培優(yōu)專題04概率與統(tǒng)計(jì)

暗■無(wú)罪嚏！特鋼?幫埴提如、.

題型1非線性回歸

一、非線性回歸模型

解答非線性擬合問(wèn)題，要先根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，通過(guò)換元將陌生的非線性回

歸方程化歸轉(zhuǎn)化為我們熟悉的線性回歸方程.

求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，還原后即

可求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進(jìn)行預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)，注意計(jì)算要細(xì)心，避免計(jì)算錯(cuò)誤.

1.建立非線性回歸模型的基本步驟：

（1）確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)是解釋變量，哪個(gè)是預(yù)報(bào)變量；

（2）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；

（3）由經(jīng)驗(yàn)確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、二次

函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、基函數(shù)模型等）；

（4）通過(guò)換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；

（5）按照公式計(jì)算線性回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法），得到線性回歸方程；

（6）消去新元，得到非線性回歸方程；

（7）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常.若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

一、解答題

1.（24-25高三上?四川眉山?階段練習(xí)）臺(tái)州是全國(guó)三大電動(dòng)車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出的

設(shè)計(jì)優(yōu)勢(shì).某電動(dòng)車公司為了搶占更多的市場(chǎng)份額，計(jì)劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費(fèi)可（單位：

百萬(wàn)元）和年銷售量%（單位：百萬(wàn)輛）關(guān)系如圖所示：令匕=lnxj（i=l,2,…,5）,數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)初步處理得：

今年銷售量（百萬(wàn)輛）

4

2

0

8

6

4

2

O?i?___???A

123456

年廣告費(fèi)（百萬(wàn)元）

55555

￡（占-可E（x-y）2S（v,-v）22（%-彳）（％-》）E（y-y）（匕-a）

Z=1i=]i=\i=\Z=1i=li=l

444.81040.31.61219.58.06

現(xiàn)有①丫="和②尸〃lnx+機(jī)兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費(fèi)x的回歸分析模型，其中a,6,機(jī)，

”均為常數(shù).

（1）請(qǐng)從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個(gè)模型擬合程度更好？

（2）根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出》關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)年廣

告費(fèi)為6（百萬(wàn)元）時(shí)，產(chǎn)品的年銷售量是多少？

2.（23-24高三下?湖北?期末）某鄉(xiāng)村企業(yè)希望通過(guò)技術(shù)革新增加產(chǎn)品收益，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，技術(shù)革新投入

經(jīng)費(fèi)x（單位：萬(wàn)元）和增加收益y（單位：萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下表：

X4681012

y2742555660

為了進(jìn)一步了解技術(shù)革新投入經(jīng)費(fèi)x對(duì)增加收益y的影響，通過(guò)對(duì)表中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分別提出了兩個(gè)回歸

模型：①&+而，?y=d4x+c.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算模型①中y與X的相關(guān)系數(shù)r（結(jié)果精確到0.01）;

⑵若0.9541小1,則選擇模型①；否則選擇模型②.根據(jù)⑴的結(jié)果，試建立增加收益y關(guān)于技術(shù)革新投

入經(jīng)費(fèi)X的回歸模型，并預(yù)測(cè)x=16時(shí)y的值（結(jié)果精確到0.01）.

附：i)回歸直線￡=以+A的斜率、截距的最小二乘估計(jì)以及相關(guān)系數(shù)分別為：

nnJ

-￡(%一)(%-刃Zxiyi-nxy——)(y-9)

b=-------------------=號(hào);---------，a=y-t>x,r~i“一］---金—

可-￡尤;-而Ji(x，-^)2Jz(x-y)2

i=li=lVi=lVi=l

52

ii)參考數(shù)據(jù)：設(shè)匕-="，J2936-54.18,429360逐171.35,于a2.78,-7)'-133>

i=l

5

2(匕一可(X-歹卜29.91.

1=1

3.（23-24高三下?河南南陽(yáng)?期中）某研發(fā)團(tuán)隊(duì)實(shí)現(xiàn)了從單點(diǎn)光譜儀到超光譜成像芯片的跨越.為制定下一年

的研發(fā)投入計(jì)劃，該研發(fā)團(tuán)隊(duì)需要了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對(duì)年銷售額，（單位：億元）的

影響.結(jié)合近12年的年研發(fā)資金投入量x和年銷售額九該團(tuán)隊(duì)建立了兩個(gè)函數(shù)模型：①y=a+&2,②

>=◎"，其中反如均為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).經(jīng)對(duì)歷史數(shù)據(jù)的初步處理，得到散點(diǎn)圖如圖.令

1ny?=i,2,.,12）,計(jì)算得到如下數(shù)據(jù).

1y/億元

80-,

75■:

70-/

65■?

60j..?

有1015202530x位元

122￡(—)212

Xy￡(尤,-可

Z=1Z=1Z=1

206677020014

121212

2

UV￡(%-萬(wàn))2S(v.-v)

/=1Z=1i=l

4604.2031250000.30821500

（1）設(shè)變量"和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)為耳，變量x和變量v的樣本相關(guān)系數(shù)為馬，請(qǐng)從樣本相關(guān)系數(shù)的角度,

選擇一個(gè)y與X相關(guān)性較強(qiáng)的模型.

（2）（i）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到o.oi）；

（ii）若下一年銷售額需達(dá)到80億元，預(yù)測(cè)下一年的研發(fā)資金投入量.

附：^0?8.9443,e43820?80；樣本相關(guān)系數(shù),="；經(jīng)驗(yàn)回歸方程》=2+晟，其中

但（無(wú),-可2￡（%-寸

VZ=1Z=1

-￡（%-元）（%-田.

J

b=^—n---------------,a=y-bx.

Ad

i=l

4.（2024?山東日照?二模）某公司為考核員工，采用某方案對(duì)員工進(jìn)行業(yè)務(wù)技能測(cè)試，并統(tǒng)計(jì)分析測(cè)試成

績(jī)以確定員工績(jī)效等級(jí).

（1）已知該公司甲部門有3名負(fù)責(zé)人，乙部門有4名負(fù)責(zé)人，該公司從甲、乙兩部門中隨機(jī)選取3名負(fù)責(zé)人

做測(cè)試分析，記負(fù)責(zé)人來(lái)自甲部門的人數(shù)為X,求X的最有可能的取值：

（2）該公司統(tǒng)計(jì)了七個(gè)部門測(cè)試的平均成績(jī)x（滿分100分）與績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率丁，如下表所示：

X32415468748092

y0.280.340.440.580.660.740.94

根據(jù)數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖，初步判斷，選用丫=加。工作為回歸方程.令z=lny,經(jīng)計(jì)算得乞=-0.642,

7

2杉--7xz

i=l?0.02

7

IX-7元2

4=1

（i）已知某部門測(cè)試的平均成績(jī)?yōu)?0分，估計(jì)其績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率；

（ii）根據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，大致認(rèn)為各部門測(cè)試平均成績(jī)其中〃近似為樣本平均數(shù)"接近似為

樣本方差$2.經(jīng)計(jì)算s~20,求某個(gè)部門績(jī)效等級(jí)優(yōu)秀率不低于0.78的概率.

參考公式與數(shù)據(jù)：?ln0.15?-1.9,e12?3.32,ln5.2^1.66.

2無(wú)，y

②線性回歸方程勺=九+&中B=q------------d-y-bx.

工x；-rix2

i=\

③若隨機(jī)變量x?則尸(〃—b<X<//+b)=0.6826,P(〃-2b<X<//+2b)=0.9544,

P(//-3cr<X<〃+3b)=0.9974.

5.（23-24高三下.山西長(zhǎng)治?期中）蝗蟲(chóng)能對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，每只蝗蟲(chóng)的平均產(chǎn)卵數(shù)》（單位：個(gè)）

和平均溫度工（單位：C）有關(guān)，根據(jù)以往在某地收集到的7組數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)變量并不呈現(xiàn)

線性相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)分別用模型①y=G%2+C2與模型②y=作為平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度X的回歸方程

來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.

如

350-

300-*

250-

200-

150-

100-?

->

202224262830323436x

平均溫度

21232527293235

x/℃

平均產(chǎn)卵數(shù)

59222565118324

y/個(gè)

t=X244152962572984110241225

z=Iny1.612.203.093.224.174.775.78

Xtyz

27.43773.4381.143.55

7777

EG-初％-y）￡（-）（%-9）—（z-）（一）

i=li=li=lZ=1

7777

Sa-5yELfa-元y）2

i=\i=lZ=1i=l

20.030.370.290.0052

_17_J7

其中4=X；，/=不Zj=Inx,z=不，Z,.

/i=l/i=l

⑴根據(jù)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得出模型①y=0.37/—205.03,請(qǐng)建立模型②下y關(guān)于元的回歸方程；并在兩個(gè)

模型下分別估計(jì)溫度為30C時(shí)的產(chǎn)卵數(shù)；（。3，。4與估計(jì)值均精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（參考數(shù)據(jù):

e4-25X7O.ll,e4-30X73.70,e4-35a77.48）

⑵模型①，②的決定系數(shù)分別為R：=0.8124,R；=0.988,請(qǐng)根據(jù)決定系數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；

（3）根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，該地每年平均溫度達(dá)到30c以上時(shí)蝗蟲(chóng)會(huì)對(duì)農(nóng)作物造成嚴(yán)重傷害，需要人工防治，其他

情況均不需要人工防治.設(shè)該地每年平均溫度達(dá)到30C以上的概率為。（0＜。＜1）,該地今后n{n＞3,neN*）

年恰好需要2次人工防治的概率為.

①求”P）取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率P。;

②當(dāng)〃P）取最大值時(shí)，設(shè)該地今后5年需要人工防治的次數(shù)為X,求X的均值和方差.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（四,片）,（乙,%）,其回歸直線丫="+盤的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：

n

8---------------,a=v-pu.

￡（%田2

i=l

題型2殘差與決定系數(shù)

LTXTXTXT^TXTXTAT^TATXTXTATATXTXTXTATXTXTATATXTATXTATXTXTXTATXTXTXTATATXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXTXT^TXTATXTATATATXTATXTATXT^TXTXTXT^TXTXTXTXTATXTXTJ

1、殘差分析

對(duì)于預(yù)報(bào)變量y,通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值％,通過(guò)回歸方程得到的y稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)

測(cè)值等于殘差，自稱為相應(yīng)于點(diǎn)（與其）的殘差，即有￡=殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘

差的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分

析.

（1）殘差圖

通過(guò)殘差分析，殘差點(diǎn)（七,自）比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，其中這樣的

帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精確度越高；反之，不合適.

（2）通過(guò)殘差平方和。=f（y,-2）2分析，如果殘差平方和越小，則說(shuō)明選用的模型的擬合效果越好；反

i=l

之，不合適.

（3）決定系數(shù)

￡（y,-獷

用決定系數(shù)來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：4=1-與--------.

E（y,-y）2

Z=1

心越接近于1,說(shuō)明殘差的平方和越小，也表示回歸的效果越好.

一、解答題

1.（24-25高三下?廣西?開(kāi)學(xué)考試）近年來(lái)，政府相關(guān)部門引導(dǎo)鄉(xiāng)村發(fā)展旅游業(yè)的同時(shí)，鼓勵(lì)農(nóng)戶建設(shè)溫室

大棚種植高品質(zhì)農(nóng)作物.為了解某農(nóng)作物的大棚種植面積對(duì)種植管理成本的影響，甲、乙兩名同學(xué)一起收集了

6家農(nóng)戶的數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，得到兩個(gè)回歸模型：模型①科＞=-1.65尤+28.57；模型②y”=改2+13.50.

對(duì)以上兩個(gè)回歸方程進(jìn)行殘差分析，得到下表:

種植面積了/畝234579

每畝種植管理成

252421221614

本y/百元

估計(jì)值

25.2723.6221.9717.0213.72

嚴(yán)

殘差

模型

-0.270.38-0.97-1.020.28

①e.⑴

估計(jì)值

26.8420.1718.8317.3116.46

嚴(yán)）

模型

②殘差

-1.840.833.17-1.31-2.46

自⑵

注：表中i=2,3,4,5,7,9.

（1）將以上表格補(bǔ)充完整，判斷哪個(gè)模型擬合效果更好，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

（2）視殘差?的絕對(duì)值超過(guò)1.5的數(shù)據(jù)為異常數(shù)據(jù)，針對(duì)（1）中擬合效果較好的模型，剔除異常數(shù)據(jù)后，重

新求其經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

a-可（y,-9）八

參考公式：=^—-----------,a=y-bx.

f（尤廠丁『

i=\

2.（24-25高二上?重慶?階段練習(xí)）一年一度的“雙11”促銷活動(dòng)落下帷幕，各大電商平臺(tái)發(fā)布的數(shù)據(jù)顯示,

在消費(fèi)品以舊換新、家電政府補(bǔ)貼等促消費(fèi)政策和活動(dòng)的帶動(dòng)下，消費(fèi)市場(chǎng)潛能加速釋放，帶動(dòng)相關(guān)商品

銷售保持增長(zhǎng).經(jīng)過(guò)調(diào)研，得到2019年到2024年“雙11”活動(dòng)當(dāng)天某電商平臺(tái)線上日銷售額》（單位：百億

元）與年份（第x年）的6組數(shù)據(jù)（時(shí)間變量x的取值依次為L(zhǎng)2,…,6）,對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到如下散點(diǎn)

_16

圖（圖1）及一些統(tǒng)計(jì)量的值.其中4=lnx,J=z?.

6z=i

666it

yX夕七%t夕

X，

1=1/=1Z=1i=l

48.73.59112041.19.4388.1

分別用兩種模型：?y=bx+a.②y=〃nx+a進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程，并進(jìn)行殘差分析，得到如

圖所示的殘差圖（圖2）（殘差值=真實(shí)值-預(yù)測(cè)值）.

圖1

（1）根據(jù)題中信息，通過(guò)殘差圖比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪一個(gè)模型進(jìn)行擬合？請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑵根據(jù)（1）中所選模型，

（i）求出〉關(guān)于X的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.1）；

（ii）若該電商平臺(tái)每年活動(dòng)當(dāng)天線上日銷售額y與當(dāng)日營(yíng)銷成本〃及年份X存在線性關(guān)系：y=3u+2.6x,

則在第幾年活動(dòng)當(dāng)日營(yíng)銷成本的預(yù)測(cè)值最大？

n__

人工七%一〃*'_「

參考公式：2二號(hào)------—^=y-bx-參考數(shù)據(jù):ln7aL95.

/=1

3.（24-25高三上?福建泉州?階段練習(xí)）一只藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)，與一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了該

種藥用昆蟲(chóng)的6組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表：

溫度x/C212324272932

產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)61120275777

1616666

2

經(jīng)計(jì)算得：下=-yxi=26,7=公?,=33,￡（占一可（%-力=557,2（%-元）2=84,^（Z-y）=3930,線性回

。i=l°z=lf=li=li=l

6

歸模型的殘差平方和=236.64,e“605。3167,其中%,其分別為觀測(cè)數(shù)據(jù)中的溫差和產(chǎn)卵數(shù)，

1=1

i=1,2,3,4,5,6.

（D若用線性回歸方程，求y關(guān)于x的回歸方程￡=菽+&（精確至U（M）；

⑵若用非線性回歸模型求得>關(guān)于x回歸方程為>0.06e°23⑶，且相關(guān)指數(shù)夫2=0.9522.

CO試與（1）中的回歸模型相比，用R,說(shuō)明哪種模型的擬合效果更好.

（ii）用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為35c時(shí)該種藥用昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附：一組數(shù)據(jù)%…,（五,%）,其回歸直線9=以+&的斜率和截距的最小二乘估計(jì)為

$=----------------,a=y-bx.相關(guān)指數(shù)R2=]_^-------------

i=li=l

4.（23-24高三下?河北滄州?期中）2024年全國(guó)競(jìng)走大獎(jiǎng)賽（第1站）暨世錦賽及亞運(yùn)會(huì)選拔賽3月4日在

安徽黃山開(kāi)賽.重慶隊(duì)的賀相紅以2小時(shí)22分55秒的成績(jī)打破男子35公里競(jìng)走亞洲紀(jì)錄.某田徑協(xié)會(huì)組

織開(kāi)展競(jìng)走的步長(zhǎng)和步頻之間的關(guān)系的課題研究，得到相應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：

步頻x（單位：S）0.280.290.300.310.32

步長(zhǎng)y（單位：cm）909599103117

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到步頻和步長(zhǎng)近似為線性相關(guān)關(guān)系，求出y關(guān)于x的回歸直線方程，并利用回歸方程

預(yù)測(cè)，當(dāng)步長(zhǎng)為80cm時(shí)，步頻約是多少？

（2）記2,=》=y.-bx-a,其中％為觀測(cè)值，y為預(yù)測(cè)值，自為對(duì)應(yīng)（?！罚┑臍埐睿螅?）中步長(zhǎng)的殘

差的和，并探究這個(gè)結(jié)果是否對(duì)任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量都成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

55

參考數(shù)據(jù)：=0.451,=151.82.

1=1Z=1

n

、2七%一"戲

參考公式：g=V-------------，a=y-bx.

￡x；-rix2

z=i

題型3二項(xiàng)分布概率最大問(wèn)題

(TXTXTXT^TXTXTXTXT±TXT±TAT±TXTXT±TAT^T±TATATXTATXTATATXTXTXTXTXTXTXTATXTATXTATXTATATATXT±TATATXTXTXTXTXTXTXTATXTXTXT^TXT^TATATATJ

一、二項(xiàng)分布

1.定義

一般地，在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為夕，不

發(fā)生的概率q=l-p,那么事件A恰好發(fā)生七次的概率是P(X=@=Cp、"4(左=0,1,2,w)

：于是得到X的分布列

X01kn

Pc>VCWCpkq-kc：pnq°

由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式

(q+pS=C：A"+C*P/'++C：pkq-k++C：p-q°各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量X服從

參數(shù)為〃，p的二項(xiàng)分布，記作X?3(”，p),并稱p為成功概率.

注：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即”=1時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布

可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式.

2.二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)

(1)適用范圍：

①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；

②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；

③隨機(jī)變量是這〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).

(2)本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.

3.二項(xiàng)分布的期望、方差

若X?B(n,p),E(X)=np,D(X)=np(l-p).

一、解答題

1.(24-25高三上?甘肅酒泉?期末)在2024年“五四青年節(jié)”，某校舉辦了有關(guān)五四運(yùn)動(dòng)的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，

為了調(diào)查學(xué)生對(duì)本次活動(dòng)的滿意度，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為加(meN,)的樣本進(jìn)行調(diào)查，調(diào)

查結(jié)果如下表：

滿意不滿意合計(jì)

22

男生—m—m

53

女生

1

合計(jì)—m

2

(1)完成上面的列聯(lián)表，若有不少于99%的把握認(rèn)為“性別與滿意度有關(guān)系”，求樣本容量機(jī)的最小值；

(2)本次知識(shí)競(jìng)賽的晉級(jí)環(huán)節(jié)設(shè)置3道必答題目，至少答對(duì)2道題目則晉級(jí)，否則被淘汰.某年級(jí)有20名同

學(xué)進(jìn)入晉級(jí)環(huán)節(jié)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，每人對(duì)這3道題目答對(duì)的概率分別為2:，;1，:1，且3道題目答對(duì)與否互不影響.

322

①設(shè)X表示這20人中晉級(jí)的人數(shù)，求E（X）；

②記這20人中左（ZeN）人晉級(jí)的概率為尸（女）,求尸（左）取得最大值時(shí)％的取值.

2n^ad-bcy

附:,(a+b)(c+/)(a+c)(6+d)'其中n=a+b+c+d.

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

2.（24-25高三下?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）某單位在“全民健身日”舉行了一場(chǎng)趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中一個(gè)項(xiàng)目為投

籃游戲.游戲的規(guī)則如下:每局游戲需投籃3次，若投中的次數(shù)多于未投中的次數(shù)，該局得3分，否則得1分.

已知甲投籃的命中率為且每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲在一局游戲中投籃命中次數(shù)X的分布列與期望；

（2）若參與者連續(xù)玩2n（neN*）局投籃游戲獲得的分?jǐn)?shù)的平均值大于2,即可獲得一份大獎(jiǎng).現(xiàn)有〃=3和w=4

兩種選擇，要想獲獎(jiǎng)概率最大，甲應(yīng)該如何選擇?請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.（2025?山東聊城?模擬預(yù)測(cè)）2024年2月27日，電動(dòng)垂直起降航空器eVTOL“盛世龍”成功飛越深圳至

珠海的航線，實(shí)現(xiàn)了“飛行汽車”的首飛，打開(kāi)了未來(lái)城際通勤的巨大想象空間.某市教育局為了培養(yǎng)學(xué)生的

科技創(chuàng)新素養(yǎng)，在全市高三、高三年級(jí)舉辦了一次科技知識(shí)競(jìng)賽，兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)基本相同.已知高三

年級(jí)學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率為0.24（優(yōu)秀：競(jìng)賽成績(jī)e（80/00],單位：分）,現(xiàn)從高三年級(jí)隨機(jī)抽取100名學(xué)

生的競(jìng)賽成績(jī)，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

(1)從高三年級(jí)競(jìng)賽分?jǐn)?shù)在(70,90］中的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了6人，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3

人，記成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(2)以樣本的頻率估計(jì)概率，從參與競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求這名學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀的概率;

(3)若從參與競(jìng)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取〃(〃28)人，求〃為何值時(shí)，競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為8的概率最大.

4.(2025?山東?模擬預(yù)測(cè))已知兩個(gè)不透明的袋子中均裝有若干個(gè)大小，質(zhì)地完全相同的紅球和白球，

從A袋中摸出一個(gè)紅球的概率是:，從8袋中摸出一個(gè)紅球的概率是P.在每輪中，甲同學(xué)先選擇一個(gè)袋子

摸一次球并放回，乙再選擇一個(gè)袋子摸一次球并放回，則該輪結(jié)束.已知在每輪中甲選兩袋的概率均

為；.如果甲選A袋，則乙選B袋的概率為二；如果甲選8袋，則乙選B的概率為

-55

2

(1)若尸=§，求在一輪中乙從B袋中摸出紅球的概率；

(2)求在一輪中乙摸出紅球的概率；

(3)若甲，乙兩位同學(xué)進(jìn)行了3輪摸球.乙同學(xué)認(rèn)為，P越大，3輪摸球后他摸出2個(gè)紅球的概率越大，你同

意他的觀點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))新高考數(shù)學(xué)多選題6分制的模式改變了傳統(tǒng)的多選題賦分模式，每題具有

多個(gè)正確答案，答對(duì)所有正確選項(xiàng)得滿分，答對(duì)部分選項(xiàng)也可得分，強(qiáng)調(diào)了對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解和全面把握的要

求.在某次數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)中，第11題(6分制多選題)得分的學(xué)生有100人，其中!■的學(xué)生得部分分，J的學(xué)

44

生得滿分，若給每位得部分分的學(xué)生贈(zèng)送1個(gè)書簽，得滿分的學(xué)生贈(zèng)送2個(gè)書簽.假設(shè)每個(gè)學(xué)生在第11題

得分情況相互獨(dú)立.

(1)從第11題得分的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記這4人得到書簽的總數(shù)為X個(gè)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期

望；

⑵從第11題得分的100名學(xué)生中隨機(jī)抽取〃人(0<w4100,“eN*),記這〃人得到書簽的總數(shù)為(w+l)個(gè)的

概率為匕,求<+鳥(niǎo)+月+…+勺的值；

(3)已知王老師班有20名學(xué)生在第11題有得分，若以需要贈(zèng)送書簽總個(gè)數(shù)概率最大為依據(jù)，請(qǐng)問(wèn)王老師應(yīng)

該提前準(zhǔn)備多少個(gè)書簽比較合理？

題型4比賽、下棋、游戲問(wèn)題中的分布列

1、多人比賽或者傳球模型，一般情況下涉及到獨(dú)立事件與互斥事件的識(shí)別，及概率運(yùn)算，離散型隨機(jī)變

量的分布列和期望，如果符合常見(jiàn)的二項(xiàng)分布，超幾何分布等等分布，直接用概率公式進(jìn)行運(yùn)算。如果限

制條件較多，可以進(jìn)行羅列方式進(jìn)行分類討論計(jì)算

2、比賽模式，要考慮以下可能情況：

(1)比賽幾局？

(2)“誰(shuí)贏了”;

(3)有沒(méi)有平局

(4)贏了的必贏最后一局；

(5)比賽為啥結(jié)束？

一、解答題

1.(23-24高三下?河南新鄉(xiāng)?期中)甲、乙兩位圍棋選手進(jìn)行圍棋比賽，比賽規(guī)則如下：比賽實(shí)行三局兩勝

制(假定沒(méi)有平局)，任何一方率先贏下兩局比賽時(shí)，比賽結(jié)束，圍棋分為黑白兩棋，第一局雙方選手通

過(guò)抽簽的方式等可能的選擇棋色下棋，從第二局開(kāi)始，上一局的敗方擁有優(yōu)先選棋權(quán).已知甲下黑棋獲勝的

概率為《，下白棋獲勝的概率為g,每位選手按有利于自己的方式選棋.

⑴求甲選手以2:1獲勝的概率；

(2)比賽結(jié)束時(shí)，記這兩人下圍棋的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與期望.

2.(2025?山東煙臺(tái)?一模)為加強(qiáng)中小學(xué)科學(xué)教育，某市科協(xié)，市教育局?jǐn)M于2025年4月聯(lián)合舉辦第四屆

全市中小學(xué)機(jī)器人挑戰(zhàn)賽.比賽共設(shè)置穿越障礙、搬運(yùn)物品兩個(gè)項(xiàng)目.每支參賽隊(duì)先挑戰(zhàn)穿越障礙項(xiàng)目，挑戰(zhàn)

成功后，方可挑戰(zhàn)且必須挑戰(zhàn)搬運(yùn)物品項(xiàng)目.每支參賽隊(duì)每個(gè)項(xiàng)目至多挑戰(zhàn)兩次，若第一次挑戰(zhàn)成功，則獲

得獎(jiǎng)金2000元，該項(xiàng)目不再挑戰(zhàn)：若第一次挑戰(zhàn)失敗，則必須第二次挑戰(zhàn)該項(xiàng)目，若第二次挑戰(zhàn)成功，則

獲得獎(jiǎng)金1000元，否則，不獲得獎(jiǎng)金.假設(shè)甲參賽隊(duì)在每個(gè)項(xiàng)目中，第一次挑戰(zhàn)成功的概率為：，第一次挑

3

戰(zhàn)失敗但第二次挑戰(zhàn)該項(xiàng)目成功的概率為:；兩個(gè)項(xiàng)目是否挑戰(zhàn)成功相互獨(dú)立.

(1)設(shè)事件A="甲參賽隊(duì)兩個(gè)項(xiàng)目均挑戰(zhàn)成功”，求尸(A)；

(2)設(shè)比賽結(jié)束時(shí)，甲參賽隊(duì)獲得獎(jiǎng)金數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列；

(3)假設(shè)本屆比賽共有36支參賽隊(duì)，且根據(jù)往屆比賽成績(jī)，甲參賽隊(duì)獲得獎(jiǎng)金數(shù)近似為各參賽隊(duì)獲得獎(jiǎng)金數(shù)

的平均水平.某贊助商計(jì)劃提供全部獎(jiǎng)金，試估計(jì)其需提供的獎(jiǎng)金總額.

3.(2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè))某商場(chǎng)開(kāi)業(yè)期間為鼓勵(lì)顧客消費(fèi)，積極為顧客辦理會(huì)員卡，辦理了會(huì)員卡的顧

客購(gòu)物時(shí)能享受一定的優(yōu)惠.為統(tǒng)計(jì)顧客辦理會(huì)員卡的情況，商場(chǎng)采用隨機(jī)抽樣的方法統(tǒng)計(jì)了200名開(kāi)業(yè)

當(dāng)天的顧客的辦卡情況，得到如下2x2列聯(lián)表：

性別辦理會(huì)員卡未辦理會(huì)員卡合計(jì)

男1585100

女2575100

合計(jì)40160200

(1)依據(jù)小概率值戊=0。5的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為辦理會(huì)員卡與顧客的性別有關(guān)？

(2)該商場(chǎng)給持有會(huì)員卡的顧客設(shè)置了“石頭、剪刀、布"游戲環(huán)節(jié)，游戲中每名顧客勝、負(fù)、平的概率均為g,

商場(chǎng)根據(jù)游戲結(jié)果設(shè)置了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案，持卡會(huì)員只能自主選擇其中一種方案參加游戲，且只能參加一次

游戲.

方案一：兩名持有會(huì)員卡的顧客間進(jìn)行一次游戲?qū)Q，每局比賽中勝者積1分，敗者積0分，出現(xiàn)平局時(shí)

雙方各積1分，出現(xiàn)連勝2局時(shí)，勝者額外獎(jiǎng)勵(lì)1分，先積滿3分者獲勝，比賽結(jié)束，勝者獎(jiǎng)勵(lì)100元，

敗者無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)；三局比賽后，沒(méi)有人積夠3分或同時(shí)積夠3分，比賽結(jié)束，游戲雙方平分100元獎(jiǎng)勵(lì).

方案二：兩名持有會(huì)員卡的顧客間進(jìn)行一次游戲?qū)Q，一局比賽中勝者獎(jiǎng)勵(lì)50元，敗者無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)，若出現(xiàn)平

局，雙方均無(wú)獎(jiǎng)勵(lì).比賽共進(jìn)行三局，當(dāng)出現(xiàn)連勝2局，但未出現(xiàn)連勝3局時(shí)，勝者額外獎(jiǎng)勵(lì)20元；當(dāng)出

現(xiàn)連勝3局時(shí)，勝者額外獎(jiǎng)勵(lì)50元.

(i)顧客小李參加了方案一的游戲，求在小李獲勝的情況下，比賽出現(xiàn)一局平局的概率；

(ii)從節(jié)省資金的角度考慮，商場(chǎng)希望持有會(huì)員卡的顧客選擇哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案.

2n^ad-bcy

附:,(a+b)(c+/)(a+c)(6+d)'其中n=a+b+c+d.

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

4.(2025?江西新余?模擬預(yù)測(cè))小郅與小宏同學(xué)玩一個(gè)游戲，他們每人面前都有一個(gè)不透光的盒子，盒子

中均分別裝有標(biāo)有數(shù)字1、2、3的小球各1個(gè)，游戲開(kāi)始時(shí)先各自隨機(jī)從盒中取出一個(gè)球，相互交換放入

盒中，再晃勻后各自從盒中隨機(jī)取出一個(gè)球，球上數(shù)字較大者獲勝.

(D設(shè)開(kāi)始時(shí)小郅與小宏取出球的序號(hào)分別為X、Y,^=\X-Y\,求J分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)若開(kāi)始時(shí)小郅取球編號(hào)為2,求小宏最終獲勝的概率；

(3)若開(kāi)始時(shí)小郅、小宏取球編號(hào)分別為3、2,求在小宏獲勝的條件下，小郅第二次取球編號(hào)為2的概率.

5.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))某商場(chǎng)為了促進(jìn)消費(fèi)，對(duì)于消費(fèi)滿200元以上的顧客，將有參與游戲并贏

得獎(jiǎng)品的機(jī)會(huì).商場(chǎng)準(zhǔn)備了兩個(gè)游戲，顧客可以自主選擇參與其中的一個(gè)游戲.

游戲一：顧客隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若骰子出現(xiàn)6點(diǎn)，則稱拋擲成功，當(dāng)恰好出現(xiàn)1次拋擲成功

時(shí)，游戲結(jié)束，顧客贏得獎(jiǎng)品，否則繼續(xù)，每位顧客最多可以拋擲3次.

游戲二：顧客隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若骰子出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)，則稱拋擲成功，當(dāng)恰好出現(xiàn)2次拋

擲成功時(shí)，游戲結(jié)束，顧客贏得獎(jiǎng)品，否則繼續(xù)，每位顧客最多可以拋擲機(jī)(〃注2,加eN*)次.

(1)若某位顧客選擇參加游戲一，求該顧客贏得獎(jiǎng)品的概率；

(2)若某位顧客選擇參加游戲二，求該顧客贏得獎(jiǎng)品的概率；

(3)若顧客選擇參加游戲二贏得獎(jiǎng)品的概率不小于參加游戲一贏得獎(jiǎng)品的概率，求機(jī)的最小值.

6.(24-25高三上?重慶?階段練習(xí))育才中學(xué)為普及法治理論知識(shí)，舉辦了一次法治理論知識(shí)闖關(guān)比賽.比

賽規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，按順序依次闖關(guān)，無(wú)論成敗，每位隊(duì)員只闖關(guān)一次.如果某位隊(duì)員闖關(guān)失敗，則

由該隊(duì)下一隊(duì)員繼續(xù)闖關(guān)，如果該隊(duì)員闖關(guān)成功，則視作該隊(duì)獲勝，余下的隊(duì)員無(wú)需繼續(xù)闖關(guān)；若三位隊(duì)

員闖關(guān)均不成功，則視為該隊(duì)比賽失敗.比賽結(jié)束后，根據(jù)積分獲取排名，每支獲勝的隊(duì)伍積分y與派出

的闖關(guān)人數(shù)X的關(guān)系如下：y=40-10X(X=L2,3),比賽失敗的隊(duì)伍則積分為o.現(xiàn)有甲、乙、丙三人組

隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為A、。2、P3,且每人能否闖關(guān)成功互不影響.

321

(1)已知Pl=]'。2=§'03=5'

(1)若按甲、乙、丙的順序依次參賽，求該隊(duì)比賽結(jié)束后所獲積分y的期望；

(ii)若第一次闖關(guān)從三人中隨機(jī)抽取，求該隊(duì)比賽結(jié)束后所獲積分y=30的概率.

(2)若甲只能安排在第二位次參賽，且。<月<小<。3<1，要使該隊(duì)比賽結(jié)束后所獲積分y的期望最大，試

確定乙、丙的參賽順序，并說(shuō)明理由.

題型5條件概率、全概率、貝葉斯公式

pTXTXTXTXTJiTATATXTJbTXTATXTATATATJiTATJiTdiTATJiTXTJiTATJiTXTJiTATXTXTATJiTXTATATATXTXTATJiTJiTATATATATJiTATATXTATATATJiTJbTXTXTJiTXTXTJiTXTXTXTXTXTATJiTXTAT^TATdhTATATJiTJil

點(diǎn)

一、條件概率

P(AB)

⑴一般地，設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,我們稱P(3|A)=為在事件A發(fā)生的條

P(A)

件下，事件6發(fā)生的條件概率，簡(jiǎn)稱條件概率.

二、條件概率性質(zhì)應(yīng)用

(1)由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與6,若P(A)>0,則尸(A3)=尸(A)?尸(51A).我們稱上

式為概率的乘法公式.

(2)如果5和。是兩個(gè)互斥事件，則尸(5C\A)=P(B\A)+P(C\A)；

三、全概率公式及其應(yīng)用

一般地，設(shè)A,4,4…4是一組兩兩互斥的事件，AA?1A4=。，且P(4)〉O,

i=1,2,3,4,“，則對(duì)任意的事件51O,有P(B)=￡P(guān)(A)P(B|4)，我們稱此公式為全概率公式.

1=1

四、貝葉斯公式及其應(yīng)用

⑴設(shè)A，4是一組兩兩互斥的事件,AU&U4…U4=。,且P（4）〉O,，=1,2,3,4”，

「（A?B）=尸（4）尸（例—=p（a）尸（例4）

則對(duì)任意的事件^^。，「（或，。，有3P（B）￡尸（4）尸（為4）,i=L2,3,4n.

k=\

一、解答題

1.（2025?河北保定?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)抽題箱，兩抽題箱內(nèi)放有大小、質(zhì)量、顏色均相同的小球，

且小球內(nèi)放有題目.已知甲箱內(nèi)有4個(gè)A類題目的小球，5個(gè)2類題目的小球，3個(gè)C類題目的小球；乙箱

內(nèi)有2個(gè)A類題目的小球，2個(gè)8類題目的小球，6個(gè)C類題目的小球.

（1）從甲箱、乙箱內(nèi)各隨機(jī)抽取一個(gè)小球，記X表示抽取的小球內(nèi)放有3類題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望；

（2）先從甲箱內(nèi)抽取一個(gè)小球放入乙箱內(nèi)，再?gòu)囊蚁鋬?nèi)抽取一個(gè)小球，求這個(gè)小球內(nèi)放有A類題目的概率.

2.（2024?廣西南寧?一模）有兩個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球；2號(hào)盒子中有4個(gè)紅球,

6個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同.

（1）先等可能地選擇一個(gè)盒子，再?gòu)拇撕兄忻?個(gè)球.若摸出球的結(jié)果是一紅一白，求這2個(gè)球出自1號(hào)

盒子的概率；

（2）如果從兩個(gè)盒子中摸出3個(gè)球，其中從1號(hào)盒子摸1個(gè)球，從2號(hào)盒子摸兩個(gè)球，規(guī)定摸到紅球得2分，

摸到白球得1分，用X表示這3個(gè)球的得分之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

3.（2025?黑龍江?一模）第九屆亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)在哈爾濱圓滿落下帷幕.在這場(chǎng)盛大的亞洲冰雪盛會(huì)中，

獎(jiǎng)牌榜見(jiàn)證了各國(guó)運(yùn)動(dòng)員的榮耀與拼搏.中國(guó)隊(duì)以32金27銀26銅，總計(jì)85枚獎(jiǎng)牌的傲人成績(jī)，強(qiáng)勢(shì)登

頂獎(jiǎng)牌榜，成為最大贏家.這一成績(jī)不僅創(chuàng)造了中國(guó)隊(duì)亞冬會(huì)歷史最佳，更是追平了單屆金牌數(shù)紀(jì)錄，書

寫了中國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)的嶄新篇章.冰球深受廣大球迷的喜愛(ài)，每支球隊(duì)都有一個(gè)或幾個(gè)主力隊(duì)員，現(xiàn)有一支

冰球隊(duì)，其中甲球員是其主力隊(duì)員，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該球隊(duì)在某階段所有比賽中，甲球員是否上場(chǎng)時(shí)該球隊(duì)的勝負(fù)

情況如表：

甲球員是否上場(chǎng)球隊(duì)的勝負(fù)情況合計(jì)

月生負(fù)

上場(chǎng)3845

未上場(chǎng)3

合計(jì)40

(1)完成2x2列聯(lián)表，并判斷根據(jù)小概率值。=0。25的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為球隊(duì)的勝負(fù)與甲球員是否上場(chǎng)

有關(guān)聯(lián)?

(2)由于隊(duì)員的不同，甲球員主打的位置會(huì)進(jìn)行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲球員上場(chǎng)時(shí)，打邊鋒，中鋒,

后衛(wèi)的概率分別為0.4,0.5,0.1,相應(yīng)球隊(duì)贏球的概率分別為0.7,0.9,0.5.

(i)當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，求球隊(duì)贏球的概率；

(ii)當(dāng)甲球員上場(chǎng)參加比賽時(shí)，在球隊(duì)贏了某場(chǎng)比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率.

n(ad-bc)2

附：z2n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(6+d)'

a0.150.100.050.0250.0100.001

Xa2.0722.7063.7415.0246.63510.728

4.(24-25高三下?河南信陽(yáng)?開(kāi)學(xué)考試)生物工程科研小組為研究某顯性基因夕與患疾病M之間的關(guān)系,

從某地區(qū)基因信息庫(kù)中隨機(jī)抽取了2000份，得到如下數(shù)據(jù):

患疾病M不患疾病M合計(jì)

攜帶顯性基因夕100200300

不攜帶顯性基因月44012601700

合計(jì)54014602000

(1)依據(jù)小概率值a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為患有疾病M與攜帶顯性基因夕有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)用頻率估計(jì)概率，在所有參加調(diào)查者中按是否攜帶顯性基因￡進(jìn)行分層抽樣，并隨機(jī)抽取了20份基因樣

本，再?gòu)倪@20份樣本中隨機(jī)抽取2份樣本進(jìn)行家族患病史分析，記2份基因樣本中來(lái)自于攜帶顯性基因夕

且患疾病”的份數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

2w(ad—bc)一

參考公式:”(a+b)(c+d)(a+c)0+d)'其中n-a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù):

a0.1000.0500.0250.0100.0050.001

Xa2.7063.8415.0246.6357.87910.828

5.(2025?河北保定?一模)某商場(chǎng)進(jìn)行周年慶大型促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”

的活動(dòng)，活動(dòng)期間在商場(chǎng)消費(fèi)達(dá)到一定金額的人可以參加游戲.游戲規(guī)則如下：在一個(gè)盒子里放著6個(gè)大小

相同的小正方體，其中有3個(gè)A類小正方體，4個(gè)面印著奇數(shù)，2個(gè)面印著偶數(shù)；有2個(gè)8類小正方體，6

個(gè)面都印著奇數(shù)；1個(gè)C類小正方體，6個(gè)面都印著偶數(shù).游戲者蒙著眼睛隨機(jī)從盒子中抽取一個(gè)小正方體并

連續(xù)投擲兩次，由工作人員告知投擲的結(jié)果，若兩次投擲向上的面都是奇數(shù)，則進(jìn)入最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)，否則

游戲結(jié)束，不獲得任何禮券.最終挑戰(zhàn)的環(huán)節(jié)是進(jìn)行第三次投擲，有兩個(gè)方案可供選擇，方案一：繼續(xù)投擲

之前抽取的那枚小正方體，若投擲后向上的面為奇數(shù)，則獲得200元禮券；方案二：不使用之前抽取的小

正方體，從盒子中剩余的5個(gè)小正方體里再次隨機(jī)抽取一個(gè)進(jìn)行投擲，若投擲后向上的面為奇數(shù)，則獲得

300元禮券，不管選擇方案一還是方案二、若投擲后向上的面為偶數(shù)，則獲得100元禮券，

(1)求第一次投擲后向上的面為奇數(shù)的概率；

(2)若某位顧客抽取一個(gè)小正方體后連續(xù)投擲兩次，向上的面均為奇數(shù)，求該小正方體是A類小正方體的概

率；

(3)在某位顧客進(jìn)入了最終挑戰(zhàn)環(huán)節(jié)的條件下，試分別計(jì)算他選擇兩種投擲方案最終獲得的禮券金額的數(shù)學(xué)

期望，并以此判斷選擇哪種投擲方案更合適.

題型6概率中的決策性問(wèn)題

pTXTATXTXTXTATATXTXTAT4iTXTdkT4iTATXTATATJiTATJiTATJiTATJiTJiTJLT4iTATAT4iTdLTXTAT4iTXTJiTdiTJiTATJhTJhTJiTJiTATJiTAT4iTATJLTJiTJiTJLTJiTJiTJiTJiTXTJbT4iTATJiTdiTXTXT4iT4iTXTAT4iTJ；TdkTJiTATdkT4i1

點(diǎn)

決策問(wèn)題的解決策略：決策的工具是有關(guān)概率，決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)作為最佳方案,

「苛籥需的普斯菌藪苗程漩罷簍疏:

一、解答題

1.（2025?新疆?二模）手工刺繡是中國(guó)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式把圖案設(shè)計(jì)和制作添加在編織

物上的一種藝術(shù)，大致分為三個(gè)環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)記為工序A,工序3,工序C.經(jīng)過(guò)試驗(yàn)測(cè)得小李在這三道工序成

功的概率依次為:，4,現(xiàn)某單位推出一項(xiàng)手工刺繡體驗(yàn)活動(dòng)，報(bào)名費(fèi)30元，成功通過(guò)三道工序最終

的獎(jiǎng)勵(lì)金額是200元，為了更好地激發(fā)參與者的興趣，舉辦方推出了一項(xiàng)工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在活動(dòng)開(kāi)始

前付費(fèi)聘請(qǐng)技術(shù)員，若某一道工序沒(méi)有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序，技術(shù)員只完成其中一道工序，

且只能聘請(qǐng)一位技術(shù)員，需另付聘請(qǐng)費(fèi)用100元，若制作完成后沒(méi)有接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)的退還一半的聘

請(qǐng)費(fèi)用.

（1）求小李獨(dú)立成功完成三道工序的概率；

（2）若小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員，且接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)，求他成功完成三道工序的概率；

（3）為了使小李獲得收益的期望值更大，請(qǐng)問(wèn)小李是否需要聘請(qǐng)一位技術(shù)員？請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（24-25高三上?山東濰坊?期末）甲、乙兩位同學(xué)參加知識(shí)答題比賽，得分高者獲勝.已知共20道試題