫

做二元一次方程組.如：把x+y=2和x-y=0合在一起寫成!x+y=2\

[x-y=0

3.二元一次方程（組）的解

（1）使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.

（2）二元一次方程組中兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

【知識點(diǎn)02】解二元一次方程組

解二元一次方程組的基本思想是消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，

那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求另一個(gè)

未知數(shù).像這種將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.

（1）代入消元法

把二元一次方程組中一個(gè)方程的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)

消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解.這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

（2）加減消元法

當(dāng)二元一次方程組的兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，

就能消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.

【知識點(diǎn)03】二元一次方程（組）應(yīng)用的

--解題步驟

1.審題：透徹理解題意，弄清問題中的已知量和未知量，找出問題給出和涉及的相等關(guān)系；

2.設(shè)元（未知數(shù)）：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)；

3.列代數(shù)式和方程組：用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知數(shù)，根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列出方程組,

一般情況下，未知數(shù)個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)是相同的；

4.解方程組；

5.檢驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的根是否符合題意；

6.作答：檢驗(yàn)后作出符合題目要求的答案.

二、基本公式

利潤

單價(jià)x數(shù)量=總價(jià)利潤=實(shí)際售價(jià)-成本實(shí)際售價(jià)=標(biāo)價(jià)（原價(jià)）x折扣利潤率=，成本X100

03題型歸納

題型一二元一次方程（組）的概念

例題：（24-25八年級上?陜西西安?階段練習(xí)）下列方程中屬于二元一次方程的是（）

2

A.x+—=-4B.3x2+y=8C.x+y-2=0D.x-y-2z=10

y

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級上.陜西咸陽?階段練習(xí)）下列各式是二元一次方程的是（）

A.2x-4=xB.^+―=1C.x-2y=6D.孫=5

y

2.（23-24七年級下.全國.單元測試）下列不是二元一次方程組的是（）

A.”=44x+3y=6

2x+y=4

x—y=l

3.（23-24八年級上.甘肅蘭州.階段練習(xí)）下列方程組是二元一次方程組的有（）

\5x=y|5x-6y=5|3x+y=51\x=4\xy=6

[x+y=4[2x—7=8[z-6=41[y=-3[,_尤=2

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

題型二二元一次方程（組）的解

fx=—1

例題：（24-25八年級上?河北保定?期末）解是°的方程組可能是（）

[y=-2??

x+y=-32x=y[x+y=-3x+y=0

A.

x-2y=lx+y=-3[尤-y=-i3x—y=5

鞏固訓(xùn)練

1.（22-23七年級下?福建廈門?期末）下列是方程x-2y=4的解的是（）

fx=2[x=2fx=—2fx=—2

A.<B.\C.\D.〈，

[j=i[y=-i[y=i[y=-i

（X=—1

2.（23-24七年級下?福建泉州?期中）已知一個(gè)二元一次方程組的解是,則這個(gè)方程組可以是（）

〔》=-2

A.]2x=yB.尸產(chǎn)一3c.尸尸一3口.尸尸3

[y-x=-3[x-2y=l[x-y=-l[3x+y=-5

3.（22-23八年級上?貴州貴陽?期末）下列4組數(shù)值中，二元一次方程x+2y=5的解是（）

fx=2（x=lfx=lfx=2

A.〈B.《C.\D.《

[y=i[y=i[y=21y=2

（x=2

4.（23-24七年級下.全國?期末）已知，是方程去+>=3的一個(gè)解，那么上的值是.

X=1

5.（23-24七年級下?全國?期末）已知是關(guān)于無，丫的方程％-盯=15的一組解，貝!J7-（〃L2”）=

y=2

題型三寫出二元一次方程的正整數(shù)解

例題：（23-24七年級下.北京?期末）己知二元一次方程2x+y=5,寫出該方程的所有正整數(shù)解

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下.陜西漢中?期中）寫出二元一次方程2x+y=9的一組整數(shù)解：.（寫出一組即

可）

2.（23-24七年級下?福建福州?期中）二元一次方程2x+3y=16的正整數(shù)解有組.

3.（23-24七年級下?廣西桂林?開學(xué)考試）二元一次方程3尤+2丫=18的所有正整數(shù)解為.

「尤+my=5

4.（23-24七年級下?廣東江門?期中）已知方程組，有正整數(shù)解，則正整數(shù)機(jī)的值是__________

［尤+l=y

題型四解二元一次方程組

例題：（24-25八年級上?江西九江?階段練習(xí)）解方程組

2x+3y=16

x+4y=I3

2（x+l）+3（y-2）=l

⑵

（x+l）-2（y-2）=4

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25八年級上?陜西西安?階段練習(xí)）解方程組:

［無+y=3

⑴。；

\2x+la3y=6a

j3（xT=y+5

（2）

|5（y-l）=3（x+5）-

2.（24-25八年級上?山西太原?階段練習(xí)）解方程組

y=3x-7

⑴

5x-2y=8

3x-y=5

（2）

2x-y=7

3.（24-25八年級上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）解下列方程組:

y=2x+l

3x—2y=2

2x-y=5

4x+3y=—10

4.（24-25八年級上?山東棗莊?階段練習(xí)）解方程組

3x+y=6

⑴

7x-2y=1

3(x+y)2x-y

-----------=2

⑵54

x-2y=-l

5.（24-25八年級上?全國?期末）解方程組

f2x+y=7①

（1）[2x-3j=3（2）

y+3x=5②

6.（24-25八年級上?山西太原?階段練習(xí)）解方程組:

3x-y=6

⑴

x-3y=2

1-

—x+44y=27

(2)

1,

x——y=4

3

題型五構(gòu)造二元一次方程組求解

例題：（23-24七年級下.全國.單元測試）若帆+2〃一1+0力-3〃+4）2=0,則m+〃的值為.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級下.黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）如果2人1/與_40y一"是同類項(xiàng)，那么.

2.（22-23八年級上?河南鶴壁?開學(xué)考試）在方程了=依+6中，當(dāng)x=5時(shí)，y=6；當(dāng)x=-3時(shí)，y=-10.當(dāng)

x=l時(shí)，求y的值是.

fa,x+b.y=c,（x-3fa,x+4b,y=c,-2a,

3.（23-24七年級下?湖南?期中）已知方程組?的解是。，則方程組"。的

[a2x+b2y=c2[y=8[a2x+4b2y=c2-2a2

解是.

題型六二元一次方程組-同解問題

（x—2y=-1fx+y—m

例題：（23-24七年級下?新疆喀什?期末）已知方程組/和—c的解相同，則

[x+2y=n[x-y=2

n-m=_

鞏固訓(xùn)練

,,,...|4x-y=5[3x+y=9

1.（23-24七年級下.重慶萬州?期末）若關(guān)于無,y的方程組:.和人。的解相同，則3。-》=—

[cue+by=2\bx+=X

,.fx-2y=-l\x+y=m

2.（23-24七年級下?全國?期末）己知關(guān)于尤，y的二元一次方程組/和“。的解相同，則

[x+2y=n[x-y=2

2m—n=.

1—v=~4cue-bv=-1

3.（23-24七年級下.河南許昌.期末）若關(guān)于的二元一次方程組；,和/。的解相同，則

[ax+by=7[x+2y=3

2a+b=.

f2x-3y=3{2fnx+3zzv—3

4.（23-24七年級下?江蘇南通?期中）已知關(guān)于x,y的方程組"口/。二的解相同，貝U

[mx+ny=-1[3x+2y=ll

(3m+n)2024的值為

題型七二元一次方程組-錯(cuò)解復(fù)原問題

f4x+3*v=5co

例題：（24-25八年級上?河北張家口?期中）嘉琪同學(xué)解方程組c'?二臺的過程如下：

[2x-y=-5（2）

解：（2）x2,得4x-2y=-10③

①-③，得3y-2y=5-（-10）

解得：丫=15

把y=15代入②，得2x—15=—5,x=5

\x-5

所以這個(gè)方程組的解是

[y=15

你認(rèn)為他的解法是否正確？若正確，請寫出每一步的依據(jù)；若錯(cuò)誤，請寫出正確的解題過程.

鞏固訓(xùn)練

fx-3y=3①

1.（23-24七年級下?河北石家莊?期末）小明解方程組\；,臺的過程如下:

[2x_5y=4②

解:由①x2,得2x-6y=6③，........第一步

②-③，得-y=-2,........第二步

得y=2........第三步

把y=2代入①，得x=9,.......第四步

（x=9

所以原方程組的解為食

（1）小明的解題過程從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

（2）請你寫出正確的解方程組的過程.

2.（23-24七年級下?山西朔州?期末）下面是小權(quán)同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的

任務(wù).

解方程組

解：由①，得y=3無+4③第一步

將③代入②，得6x-3（3x+4）=-10,第二步

解得x=-（2.第三步

將尤=一;代入①，得y=2,第四步

2

x---

，原方程組的解為3第五步

。=2

任務(wù)：

（1）這種解二元一次方程組的方法叫作，以上求解步驟中，小權(quán)同學(xué)從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤.

（2）請用加減消元法寫出此題正確的解答過程.

3.（23-24七年級下.河北滄州?期中）下面是張亮同學(xué)的一道作業(yè)題，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

x-2y=1①

解:

2x+2y=5②'

第一步：由①得，尤=2y+l③;

第二步：將③代入②，得2x2y+l+2y=5；

2

第三步：解得y

7

第四步：將y=i代入③，解得尤=（；

2

x=—

第五步：所以原方程組的解為

y--

V3

任務(wù)一：張亮解方程組用的方法是消元法（填“代入”或“加減”）；

任務(wù)二：仔細(xì)檢查后，發(fā)現(xiàn)張亮的答案是錯(cuò)誤的，他從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

任務(wù)三：請寫出正確的解答過程.

4.（23-24八年級上.山東青島.期末）下面是小馬同學(xué)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的

任務(wù).

2x-3)=-4①

解方程組:

4x-5y=-20②

解：①x2得4x-6y=-8③............................第一步

②-③得一＞=T2.......................第二步

y=i2..........第三步

將＞=12代入①得尤=16............................第四步

\x=l6

所以，原方程組的解為一......第五步

U=12

（D這種求解二元一次方程組的方法叫做，其中第一步的依據(jù)是；

（2）第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；

（3）請你從出現(xiàn)錯(cuò)誤的那步開始，寫出后面正確的解題過程.

5.（23-24七年級下?廣西貴港.期中）下面是小強(qiáng)解二元一次方程組的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

解，"尤+2,=5②

第一步：由①得，x=2y+l③

第二步：將③代入②，得2x2y+l+2y=5

2

第三步：解得y

27

第四步：將y=§代入③，解得％

-7

x=—

第五步：所以原方程組的解為\

y=—

U3

任務(wù)一：小強(qiáng)解方程組用的方法是消元法.（填“代入”或“加減”）；

任務(wù)二：小強(qiáng)解方程組的過程，從第步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是

任務(wù)三：請寫出方程組正確的解答過程.

題型八二元一次方程組應(yīng)用古代問題

例題：（23-24八年級上?山西運(yùn)城?期末）程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家，他60歲時(shí)完成的《直指算

法統(tǒng)宗》是東方古代數(shù)學(xué)名著，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法，書中有如下問題：一百饅頭一

百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚得幾丁，意思是：有10。個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果

大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完，大、小和尚各有多少人？請你解決這個(gè)問題.

程大位

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24七年級上?陜西西安?期末）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有四人共車，一車空；三人共車，

九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每4人共乘一車，最終剩余1輛車；若每3人共乘

一車，最終剩余9個(gè)人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？

2.（22-23七年級上?云南昆明?期末）中國16至17世紀(jì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域集大成的著作《算法統(tǒng)宗》，詳述了傳統(tǒng)的

珠算規(guī)則，確立了算盤用法，完善了珠算口訣，搜集了古代流傳的595道應(yīng)用題的數(shù)字計(jì)算.其中有這樣

一道題：“一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾??？”意思是：有100個(gè)和尚

分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完.試問大、小和尚各多少人？

3.（23-24八年級上.山東青島.期末）解方程

[x+y=5①

⑴;2x-y=4②

（2）“方程”二字最早見于我國《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第八章名為“方程如：

，從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)的系數(shù)與相