秘籍08圓錐曲線小題

目錄

【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)

【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)：基本結(jié)論

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略

【題型一】圓錐曲線定義型

【題型二】焦點(diǎn)弦與焦半徑型

【題型三】定比分點(diǎn)

【題型四】離心率綜合

【題型五】雙曲線漸近線型

【題型六】拋物線中的設(shè)點(diǎn)計(jì)算型

【題型七】切線型

【題型八】切點(diǎn)弦型

【題型九】曲線軌跡型

高考預(yù)測(cè)

概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆

題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測(cè)圓錐曲線幾何原理

應(yīng)試秘籍

圓錐曲線屬于高考難點(diǎn)，也是解析幾何的主要內(nèi)容，多出現(xiàn)在壓軸題的位置，考察的內(nèi)容和題型也偏

多，需要學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握的基礎(chǔ)上還需要利用數(shù)形結(jié)合等的思想結(jié)合幾何和代數(shù)的方法來(lái)解決

相應(yīng)問(wèn)題。需要記憶的結(jié)論很多，所以相應(yīng)的推理方法也都必須要能夠理解，這里通過(guò)梳理題型來(lái)理解其

中的含義和方法。

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)：基本結(jié)論

1.利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)24>尸1B］這一條件.

2.注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是a,b,c的兩倍.

3.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后

再根據(jù)條件建立關(guān)于。，b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可

把橢圓方程設(shè)為mx2+〃y2=］（M>0,n>0,相加）的形式.

22

例（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線十方=1（。>0油>0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-虛,0）,焦距為2石，則雙曲

線的漸近線方程為（）

A.y=+y/2xB.y=±2x

15

C.y=±-xD.y=±^±x

272

2222

變式1：（2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線C］:=-當(dāng)=1,橢圓C?:=+當(dāng)=1（。>>>0）的離心率分別為6,

abba

%若這4個(gè)焦點(diǎn)所形成的封閉圖形中最大的內(nèi)角為120。，貝上一e?分別為（）

A,空,叵B.53C.旦,BD.顯，顯

2232222

變式2：（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓片+/=1（”>1）的離心率為且，則拋物線〉=依2的焦點(diǎn)坐

a2

標(biāo)為（）

a-GMb-H］mD.［。，總

,搶分通關(guān)

【題型一】圓錐曲線定義型

基本定義：

（1）橢圓定義：動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2C且a>c（其中a>0,c0,且a,c為常數(shù)）

（2）雙曲線定義：動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：||PFi|-|PF2||=2a,|FiF2|=2c且a<c（其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0）.

（3）拋物線定義：|PR=|PM，點(diǎn)F不在直線/上，于M

拓展定義：

2

A-2y2b

l.A,B是橢圓C：U+"=1（a>0,6>0）上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則/iolyivi=一一/-（可用點(diǎn)差法快速證明）

a

x2y2卜2

2.A,B是雙曲線C：/—尻=l（a>0,b>0）上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則長(zhǎng)鉆?勺知==（可用點(diǎn)差法快速證明）

a

典例精講

22

【例1】（2024?廣東深圳?二模）P是橢圓C：=+3=1（a>8>0）上一點(diǎn)，月、居是C的兩個(gè)焦點(diǎn),

ab

麗?雨=0,點(diǎn)。在/耳P8的平分線上，。為原點(diǎn)，。?！ㄊ襹OQ|=b.則C的離心率為（）

A.|B.3C."D.也

2332

【例2】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)尸（1,0）,E（-2,0）,M（2,2）,動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足線

段尸石的中點(diǎn)在曲線V=2x+2上，則|PM|+|P同的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【例3】（多選）（2024.河南開(kāi)封.三模）橢圓C：T^+E=1（m>。）的焦點(diǎn)為耳，尸2,上頂點(diǎn)為4直

m+1m

TT

線AG與C的另一個(gè)交點(diǎn)為2,若/片A8=§,則（）

A.C的焦距為2B.C的短軸長(zhǎng)為2相

C.C的離心率為"D.ZXAB凡的周長(zhǎng)為8

2

名校模擬

,2

【變式1］（2024?貴州安順?一模）已知橢圓八夕+方y(tǒng)=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳,g,P為T(mén)上一點(diǎn),

且N耳尸招=60。，若「周|尸閭=三，的外接圓面積是其內(nèi)切圓面積的25倍，則橢圓T的離心率

【變式2】（2024.上海奉賢.二模）點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-44CR棱上一點(diǎn)，則滿(mǎn)足|必+|尸。=2

的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為.

22

【變式3］（2023?河南焦作?模擬預(yù)測(cè)）己知雙曲線C:二-3=1（4>0）的左焦點(diǎn)為耳，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

a3a

D（a,^a）,線段OD的垂直平分線與C交于AB兩點(diǎn)，且與C的一條漸近線交于第二象限的點(diǎn)E,若

2

\DE\=~,貝耳的周長(zhǎng)為.

【題型二】焦點(diǎn)弦與焦半徑型

1.已知F是拋物線y2=2px的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，則|PF|=—2_,其中9=/PEx

1-cos0

2.若焦點(diǎn)弦A3的傾斜角為貝U|AB|=々一（橫放）若AB的傾斜角為。，貝［知|=々一（豎放）

sinacosa

?—?

典例精講

【例1】已知A,8為橢圓總+］=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)，尸為右焦點(diǎn)，|/回+怛川=4,若線段AB的垂直平分

線交x軸于點(diǎn)T,則|口|=.

22

【例2】已知橢圓宗+券=l（a>6>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2,拋物線丁=2夕武。>0）的焦點(diǎn)為B，設(shè)

兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為尸，若理?耳月=!加，則橢圓的離心率為

0

A.|B.—C.走D.反

2242

I—I

名校模擬

22

【變式1】已知橢圓C:1+4=1（a>3>0）的焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)2,若點(diǎn)尸在橢圓上，且滿(mǎn)足陷「=閥卜閘|

ab

（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則稱(chēng)點(diǎn)尸為點(diǎn)，則橢圓上的點(diǎn)有個(gè)

A.0B.2C.4D.8

【變式2］（多選）設(shè)耳，入為橢圓C：］+\=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，九）為C上一點(diǎn)且在第一象限，/（%,%）

為工的內(nèi)心，且工內(nèi)切圓半徑為1,貝IJ（）

A.\ip\=y[5B.毛=孚c.占=2D.k嗚嗎=_：

【變式3】已知拋物線C：y=4x的焦點(diǎn)為尸，尸為拋物線C在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)P處的切

線與圓尸相切（切點(diǎn)為M）且交x軸于點(diǎn)Q,過(guò)點(diǎn)尸作圓廠的另一條PN（切點(diǎn)為N）交了軸于點(diǎn)7,

若IFQ|=|FP|,貝ijIFTI的最小值為.

【題型三】定比分點(diǎn)

1.過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F的弦AB與對(duì)稱(chēng)軸（橢圓是長(zhǎng)軸，雙曲線是實(shí)軸）的夾角為

6,且存=273（注意方向）則ecos8=|叁|（e為離心率）

X+1

2.已知AB為拋物線y2=2px的焦點(diǎn)弦，

其傾斜角為aIAF|=m,|BF|=n,=九則|cos01=|上?-1=|4|

|BF|m+n2+1

?—?

典例精講

22

【例1】（多選）在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知八分別是橢圓C:土+匕=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A,B

42

是橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足樂(lè)1=九書(shū)，則（）

A.的周長(zhǎng)為定值B.AB的長(zhǎng)度最小值為1

C.若貝廠=3D.2的取值范圍是［1,5］

【例2】（2022?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C的離心率e=；,左右焦點(diǎn)分別為用B，尸為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，

則導(dǎo)的取值范圍為_(kāi)_______.

\PF,

名校模擬

【變式1］（多選）（2024?甘肅蘭州?三模）已知拋物線＞2=2x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/且與x軸交于點(diǎn)。P

是/上一點(diǎn)，直線尸尸與拋物線交于M,N兩點(diǎn)，若麗=3而F,則（）

2Q

A.\MF\=-B.\MN\=-

C.|F<2|=1D.|P0=2

22i

【變式2】已知橢圓C:占r+4v=1（。>b>0）的離心率為-，過(guò)右焦點(diǎn)F作傾斜角60。的直線/交C于A,8兩

ab2

AF

點(diǎn)（A在第一象限），貝1寸=______.

BF

22

【變式3］（2022?安徽馬鞍山?三模）雙曲線C："0）的焦點(diǎn)為耳、F,P在雙曲線右

ab2

支上，且歸團(tuán)=3歸閶，y=±x為C的漸近線方程，若△即區(qū)的面積為40，則雙曲線c的焦距長(zhǎng)為.

【題型四】離心率綜合

解題時(shí)要把所給的幾何特征轉(zhuǎn)化為"c的關(guān)系式.求離心率的常用方法有：

⑴根據(jù)條件求得a，"，c,利用e，或eJ+X求解；

aVa2

（2）根據(jù)條件得到關(guān)于。，4c的方程或不等式，利用e=￡將其化為關(guān)于e的方程或不等式，然后解方程或

a

不等式即可得到離心率或其范圍.

I—I

典例精講

22

【例1】（2024?全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)A,B,C為橢圓E：］+方=l（a>"0）上三點(diǎn)，且

OA+OB=Q>OA-AC=0>直線與x軸交于點(diǎn)Z）,若4次.歷二初二則E的離心率為（）

A.裊B.也C.2D.迪

5225

22

【例2】（2024.廣東佛山.二模）已知橢圓C:1y+方=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳（-G0）,8（c,0）,

2

點(diǎn)A,8在C上，且滿(mǎn)足不=2孽，~^B-AB=4c2-—,則C的離心率為（）

A.也B..D.息

C.-

3333

I—I

名校模擬

22

【變式1］（2024?四川德陽(yáng).三模）設(shè)耳,耳是雙曲線C:1-當(dāng)=1（。>0,6>。）的左、右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原

ab

點(diǎn)，點(diǎn)P是C上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若|「月||「乙|-|。刊2=2",則（？的離心率為（）

A.V3B.V2C.3D.2

【變式2］（2024.四川遂寧.二模）已知耳（一c,0）,B（c,0）分別是雙曲線C：鳥(niǎo)―1=1（。>0,。>0）的左、右

ab

焦點(diǎn)，過(guò)耳的直線與圓（x-gc）2+y2=，相切，與c在第一象限交于點(diǎn)尸，且產(chǎn)工，x軸，則c的離心率為

（）

A.3B.2非C.2D.75

22

【變式3］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）己知橢圓C:=+"=1（。>>>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月,工，上頂

ab

點(diǎn)為A,過(guò)6作AF2的垂線，與y軸交于點(diǎn)尸，若I尸耳|=g,則橢圓c的離心率為.

【題型五】雙曲線漸近線型

（1）焦點(diǎn)到漸近線的距離為b

（2）定點(diǎn)到漸近線的距離為2

a

典例精講

【例1】（2024?福建.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線C其中一支的焦點(diǎn)為死另一支的頂點(diǎn)為4其兩漸近線分別為相，”.

若點(diǎn)8在機(jī)上，且8尸_1_7”,48_177,則加與〃的夾角的正切值為（）

A.0B.73C.2D.75

【例2】（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）己知雙曲線C:?-丁=1,直線/：x_y+i=o.雙曲線C上的點(diǎn)P到直

線/的距離最小，則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為（）

A2gR4^/3「2石n473

3333

名校模擬

22

【變式1】（2024.山西晉城二模）已知雙曲線二一與=1（。>0,b>0）的兩條漸近線均和圓

ab

。:/+丁+舐+7=0相切，且雙曲線的左焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為（）

A.片-片=1B.把二”LlC.尤一更=1D.片=1

97977979

/v2

【變式2］（2024.山東聊城二模）已知雙曲線U三-2=的右焦點(diǎn)為人一條漸近線的方程為

y=2x,若直線>與C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為尸，且PRLx軸，則％的值為（）

A.且B.@C.迪D.迪

2255

22

【變式3］（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線二一與=1（fl>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為小F2,

ab

點(diǎn)尸為雙曲線右支上一點(diǎn)，尸片交雙曲線的左支于點(diǎn)直線尸工交雙曲線的右支于另一點(diǎn)N,若

|PN|=|￡N|=5,MF21PN,則該雙曲線的漸近線方程為.

【題型六】拋物線中的設(shè)點(diǎn)計(jì)算型

是拋物線V=2px的焦點(diǎn)弦，設(shè)4和％）,5（々,％），A3在準(zhǔn)線上的射影分別為小4，則：

，P2

⑴%%=一夕=—;

（2）|AB|=\+x2+p-

（3）若AB傾斜角為。，則|筋|=3一；

sin6

（4）以A5為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；

（5）\FLB.F

（6）若Af是4片中點(diǎn)，則AM,?欣，MF±AB；

（7）A,O，B共線,3,。,4共線;

I—I

典例精講

［例1］（2023?河南焦作?模擬預(yù)測(cè)）已知直線>=工-1交曲線C：V=4x于A,3兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)3的上方），

廠為c的焦點(diǎn)，則?（）

\AF\-\BF\

A.2A/3B.2及C.2D.0

【例2】（2024.北京順義.二模）已知拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,尸為C上一點(diǎn)，直線P尸與/

相交于點(diǎn)Q,與>軸交于點(diǎn)若尸為尸。的中點(diǎn)，則歸“卜（）

A.4B.6C.4A/3D.8

【例3】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)尸（2,~4）是拋物線C:y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，直線x=沖+〃與拋物

線C交于與尸不重合的兩點(diǎn)A8.若尸3,則（）

A.n=10—4mB.n=4m—lQC.n=4m—6D.n=6—4m

?—?

名校模擬

【變式1］（2024?四川成都?三模）已知點(diǎn)P,。分別是拋物線C:y=4x和直線/:x=g上的動(dòng)點(diǎn)，若拋物線

C的焦點(diǎn)為尸，則同的最小值為（）

A.3B.2+73C.2A/3D.4

【變式2］（2024.江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓脫巴+￥=1（°>6>0）的離心率等于且，拋物線f=4y的

b~2

焦點(diǎn)廠是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn)，4、2分別是橢圓的左右頂點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P、Q為橢圓上異于48兩點(diǎn)，設(shè)直線AP、

BQ的斜率分別為%，h，且抬=2勺.則（）

A.AP的斜率可能不存在，且不為0

B.P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4^2

C.直線AP的斜率片?:

8

D,直線PQ過(guò)定點(diǎn)||,o］

【變式3］（2024?山東棗莊?一模）已知產(chǎn)為拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)，UlBC的三個(gè)頂點(diǎn)都在E上，P為AB

的中點(diǎn)，且^^=2而，則|E4|+|EB|的最大值為（）

A.4B.5C.3y/3D.40

【題型七】切線型

1.橢圓：

22

若6（%,穌）在橢圓5+當(dāng)=1上，則過(guò)外的橢圓的切線方程是警+理=1.

a-b-ab'

2.雙曲線：

22

若兄（不，兒）在雙曲線與一當(dāng)=1（a>0,b>0）上，則過(guò)兄的雙曲線的切線方程是號(hào)—理=1.

?-b-a-b-

3.點(diǎn)p（4,人）是拋物線丁=2所（加學(xué)0）上一點(diǎn)，則拋物線過(guò)點(diǎn)P的切線方程是：yoy^m（xo+x）；

（—1

典例精講

【例1】（2024?全國(guó)?一模）我國(guó)著名科幻作家劉慈欣的小說(shuō)《三體n?黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使

用新型材料-強(qiáng)互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測(cè)器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料

水滴角測(cè)試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點(diǎn)處氣一液兩相界面的切線與液一固兩相交線

所成的角），圓法和橢圓法是測(cè)量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長(zhǎng)軸平行于液一

固兩者的相交線，橢圓的短半軸長(zhǎng)小于圓的半徑）的一部分，設(shè)圖中用圓法和橢圓法測(cè)量所得水滴角分別

為4,%,則（）

空氣夕

附：橢圓）+/=1（"6>0）上一點(diǎn)（無(wú)。,%）處的切線方程為竽+爺=1.

A.4<%B.4=%

c.D.4和%的大小關(guān)系無(wú)法確定

【例2】（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的重要原理，可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)，

22

如：點(diǎn)P為橢圓（斗鳥(niǎo)為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，則點(diǎn)P處的切線平分/KP8外角.已知橢圓C:鼻+譽(yù)=1，。為坐

標(biāo)原點(diǎn)，/是點(diǎn)尸（2,0）處的切線，過(guò)左焦點(diǎn)片作/的垂線，垂足為則10Ml為（）

A.2A/2B.2C.3D.243

名校模擬

【變式1］（2023?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知圓J:（尤-道了+/=/（0</<書(shū)與圓C?:（尤+若了+/=（4-r）2

交點(diǎn)的軌跡為M,過(guò)平面內(nèi)的點(diǎn)P作軌跡/的兩條互相垂直的切線，則點(diǎn)P的軌跡方程為（）

A.x2+y2=5B.x2+y2=4

C.x2+y2-3D.x2+y2=-|

【變式2］（2023?山東?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：x2=4y,過(guò)直線/：x+2y=4上的動(dòng)點(diǎn)尸可作C的兩條

切線，記切點(diǎn)為A,B,則直線AB（）

A.斜率為2B.斜率為±2C.恒過(guò)點(diǎn)（0,-2）D.恒過(guò)點(diǎn)（-1,-2）

【變式3］（2024?吉林白山?二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的

應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓傕曲線中，稱(chēng)圓錐曲線的弦

與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線C:V=心的焦點(diǎn)為尸，頂點(diǎn)為

0,斜率為§的直線/過(guò)點(diǎn)/且與拋物線C交于",N兩點(diǎn)，若APMN為阿基米德三角形，則|。"=（）

A.7TTB.2幣C.VBD.714

【題型八】切點(diǎn)弦型

1.橢圓：

22

若《（%,%）在橢圓［+當(dāng)=1外，則過(guò)P。作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為Pl、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程

ab

2.雙曲線：

若《(%,%)在雙曲線=—2=1(a>0,b>0)外，則過(guò)P。作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為Pi、P2,則切點(diǎn)

ab

弦P1P2的直線方程是誓-理=1.

ab

3.點(diǎn)尸(演,幾)是拋物線=2m(mw0)外一點(diǎn)，則拋物線過(guò)點(diǎn)P的切點(diǎn)弦方程是：%丁=加(%+力；

?—?

典例精講

22

【例1】已知直線/與橢圓C：5+?=l切于點(diǎn)P,與圓C2：x2+y2=16交于點(diǎn).，圓C?在點(diǎn)A3處的切線交

o4

于點(diǎn)Q,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AOPQ的面積的最大值為

A.2.72B.2C.0D.1

【例2】拋物線C:Y=4y,過(guò)戶(hù)(-3,-1)作拋物線的兩條切線，分別切拋物線C于A、B兩點(diǎn),則線段A3中

點(diǎn)又與y軸的距離為()

A.1B.2C.3D.4

I—1

名校模擬

【變式1】.拋物線C:/=4y的焦點(diǎn)為f準(zhǔn)線為/,斜率為2的直線機(jī)與拋物線C切于一點(diǎn)A,與準(zhǔn)線/

交于點(diǎn)B,則AABF的面積為()

25

A.15B.—

2

「25n7

C.—D.一

42

【變式2】已知拋物線C：x2=4y,點(diǎn)M為直線y=-l上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線M4,MB與拋物線C分別

切于點(diǎn)A,B,則正.詼=()

A.0B.1C.-1D.0或1

【題型九】曲線軌跡型

求軌跡方程：

(1)直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

(2)定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿(mǎn)足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程；

(3)相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)X、y表示相關(guān)點(diǎn)尸的坐標(biāo)與、％,然后代入點(diǎn)尸的坐標(biāo)(％,%)所滿(mǎn)足的

曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；

(4)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)X、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找X、y與某一參數(shù)/得到方程，即

為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；

（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程.

?—I

典例精講

【例1】（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,P是平面ABCD外一點(diǎn)，設(shè)直線PB與

平面ABCD的夾角為a,若PA+PC=27L則a的最大值是（）

7171

A.B.-D.

642

【例2】（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐尸的體積為逑

,底面ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在經(jīng)過(guò)球

3

7T

心的截面圓上，頂點(diǎn)尸在球。的球面上，點(diǎn)E為底面A3CD上一動(dòng)點(diǎn)，PE與尸。所成角為:，則點(diǎn)E的軌

6

跡長(zhǎng)度為（）

A.缶B.4扃C.色D.巫n

33

名校模擬

【變式1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐A-3CD中，底面3CD是等邊三角形，側(cè)面ABD是等腰直角三

角形，AB=AD=y/2,尸是平面BCD內(nèi)一點(diǎn)，且AP=1,若AC=后，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

卜扃nac2技?￡

2X?D.?--------?

3333

【變式2］（多選）（2024.湖南.二模）如圖，點(diǎn)尸是棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-ABGA的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

A.若點(diǎn)尸滿(mǎn)足qC,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為4&

B.三棱錐體積的最大值為g

C.當(dāng)直線釬與A3所成的角為45。時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為兀+4&

D.當(dāng)尸在底面ABCD上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足尸產(chǎn)〃平面時(shí)，線段尸產(chǎn)長(zhǎng)度最大值為2亞

【變式3］（2024.廣東梅州.二模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為.已

知兩定點(diǎn)，，則滿(mǎn)足的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為

秘籍08圓錐曲線小題

目錄

【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)

【應(yīng)試秘籍】總結(jié)常考點(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略

【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)

易錯(cuò)點(diǎn)：基本結(jié)論

【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略

【題型一】圓錐曲線定義型

【題型二】焦點(diǎn)弦與焦半徑型

【題型三】定比分點(diǎn)

【題型四】離心率綜合

【題型五】雙曲線漸近線型

【題型六】拋物線中的設(shè)點(diǎn)計(jì)算型

【題型七】切線型

【題型八】切點(diǎn)弦型

【題型九】曲線軌跡型

高考預(yù)測(cè)

概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆

題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測(cè)圓錐曲線幾何原理

應(yīng)試秘籍

圓錐曲線屬于高考難點(diǎn)，也是解析幾何的主要內(nèi)容，多出現(xiàn)在壓軸題的位置，考察的內(nèi)容和題型也偏

多，需要學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)熟練掌握的基礎(chǔ)上還需要利用數(shù)形結(jié)合等的思想結(jié)合幾何和代數(shù)的方法來(lái)解決

相應(yīng)問(wèn)題。需要記憶的結(jié)論很多，所以相應(yīng)的推理方法也都必須要能夠理解，這里通過(guò)梳理題型來(lái)理解其

中的含義和方法。

誤區(qū)點(diǎn)撥

易錯(cuò)點(diǎn)：基本結(jié)論

1.利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2a>|BB|這一條件.

2.注意長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距不是a,b,c,而應(yīng)是a,b,c的兩倍.

3.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后

再根據(jù)條件建立關(guān)于匕的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可

把橢圓方程設(shè)為如2+九,2=1（心0,H>0,初初）的形式.

22

例（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線二-2=1（。>0,10）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-0,0）,焦距為2TL則雙曲

ab

線的漸近線方程為（）

A.y=土6xB.y=±2x

?萬(wàn)

c.y=±-xD.y=+^x

【答案】D

22

【詳解】雙曲線=-2=1中，半焦距為石，即C=6，

ab

又雙曲線一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-&,0）,即0=a2一/=/我2一片=0,解得6=1,

所以雙曲線的漸近線方程為y=土叵x(chóng).

2

故選：D.

2222

變式1：（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）設(shè)雙曲線C]:=-2=1,橢圓C?:=+當(dāng)=1（">>。）的離心率分別為4,

abba

%若這4個(gè)焦點(diǎn)所形成的封閉圖形中最大的內(nèi)角為120。，貝代一e?分別為（）

A.空,@B.百，且C,迎是D.顯，叵

2232222

【答案】D

由題意可設(shè)雙曲線G的左、右焦點(diǎn)為A,B,設(shè)橢圓c2的上、下焦點(diǎn)為C,D,記坐標(biāo)原點(diǎn)為

因?yàn)檫@4個(gè)焦點(diǎn)所形成的封閉圖形中最大的內(nèi)角為120。,

由此可得NG4T>=60。，則NC4O=30。，

\co\1

所以薪=可3。。=7r

所以一萬(wàn)=B,兩邊平方后即可求得儲(chǔ)=2爐，

故令勺分別為如，e.

22

故選：D.

變式2：（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓工+丁=10>1）的離心率為且，則拋物線>=以2的焦點(diǎn)坐

a2

標(biāo)為（）

ab

-GM-cIT口.I。，高

【答案】D

【詳解】因?yàn)闄E圓J+y2=l（a>l）的離心率為乎，所以卜：=乎,解得“=4,

則拋物線y=”的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=口，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（。，白］.

4I16；

故選：D.

搶分通關(guān)

【題型一】圓錐曲線定義型

基本定義：

⑴橢圓定義：動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：|PFi|+|PF2|=2a,|FiF2|=2c且a>c（其中a>0,cO,且a,c為常數(shù)）

（2）雙曲線定義：動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：||PFi|-|PF2||=2a,|FiF2|=2c且a<c（其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0）.

（3）拋物線定義：|PF|=|PM，點(diǎn)E不在直線/上，于

拓展定義：

X2y2b2

1.A,B是橢圓C：7+Z?2=l3>0,匕>0）上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則——-（可用點(diǎn)差法快速證明）

t\D\JlyLa/

/Wb2

2.A,B是雙曲線C：/—"=13>0,b>0）上兩點(diǎn)，M為A,B中點(diǎn)，則長(zhǎng)秒.%〃二=（可用點(diǎn)差法快速證明）

a

I—I

典例精講

22

【例1】（2024?廣東深圳?二模）P是橢圓C：'+與=1（a>8>0）上一點(diǎn)，月、居是C的兩個(gè)焦點(diǎn),

ab

西?走=0,點(diǎn)。在/與P8的平分線上，。為原點(diǎn)，OQ〃PF[,且|OQ|=b.則C的離心率為（）

A.1B.昱C.逅D.也

2332

【答案】C

【詳解】如圖，設(shè)|尸耳|=加，歸局=〃，延長(zhǎng)OQ交尸居于A,

由題意知。?！ㄊ?。為月耳的中點(diǎn)，故A為尸鳥(niǎo)中點(diǎn)，

7T

又由="則是等腰直角三角形，

m+n=2a

m—n=2b\m=a+b

故有病+/=4。2,化簡(jiǎn)得即一

m+n=2a

b7+—1n=—1m

[22

代入川+〃2=41?得(1+〃)2+(a—b)2=4/,

即〃+"=2。2,由/=/—。2所以2/=3。2,

所以e2=],e=亞.

33

故選：C.

【例2】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)尸（1,0）,￡（-2,0）,M（2,2）,動(dòng)點(diǎn)尸滿(mǎn)足

線段PE的中點(diǎn)在曲線產(chǎn)=2工+2上，則|尸閭+|尸尸|的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】設(shè)尸（x,y）,則PE的中點(diǎn)坐標(biāo)為代入y?=2x+2,可得y?=4x,

故動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以廠為焦點(diǎn)，直線/：彳=-1為準(zhǔn)線的拋物線曠=4彳，

由于2?<4x2,故Af（2,2）在拋物線丁=4x內(nèi)部，

過(guò)點(diǎn)P作尸Q，/,垂足為。，貝1尸河|+|尸耳=|尸根+|尸。］,（拋物線的定義），

故當(dāng)且僅當(dāng)P,Q三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|PQ|最小，即|尸閭+歸尸|最小，

最小值為點(diǎn)M到直線I的距離，所以尸|）111ta=2-（-1）=3,

故選：B.

22

【例3】（多選）（2024?河南開(kāi)封?三模）橢圓C:J^+3=1（機(jī)>0）的焦點(diǎn)為耳，B，上頂點(diǎn)為A,直

TT

線A［與C的另一個(gè)交點(diǎn)為8,若/片A8=§,則（）

A.C的焦距為2B.C的短軸長(zhǎng)為2后

C.C的離心率為"D.AAB與的周長(zhǎng)為8