高中測(cè)試題及答案解析

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(4\pi\)D.\(\frac{\pi}{2}\)2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,x)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(x\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-2\)3.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((-2,0)\)D.\((0,-2)\)4.若\(\log_{2}x=3\)，則\(x\)的值為（）A.\(6\)B.\(8\)C.\(3\)D.\(9\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，則公差\(d\)等于（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)6.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極大值點(diǎn)是（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)7.已知\(\alpha\)是第二象限角，\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(-\frac{3}{5}\)8.直線\(3x+4y-5=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定9.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值是（）A.\(2\)B.\(4\)C.\(6\)D.\(8\)10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=|x|\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則（）A.\(A\capB=\{2,3\}\)B.\(A\cupB=\{1,2,3,4\}\)C.\(A\subseteqB\)D.\(B\subseteqA\)3.下列不等式中，正確的有（）A.\(x^2+1\geq2x\)B.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）C.\(x^2+y^2\geq2xy\)D.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）4.以下哪些是直線的方程形式（）A.點(diǎn)斜式B.斜截式C.兩點(diǎn)式D.截距式5.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(a\)，則（）A.它的表面積是\(6a^2\)B.它的體積是\(a^3\)C.它的體對(duì)角線長(zhǎng)為\(\sqrt{3}a\)D.它的面對(duì)角線長(zhǎng)為\(\sqrt{2}a\)6.下列函數(shù)中，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\lnx\)7.已知\(\triangleABC\)中，角\(A\)、\(B\)、\(C\)所對(duì)的邊分別為\(a\)、\(b\)、\(c\)，則（）A.\(a=b\sinA\)B.\(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}\)C.\(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA\)D.\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC\)8.若復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\inR\)），則（）A.\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)B.\(z\)的共軛復(fù)數(shù)\(\overline{z}=a-bi\)C.\(z\cdot\overline{z}=a^2+b^2\)D.\(z\)是實(shí)數(shù)的充要條件是\(b=0\)9.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的性質(zhì)有（）A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為\(2a\)B.短軸長(zhǎng)為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^2=a^2-b^2\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)10.下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)處的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x_0)\)表示函數(shù)在\(x=x_0\)處的切線斜率B.若\(f^\prime(x)\gt0\)，則函數(shù)\(y=f(x)\)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)\(y=C\)（\(C\)為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime=0\)D.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則有\(zhòng)((u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime\)判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）3.函數(shù)\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）4.向量\(\vec{a}\)與向量\(\vec\)平行，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的方向相同或相反。（）5.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0,b\gt0\)）的漸近線方程是\(y=\pm\frac{a}x\)。（）6.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，則\(f(0)=0\)。（）7.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A,B\)不同時(shí)為\(0\)）的斜率\(k=-\frac{A}{B}\)。（）8.兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。（）9.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，若\(m+n=p+q\)，則\(a_{m}a_{n}=a_{p}a_{q}\)。（）10.函數(shù)\(y=e^x\)的導(dǎo)數(shù)是\(y^\prime=e^x\)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：對(duì)于二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)，對(duì)稱軸公式為\(x=-\frac{2a}\)。此函數(shù)\(a=1\)，\(b=-2\)，對(duì)稱軸\(x=1\)。把\(x=1\)代入函數(shù)得\(y=2\)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,2)\)。2.已知\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因?yàn)閈(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，所以\(\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。3.求過點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：根據(jù)直線點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率），已知點(diǎn)\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.求等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_{n}\)。答案：設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)首項(xiàng)為\(a_{1}\)，公差為\(d\)。\(S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots+[a_{1}+(n-1)d]\)，倒序相加得\(S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}\)，又\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，所以\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。答案：\(y=\frac{1}{x}\)定義域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。在\((-\infty,0)\)上，任取\(x_1\ltx_2\lt0\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，函數(shù)遞減；在\((0,+\infty)\)上，同理任取\(x_1\ltx_2\gt0\)，\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，函數(shù)也遞減。2.探討直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小判斷，\(d\gtr\)相離，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程，通過判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.說說在等比數(shù)列中，如何根據(jù)已知條件求通項(xiàng)公式。答案：若已知首項(xiàng)\(a_{1}\)和公比\(q\)，則直接用通項(xiàng)公式\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)；若已知數(shù)列中的兩項(xiàng)\(a_{m}\)，\(a_{n}\)，可先由\(\frac{a_{n}}{a_{m}}=q^{n-m}\)求出\(q\)，再結(jié)合\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)求出\(a_{1}\)，進(jìn)而得通項(xiàng)公式。4.分析橢圓和雙曲線在定義、方程及性質(zhì)上的異同。答案：相同點(diǎn)：都是圓錐曲線。不同點(diǎn)：定義上，橢圓是到兩定點(diǎn)距離之和為定值，雙曲線是到兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為定值；方程形式有差異；性質(zhì)上，橢圓離心率\(0\lte\lt1\)，