專題02復(fù)數(shù)

7

1.(2024新高考I卷.2)若——=l+i,貝ijz=()

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C

【分析】由復(fù)數(shù)四則運算法則直接運算即可求解.

【詳解】因為告=^^=l+<=l+i,所以z=l+1=l-i.

z-1z-1z-11

故選：C.

2.(2024新高考H卷/)已知z=—1—i,則忖=()

A.0B.1C.72D.2

【答案】C

【分析】由復(fù)數(shù)模的計算公式直接計算即可.

【詳解】若z=T-i,則忖=卜1)2+(_1)2=后.

故選：C.

近年真題精選

1.(2022新高考I卷-2)若i(l-z)=l,貝|z+N=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求z,從而可求z+2.

【詳解】由題設(shè)有l(wèi)-z=L±=-i,故z=l+i,故z+z=(l+i)+(l—i)=2,

i1

故選：D

1-i_

2.⑵23新局考I卷2)已知2=^，則z—()

A.-iB.iC.0D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出z,再由共朝復(fù)數(shù)的概念得到口從而解出.

【詳解】因為2=五1-五i=金43=7-2i=一1/所以-Z弓1，即Z4=T.

故選：A.

3.（2022新高考II卷?2）（2+2i）（l-2i）=（）

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求（2+2i）（l-2i）.

【詳解】（2+2i）（l-2i）=2+4-4i+2i=6-2i,

故選：D.

4.（2023新高考H卷/）在復(fù)平面內(nèi)，（l+3i）（3-i）對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3-i）=3+8i-3i2=6+8i,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

必備知識速記

一、復(fù)數(shù)的概念

（1）i叫虛數(shù)單位，滿足產(chǎn)=」，當左eZ時，產(chǎn)=1,產(chǎn)"=z?，產(chǎn)+2=-1,嚴+3=_7.

（2）形如a+砥wR）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作a+bieC.

①復(fù)數(shù)z=o+陽與復(fù)平面上的點Z（a,b）-----對應(yīng)，°叫z的實部，b叫z的虛

部；b=00zeR,Z點組成實軸；6/0,z叫虛數(shù)；匕#0且a=0,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)

點組成虛軸（不包括原點）.兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共朝復(fù)數(shù).

d—C

②兩個復(fù)數(shù)…仆仆…eR)相等寸』(兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點)

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)〃+初(”,6eR)的模，也就是向量反的模，即有向線段慶的長度，其

計算公式為|z|=|a+萬|=1a2+廿，顯然，\z\=\a-bi\=\]a2+b2,z-z=a2+b2.

二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運算法則

1、復(fù)數(shù)運算

(1)(Q+”)±(c+*)=(a±c)+(b±d)i

(2)(a+初)?(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

(a+龍)?(a—Z?i)=z?z=/+b2=|z|2

〈(注意Z2=|Z『)

z+z=2a

其中|Z|=//+廿，叫z的模；5=a-友是Z=a+玩的共輾復(fù)數(shù)(a,8wR).

(3)a+bi(a+bi)?(c—di)_(ac+bd)+(be—ad)i2/0)

c+di(c+di)?(c—di)c2+d2

實數(shù)的全部運算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)新運算法則)都適

用于復(fù)數(shù).

注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

以復(fù)數(shù)4,4分別對應(yīng)的向量有，區(qū)為鄰邊作平行四邊形oz,zz2,對角線OZ表示的向

量OZ就是復(fù)數(shù)Z]+z之所對應(yīng)的向量.Zj-z2對應(yīng)的向量是Z?Z].

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,be7?)對應(yīng)平面內(nèi)的點z{a,b);

(2)復(fù)數(shù)z=a+友(a,6eR)對應(yīng)平面向量ON；

(3)復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示

復(fù)數(shù).

(4)復(fù)數(shù)z=a+bi{a,b&R)的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點z(a,b)到原點的距離.

三、實系數(shù)一元二次方程

1、實系數(shù)一元二次方程ax1+bx+c=0(a,仇ceR,aw0)中的A=〃—4ac為根的判別

式，那么

-b±y/b2-4ac

（1）△>（）=方程有兩個不相等的實根

2a

b

(2)A=0o方程有兩個相等的實根——；

2a

（3）A<0O方程有兩個共軌虛根",

2a

求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：

①設(shè)z=x+yi（x,yeR）化歸為實數(shù)方程來解決.

②把z看成一個未知數(shù)（而不是實部和虛部兩個未知數(shù)），用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來變形.

③對二次方程，直接用一元二次方程的求根公式.

2、實系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）

（1）當A=〃-4ac之。時，方程的兩個實根滿足韋達定理

bc

+%2-------，—一0

aa

（2）當A=〃—4ac<0時，方程的兩個共軌虛數(shù)根/、9，則

綜上所述，無論方程的判別式4-4ac的符號如何，韋達定理都成立，于是韋達定理能被

推廣到復(fù)數(shù)根的情況，即實系數(shù)一元二次方程依2+公+。=0（“、b、ceR且

。20）的兩個根與系數(shù)滿足關(guān)系

bc

，%入一

%+%2=-----a-2=a

名校模擬探源

一、單選題

1.（2024?安徽蕪湖.三模）已知復(fù)數(shù)z滿足z=±L且三是復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)，貝人。的

1

值是（）

A.75B.3C.5D.9

【答案】c

【分析】先化簡復(fù)數(shù)2,再求出I，最后得解.

【詳解】；z=±^=2+i,

1

z=2—if

.-.z-z=(2+i)(2-i)=5.

故選：C

2.（2024.北京.三模）已知復(fù)數(shù)l+i=——，貝匹在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

-13

【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運算法則及共期復(fù)數(shù)的定義得到z=即可求出結(jié)

果.

i-2(-2+i)(l-i)13.

【詳解】由l+i==,得到z=------------F—1

Z1+i222

1313

所以z=—其對應(yīng)點為

故選：C.

3.（2024?河南?三模）已知關(guān)于x的方程％2+2%+3=0的一個根為犬=。+歷（a,）￡R）,則

a1+B1+a=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】解復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程可得。及〃的值即可得解.

【詳解】由f+2x+3=0可得3=一2±'22-12=一1±/,

2

故〃=-1,人2=（土加）=2,艮口[2+^2+〃=1+2一1=2.

故選：C.

（1+i）3

4.（2024?河南?三模）已知i為虛數(shù)單位，-6=（）

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法運算化簡即可.

(1+i)3_(l+i)2(l+i)_2i(l+i)

【詳解】

(1-02-2i-2i

故選：D

5.（2024.山東德州.三模）已知復(fù)數(shù)z滿足:z-i（2+z）=0,貝”=()

A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i

【答案】B

【分析】由已知可得z=3,計算即可.

1-1

【詳解】由z-i(2+z)=0,可得(1-i)z=2i,

2i2i(l+i)

所以z=-----=-------------=-1+i,

1-i(l-i)(l+i)

故選：B.

6.(2024?重慶?三模)已知Q/￡R,(〃+i)i=b-2i（i為虛數(shù)單位）,則復(fù)數(shù)z=a+"的共軌

復(fù)數(shù)為（）

A.-2+iB.2-iC.l+2iD.l-2i

【答案】A

【分析】先利用復(fù)數(shù)相等求出。，"再由共朝復(fù)數(shù)概念即可求解.

【詳解】因為(a+i)i=ai+i2=-l+〃i=Z?-2i,

所以々=-2/=-1,故z=〃+歷=—2—i,

所以復(fù)數(shù)2=，+歷的共班復(fù)數(shù)為，=_2+i，

故選：A.

7.（2024?河南關(guān)B州?三模）復(fù)數(shù)z=a+歷（a,6eR且。力0）,若（l+2i”為純虛數(shù)，則

(

A.a=^2bB.a=2bC.2a=bD.2a=-b

【答案】A

【分析】求出（l+2i”，根據(jù)（l+2i）彳為純虛數(shù)即可求解.

【詳解】(1+2i)z=(1+2i)(?-ft)=a+2b+(2a-b)i,

因為（l+2i）N為純虛數(shù)，所以4+26=0,2。一6片0,

所以a=—2b.

故選：A.

8.（2024.四川遂寧.三模）若復(fù)數(shù)z=f（其中aeR,i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)

3-1

z-l在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z,結(jié)合已知求出。值即可得解.

a+i(〃+i)(3+i)3〃-1(a+3)i

【詳解】依題意,--=------=---1----

3-i(3-i)(3+i)1010

I3Q—1=011

由z為純虛數(shù)，得,+解得。虧復(fù)數(shù)”1+丁,

所以復(fù)數(shù)Z-1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.

故選：B

9.（2024.江蘇南通.三模）已知z為復(fù)數(shù)，則"z=7'是的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非

充分非必要條件

【答案】A

【分析】正向可得zeR,則正向成立，反向利用待定系數(shù)法計算即可得a=0或6=0,則

必要性不成立.

【詳解】若z=L貝!IzeR,則d=彳2,故充分性成立；

若z2=J，設(shè)z=a+6i,a,6eR,則z2=02+2疝-〃，=a2~2abi-b2,

則2必=0,a=0或匕=。,；"與三不一定相等，則必要性不成立，

則“z=7是”=丁”的充分非必要條件,

故選：A

10.（2024?山東濰坊?三模）設(shè)復(fù)數(shù)z=sin|o+：j+2i是純虛數(shù)，則8的值可以為（

)

715兀C2023兀一2025兀

A.—B.—D.--------

44,44

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到sin。+：］=0,將四個選項代入檢驗，得到答案.

【詳解】由題意得sin"+f=O,

A選項，當時，sin［：+：］=l,不合題意，A錯誤；

B選項，當""時，sin俘+：］=-!,不合要求，B錯誤；

4I44J

C選項，當。=堊過時，sin（羋型+M=sin5067i=0,故C正確；

4144J

八、樂用也八2025K.（2025K吟八出、口

D選項，當夕=---時，sin—-—+—=1,D錯快.

4<44J

故選：C

_i_0

11.（2024?黑龍江?三模）若干7一=i,則z（5-1）的虛部為（）

1—1

A.-1B.1C.3D.-3

【答案】A

【分析】先利用乘法運算法則化簡復(fù)數(shù)z,然后化簡z（N-1）得3-i,即可求出其虛部.

【詳解】因為二=i,所以z=-2+（l-i）i=-l+i,所以彳=T—i,

所以z（N—l）=（—l+i）（—2—i）=3—i,則z（N-1）的虛部為—1.

故選：A

12.（2024.貴州畢節(jié).三模）若復(fù)數(shù)2滿足（1+12+［5）/=3產(chǎn)24-不，貝"z|=（）

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運算化簡即可求出z=T-3i,再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即

可.

【詳解】因為0+i2+i5)-z=3i2024-4i,則(l-l+i)-z=3—4i,

3-4i_(3-4i)i_3i-4i23i+4

即2==-4-3i

-1

故|z|=“-4y+(_3『=5.

故選：B.

二、多選題

13.（2024.湖北荊州?三模）己知復(fù)數(shù)z=:?—i+（〃?+i）i（〃?eR）,則下列命題正確的是

A.若z為純虛數(shù)，貝片±1

B.若z為實數(shù)，則z=0

C.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y=2x上，則”=一1

D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在第三象限

【答案】BD

【分析】首先得到復(fù)數(shù)的實部與虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求出參數(shù)的值，即可判斷A、

B,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷C、D.

【詳解】復(fù)數(shù)z="-l+（租+l）i（"?eR）的實部為/-1,虛部為〃?+1,

復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為（加T，加+1）,

m2—1=0

對于A：若z為純虛數(shù)，則WO,解得-1,故A錯陜;

對于B：若z為實數(shù)，貝?。└?1=0,解得機=-1,則z=0,故B正確;

對于C：若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y=2x上,

所以根+1=2（療-1）,解得機=-1或〃z=；,故C錯誤;

m2-l<0口宣-1<m<1y卜

對于D：令,即I,不等式組無解,

m+1<0m<—1

所以z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在第三象限，故D正確.

故選：BD.

71

14.（2024.河北衡水.三模）復(fù)數(shù)z=cose[J+isino,其中。<e<5,設(shè)z在復(fù)平面內(nèi)的

4

對應(yīng)點為尸，則下列說法正確的是（)

7TB.當8時，z=—1--^-i

A.當F時,

42

C.對任意。，點尸均在第一象限D(zhuǎn).存在使得點P在第二象限

【答案】AC

TT7T

【分析】當°時,代入計算可判斷A、B;由判斷z的實部和虛部范圍可判斷

C、D.

【詳解】當6=:時，z=l+乎i，故Izl—h+l"〕=",故A選項正確；

2

7

2,B選項錯誤；

2

、r,八八兀_?7r1717rV2

當0<。<一時，——<z0——<—,<cos10一:卜1,0<sin6<1,

24442

故對任意。，點尸均在第一象限，故C選項正確;

不存在凡使得點P在第二象限，D選項錯誤.

故選：AC.

15.（2024?福建莆田.三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.若z+』=0,則三=iB.若z-N=2|z|,則目=2

Z

C.若z=z,則4=zD.若|z+zJ=0,貝!JZ].2+|z『=0

【答案】BCD

【分析】利用共朝復(fù)數(shù)的定義可判定A、C,利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則結(jié)合模長公式可判

定B、D.

【詳解】對于A,由z+5=0,得三=-1,則A錯誤.

Z

對于B,因為zN=|z『，所以忖2=2|Z|,解得目=2或忖=0（舍去），則B正確.

對于C,設(shè)2="+歷（a,bcR,且

則Z[=z=a—bi,所以Z1=a+bi=z,則C正確.

對于D,由|z+zj=。，得Z]二—z,

設(shè)2=.+〃（a.beR,且就。0）,則z/z=—z?z=—（a2+b2）,

吊二片+/,從而Z12+|z「=0,則D正確.

故選：BCD

16.（2024?福建福州三模）已知復(fù)數(shù)40滿足：卜+百卜卜-百卜4,%-2i|=l,貝|

目的最大值是

A.|z2|的最小值是1B.2

C.三的最大值是3D.|z「Z2|的最大值是4

Z1

【答案】ABC

【分析】對于A,設(shè)4=。+歷*2=。+必，依題意可得,2+（4-2）2=1,可知復(fù)數(shù)々的對應(yīng)

點尸在以C（0,2）為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可判斷A；對于B,根據(jù)題

意可得J（a+出『+〃+'上一6『+〃=4,表示復(fù)數(shù)4的對應(yīng)點。在以上后。）為焦點，

長軸長為4的橢圓上，根據(jù)圖形和同=團可判斷B；對于C,根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算和復(fù)數(shù)模

公式證明三—,結(jié)合圖形求得1＜忖區(qū)2,1＜卜區(qū)3,然后可判斷C；對于D,根據(jù)復(fù)數(shù)

4

減法的幾何意義可知|Z1-Z2=|尸0,結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化為求|C0+1的最值，根據(jù)點P在橢圓

—+/=1±,利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.

4

【詳解】設(shè)4=a+bi,z2=c+di,a,b,c,dGR,

對于A,因為卜-2i|=|c+(d-2)i|=l,所以c?+(d-2)2=1,

所以，復(fù)數(shù)句的對應(yīng)點P在以C（0,2）為圓心，1為半徑的圓上,

由圖可知，點尸到原點的最小距離為1,即目|的最小值是1,A正確;

對于B,因為卜］+|+1z,—=J（a+6）+〃+相）+〃=4,

所以，復(fù)數(shù)4的對應(yīng)點。在以卜班,0）為焦點，長軸長為4的橢圓上，

由橢圓幾何性質(zhì)可知，點。到原點的最大距離為2,即㈤的最大值為2,

又同=團，所以目的最大值是2,B正確;

c+diac+bdad-be.

對于c,因為

Z]a+bi

2222111

A=ac+bd1+ad-bec+bd+bc+ad~

所以1222

Z2a+ba+b(片+q

（"+62）卜2+屋）護+筋

(cT+b2^

由圖可知，1W團42,lW|z2K3,所以當㈤=1,㈤=3時,三取得最大值3,C正確;

對于D,因為B-Z2|=|(a-c)+(6-d)i|=J(a-c)2+0-d)2表示P,。的距離,

所以卜-目的最大值為|CQ|4l,設(shè)。(x,y),則：+尸=1,即/=4-4/,

所以|CQ|+1=/%(―)?+1=J"4y2+9_今+4+1=^/-3/-4^+8+1,

由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當＞=-:時，|。。|+1取得最大值?+1,D錯誤.

三、填空題

7

17.（2024?山西臨汾?三模）已知復(fù)數(shù)z滿足：—=2-3i,貝匹=____

1+1

【答案】5+z7z+5

【分析