機(jī)密★啟用前

北京市朝陽區(qū)高三年級第二學(xué)期質(zhì)量檢測二

數(shù)學(xué)試卷

考試時間：120分鐘滿分：150分

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項.

1.已知集合"={"必+兀＜0},集合8={也"叫，則集合AU3=（）

A.(-a),0]B.1)C.(-1,0)D.(-1,0]

2.若拋物線。：％2=町（%wO）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,-1）,則拋物線C的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=2B.x=lC.y=2D.y=l

3.已知〃=k)go5().2,6=0.5°,5,C=2°5,則()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

4.已知［必+工］的展開式中，第4項和第6項的系數(shù)相等，則〃=（）

A.7B.8C.9D.10

5已知函數(shù)"x）=|x|—|元—2|+1,則對任意實(shí)數(shù)無，有（）

A./(1-x)=2-/(1+%)B./(-%)=-/(%)-2

C./(2-x)=2+/(x)D./(2+x)=/(2—x)

6.在矩形ABCD中，A81AQ,AQ=2,A8=J5,點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)，鹿與AC交于點(diǎn)尸.設(shè)

?=+其中?分別是與荏，正方向相同的單位向量，則()

A」小—也——也」

A.h一馬,卜B._——^2_—

1J2,1,2

C.&=一，鼠=-----D,k=-,^=—

3■3t323

7.設(shè)aeR,則“sin2a="是"tana=G"的()

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.已知函數(shù)/(x)=x—d,曲線y=/(x)在點(diǎn)尸”,/。))。€(。,1))處的切線方程為丁=8(%),設(shè)函數(shù)

〃(幻=/(%)—g(x)，則C)

A.當(dāng)x>0時，h(x)>/;(0)B.當(dāng)尤<0時，h(x)<h(0)

C.當(dāng)x>0時，A(x)<0D.當(dāng)x<0時，A(x)>0

9.金剛石是由碳元素組成的單質(zhì)，具有極高的硬度，在工業(yè)中有廣泛的應(yīng)用，如圖1所示，組成金剛石的

每個碳原子都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何的角度，可以認(rèn)為4個碳原子分

布在一個正四面體的4個頂點(diǎn)A,B,C,D處,中間的碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置(點(diǎn)

E處)，如圖2所示，設(shè)=則E到平面A血的距離為()

A.當(dāng)4=1時，詈

J20251

B.當(dāng)巴=(-1)1時，詈<J

32025，

C當(dāng)%="(”+])時，則02025一邑025>0

D.當(dāng)4=(Q)時，。2025一$2025>—2Q25

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.若復(fù)數(shù)Z滿足Z-i=2+i,則|z|=.

12.已知等差數(shù)列｛a“｝滿足%+%=-8,%+/=8,貝|]。3+4=；設(shè)S“為｛4,｝的前〃項

和，則使S“〉0的〃的最小值為.

13.在VA3C中，a+c=2逐，且tanB=2,則sinB=；VA3C面積的最大值為

1-

14.若直線y=與雙曲線C:V—記=1(6〉0)沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的一個取值為

15.設(shè)。>0,過原點(diǎn)。的直線(不與X軸重合)與圓4：%2+。一。)2="2交于點(diǎn)尸與直線y=2a交于點(diǎn)

Q.過點(diǎn)尸作為軸的平行線，過點(diǎn)。作無軸的垂線，這兩條直線交于點(diǎn)M(x,y),稱y為X的箕舌線函數(shù)，

記作y=/(x),給出下列四個結(jié)論：

①函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

②若看<々，則/(%)>/(%)；

③設(shè)函數(shù)"(x)=xf(x),則〃(x)的最大值為2a2;

④設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+x2,則g(x)的最小值為2a.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx+2cos2x-1.

(1)求了(%)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x-9)[。＜夕＜]],再從條件①、條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已

知，使函數(shù)g。)存在且唯一，求g。)在區(qū)間0,y上的最大值和最小值.

7171

條件①：gO)區(qū)間-上單調(diào)遞增；

_44_

條件②：g(x)最大值為血；

條件③：gCO為偶函數(shù).

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

17.如圖，在三棱柱ABC—4與G中，底面?zhèn)让鍭CGA，側(cè)面ACG4是邊長為4的菱形，

4AC=120°,BC]=5,AB=3.

(1)求證：側(cè)面為矩形；

(2)求直線A/與平面3CC1與所成角的正弦值.

18.某電商平臺為了解用戶對配送服務(wù)滿意度，分別從A地區(qū)和B地區(qū)隨機(jī)抽取了500名和100名用戶

進(jìn)行問卷評分調(diào)查，將評分?jǐn)?shù)據(jù)按［40,50),［50,60),…，［90,100］分組整理得到如下頻率分布直方

圖:

(1)從A地區(qū)抽取的500名用戶中隨機(jī)抽取一名，求該用戶評分不低于60分的概率；

(2)從8地區(qū)評分為［80,100］的樣本中隨機(jī)抽取兩名，記評分不低于90分的用戶人數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望；

(3)根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，設(shè)A地區(qū)評分的平均值估計

為〃1，48兩地區(qū)評分的平均值估計為〃，比較〃1與〃的大小關(guān)系.(直接寫出結(jié)論)

22

19.已知橢圓E:J+2T=l(a〉6〉0)的焦距為2,且過點(diǎn)(0,?).

ab~

(1)求橢圓E方程；

(2)設(shè)直線y=Ax+2(左＜0)與橢圓￡交于不同的兩點(diǎn)A,B,直線丁=兀與直線A3交于點(diǎn)N,若

ZAON=ZBON(。是坐標(biāo)原點(diǎn))，求上的值.

20.已知函數(shù)y(x)="In?1(a20).

(1)若a=0,求函數(shù)/(%)在區(qū)間［L+s)上的最大值；

(2)若了(“在區(qū)間(0,1)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，求。的取值范圍；

(3)若/(%)存在極值點(diǎn)%,且/(%)=1，求。的值.

21.已知｛%｝是無窮正整數(shù)數(shù)列，且對任意的“23,a“+i=card｛用以左e｛l,2,…，研，其中cards

表示有窮集合S的元素個數(shù).

(1)若q=2,4=3,&=2，求%的所有可能取值；

⑵求證：數(shù)列{4}中存在等于1的項；

(3)求證：存在/eN*，使得集合kwN*|4="為無窮集合.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項.

1.已知集合A3集合8={也'叫，則集合AU3=()

A.(-a),0]B.1)C.(-1,0)D.(-1,0]

【答案】A

【解析】

【分析】首先，求解集合A3中關(guān)于x的不等式，然后求解A,3的并集.

【詳解】對于集合A,/+為<。，化簡得％(x+l)<0,所以—1〈尤<0.

所以集合4=5|—1<%<0}.

對于集合8,2,<1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得xWO.

所以集合3={x|xW0}.

所以AD5={X|XW0}.

故選：A.

2.若拋物線。：％2=町(加。0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1),則拋物線C的準(zhǔn)線方程為()

A.x=2B.x=lc.y=2D.y=1

【答案】D

【解析】

【分析】由拋物線方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)直接求出準(zhǔn)線方程.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€。：％2=切(根。0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,—1),

所以拋物線方程為/=—4y,

準(zhǔn)線方程為y=l.

故選：D

3.已知a=logos0.2,/?=0.5°',c=2°，,貝ij()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及塞函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

05

【詳解】a=log050.2>log。$0.25=2>2=c,

又y=%05在（0,+。）上為增函數(shù)，

所以人=0.5°5<2°5=c，

綜上，b<c<a,

故選：D

4.已知（犬+工］的展開式中，第4項和第6項的系數(shù)相等，則〃=（

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】

【分析】由小=c，廠即C：=c：,利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.

根據(jù)題意有C：=c：,由組合數(shù)的性質(zhì)有”=8.

故選：B.

5.已知函數(shù)/'0:)=1尤IT龍一21+1,則對任意實(shí)數(shù)x,有()

A./(1-x)=2-/(l+x)B./(-%)=-/(%)-2

C./(2-x)=2+/(x)D./(2+x)=/(2—x)

【答案】A

【解析】

【分析】寫出分段函數(shù)，作出圖象，由圖象得出對稱性判斷AB,取特殊值判斷CD.

—1,x<0

［詳解］因?yàn)?(x)=NTX—2|+1=<2%-1,0<X<2,

3,x>2

作出函數(shù)圖象，如圖，

由圖象可知，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（U）中心對稱，故A正確；

圖象不關(guān)于點(diǎn)（0,-1）對稱，故B錯誤；

當(dāng)x=l時，/（2-1）=1^2+/（1）=3,故C錯誤；

令x=—l,則/（2—1）=1//（3）=3,故D錯誤.

故選：A

6.在矩形ABCD中，A81AQ,AQ=2,A8=J5，點(diǎn)E為線段的＞的中點(diǎn)，3E與AC交于點(diǎn)凡設(shè)

Q=+其中分別是與荏，正方向相同的單位向量，則（）

A.k=-,k=—B.=—,k=-

x2123

13~333

1,J2,1,2

c.k[=一，鼠=---D.k=-,^=—

3-3x323

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量加法運(yùn)算和共線運(yùn)算，可用來表示/=去,+^￡,然后利用平面向量基本定理

即可確定選項.

DC

【詳解】E

AB

APAJ711

在矩形ABC。中，因?yàn)辄c(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，所以一=——=-^AF=-AC,

FCBC23

則有衣=；恁=；（順+而）=；通

因?yàn)锳。=2,AB=J5,分別是與W反布方向相同的單位向量，

所以:W=2￡^=夜冢，

^AF=-AB+-AD=^el+-^，

3333

又因?yàn)?=勺1+左2段（勺,左2wR），所以&=￥，&=g，

故選：B.

7.設(shè)aeR,則“sin2a=且”是“tana=6”的（）

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系化弦為切，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即

可得解.

■、斗加、..c2sin（7cos6/2tanaA/3

【詳角?！坑蓅m2a=---------=——-----=——，

sina+cosatana+12

得V3tan2。一4tana+6=6,解得tana=6或tana=,

3

,公用.c2sin6/cost/2tan。26百

由tan。=，倚sinla-——----------=——------=-----=——，

sin\z+cosatana+13+12

所以“sin2a=走”是“tana=也”的必要不充分條件.

2

故選：B.

8.已知函數(shù)/(x)=x—d,曲線y=/(x)在點(diǎn)尸""⑺)Qc(O,l))處的切線方程為y=g(x),設(shè)函數(shù)

h(x)=f(x)-g(x),則()

A.當(dāng)龍>0時，/?(%)>力(0)B.當(dāng)x<0時，h(x)<h(0)

C.當(dāng)x>0時，A(x)<0D.當(dāng)x<0時，//(%)>0

【答案】c

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得曲線的切線方程g(x)=r-r+(1-31)(X-力，根據(jù)題意，得到

/z(x)=—1+3"—2汽求得〃(x)=-3(x+r)(xT),求得函數(shù)人⑺的單調(diào)性與最值，結(jié)合選項，即可

求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=x—/，可得/'(x)=l—3必，可得/")=1—3產(chǎn),/?)=?—廣，

所以曲線y=/(X)在點(diǎn)P(Z,/(O)處的切線方程為：g(x)=/⑺+/'⑺(X—。=/—/+(1—3r)(x-o,

又由h(x)=/(x)—g(x)=(x—d)—上—「+(1—3r)(x—力=-X3+3t2x-2t3,

因?yàn)橥?x)=/(x)-g(x)=-x3+3t2x-2t3--(x7)2(x+2t),其中0</<1,

若x>0時，h'(x)=-3%2+3t2=-3(%+t)(x-t),其中0<f<l,

當(dāng)xe(0,f)時，h'(x)>0,函數(shù)力(九)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(/,+oo)時,h'(x)<0,函數(shù)&(%)單調(diào)遞減,

所以〃(Mmax=〃⑺=一/+3/一2/=0,所以〃(九)40，

又由丸(0)=—2-，且可2/)=-4/<力(0),即〃(%)>〃(0)不恒成立，

所以C正確，A不正確;

若x<0時，〃'(x)=-3(x+/)(x-/),其中0</<1,

當(dāng)xe(—8,T)時,h'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(T,O)時，〃(x)>0,函數(shù)/l(x)單調(diào)遞增，

所以雙X)而n=■—/)=—4產(chǎn)<0,所以入⑺20不恒成立，

又由丸(0)=-2t3,丸(―3。=16?,此時〃(—3。>A(o),所以//*)<"(0)不恒成立，

所以B、D均不正確.

故選：C.

9.金剛石是由碳元素組成的單質(zhì)，具有極高的硬度，在工業(yè)中有廣泛的應(yīng)用，如圖1所示，組成金剛石的

每個碳原子都與其相鄰的4個碳原子以完全相同的方式連接.從立體幾何的角度，可以認(rèn)為4個碳原子分

布在一個正四面體的4個頂點(diǎn)A,B,C,。處，中間的碳原子處于與這4個碳原子距離都相等的位置(點(diǎn)

E處)，如圖2所示，設(shè)=則E到平面A3。的距離為()

—a

9

【答案】C

【解析】

【分析】沿四面體的兩條側(cè)棱和高,切出一塊幾何體如下圖，計算所需線段長度，即可得解.

【詳解】沿四面體的兩條側(cè)棱和高,切出一塊幾何體如下圖,

A

B

O是頂點(diǎn)A在下底面的射影，石是正四面外接球的球心，A0是正四面體的高，是下底面的外接圓半

徑，區(qū)4=班=石C=H是球的半徑，

則2。3=^^,解得03=1。，

sin6003

2

在RIAAOB中，AO=J?-a=a，

在中，OE2=BE2-OB2，

即(OA_R)2=R2_OB2,即1，=R2_y,

解得R=《ta，

所以O(shè)E=OA-R=^-a-^-a=^-a，

3412

由于E到正四面體各面的距離相等，則E到平面A血的距離為二2a.

12

故選：C

10.設(shè)無窮數(shù)列｛4｝的前W項和為s“，定義％='±苦二七&(4=1,2,3,…)，則()

當(dāng)4=1時，警1

B.當(dāng)4=(一1產(chǎn)時，泮＜不

Docx乙

C當(dāng)"〃"一+1）時'則02。25-^2025>°

D.當(dāng)％=j時，°-2025一$2025>—2025

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)選項不同的通項公式，求出s“與巴一逐一驗(yàn)證即可.

【詳解】對于A選項：當(dāng)g=1時,

左(4+1)

Sn=n，9==浮，二52025=2025,5。25=筍，?.箸1〉；‘不正確;

」》2025」

對于B選項：當(dāng)4=(-1)"T時，S”在〃為奇數(shù)時為1,偶數(shù)時為0,故

1013“0251

^2025=1，O2025------，------->一不正確;

2025S20252

對于C選項：當(dāng)4=拓匕時，

。〃1、/1、/1、11nc2025

"223nn+\n+1zi+120252026

一nn+1

又——-<——-，所以

n+1n+2

12k122025202520252025

—I----F…-I----------—I-----F…-I------------\----------+,,,+---------

_=23-+1_=232026<202620262026c二2025??。2025<*^2025，

卜=I烏必=^252025=2026；

不正確；

對于D選項:

2024+]

十22025

S=1—-—S=1———n

12?5202522025520252025~

120261

--------1>

20252025x22025-----2025

故選：D.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.若復(fù)數(shù)z滿足z-i=2+i,則|z|=

【答案】75

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法可求得z=l-2i,結(jié)合模長公式運(yùn)算求解.

2+i(2+i)Gi)

【詳解】因?yàn)閦-i=2+i,所以z=—=l-2i

1i(-i)

所以閆=Ji3+(—2)2=-

故答案為：y/5

12.已知等差數(shù)列｛4｝滿足%+。2=-8,%+/=8,貝1］。3+。4=；設(shè)S”為｛?！埃那啊?/p>

和，則使s“>0的〃的最小值為.

【答案】①.0②.7

【解析】

（、2a+d=—8

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，根據(jù)條件得到Ll,。，從而得到%,=2〃-7,即可求出

+yd-o

%+%的值，再利用等差數(shù)列的前〃項和公式，即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由％+%=—8,%+為=8,

2ald——8/、/、

得到L,°，解得4=一5,1=2,所以4=4+("-1)2=-5+2(〃-1)=2〃一7,

2〃]+9d-o

貝|/+%=2x3—7+2x4—7=0,

又S"=小H="+；”7）“6）〉O,得到"6或〃<。（舍）,

又〃eN*，所以使S,〉0的〃的最小值為7,

故答案為：0,7.

13.在VA3C中，o+c=2j?，且tan5=2,則sin8=；VA3C面積的最大值為

①.空

【答案】②.

5

【解析】

【分析】利用同角公式列式求出sin8；利用三角形面積公式及基本不等式求出最大值.

【詳解】在VABC中，由tanB=2,得sinBuZcosB〉。，而sin25+cos?5=1，所以

,2A/5

sinBD=----；

5

NABC的面積SvMe=^acsinB=^-ac<^（￡±￡）2=非,當(dāng)且僅當(dāng)。=C=J?時取等號，

所以NABC面積的最大值為小.

故答案為：2,；出

5

12

14.若直線y=—x與雙曲線C：V-二=1（6〉0）沒有公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的一個取值為

3b~

【答案】3（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)求出》的范圍，進(jìn)而求出離心率的范圍，在該范圍內(nèi)取一個值即可.

21

【詳解】。：丁―斗=13〉0）的漸近線為y=±7尤，且焦點(diǎn)在y軸上，

bb

由題知：因Z?>0,解得0</?W3,

3b

所以離心率e=9=Jl+（2y=J1+/,

aVa

故離心率的一個取值可以為3.

故答案為：3（答案不唯一）.

15.設(shè)。＞0,過原點(diǎn)。的直線(不與無軸重合)與圓A：f+(y—。)2=/交于點(diǎn)尸與直線＞=2.交于點(diǎn)

Q.過點(diǎn)尸作X軸的平行線，過點(diǎn)。作無軸的垂線，這兩條直線交于點(diǎn)M(x,y),稱y為X的箕舌線函數(shù)，

記作y=/(X),給出下列四個結(jié)論：

①函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

②若X]＜々，則/㈤＞/(七)；

③設(shè)函數(shù)丸(x)=j/(x),則〃(龍)的最大值為2a2；

④設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+x2,則g(x)的最小值為2a.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【解析】

【分析】設(shè)。(七,2a),聯(lián)立直線和圓的方程，求出尸點(diǎn)縱坐標(biāo)即可得出/(九)解析式，根據(jù)函數(shù)的奇

偶性可判斷①，對〃力求導(dǎo)，求出〃力的單調(diào)區(qū)間，可判斷②，對于③，分工＜0,無＞。，再利用基本

不等式，即可求解；對于④，根據(jù)條件得g(%)=T^+d+4〃2—4",令/=爐+4〃224〃2,則

%+4〃

父〃3

y=t+--4a2,利用其單調(diào)性，即可求解.

【詳解】圓d+(y—。)2=片的圓心(0,。)在y軸上，設(shè)圓A與y的另一個交點(diǎn)為8,

/、2a

設(shè)。(x0,2a),當(dāng)點(diǎn)。不與點(diǎn)8重合時，直線的方程為＞=——％

X。

2a

y=——x

冗°8〃8a§

聯(lián)立x2+y2-lay=0,解得y=—/方，所以尸點(diǎn)縱坐標(biāo)為力=一―,此時點(diǎn)加

A。尤：+4〃

(8a3]

父〃3父3

當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)5重合時，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)也滿足丁=丁,所以/(%)=102

%+4〃冗+4〃

父〃3

對任意的xeR,9+4/>o,所以〃x)=1°的定義域?yàn)镽,

')x2+4?2

對于命題①，因?yàn)?(2^8/

2上42=/(%)，所以“X)是偶函數(shù)，故①正確;

X十4。

-16〃%

對于命題②，因?yàn)?'(x)=T,當(dāng)無＜0時，/'(尤)＞0,即〃力在區(qū)間(0,+")上單調(diào)遞增,

/+4〃

所以當(dāng)王，W?0，+°°)時，若石＜々，貝!I/(%)＜/(%),所以②錯誤,

區(qū)〃3

對于命題③,h(x)=xf{x}--........y,因?yàn)椤?gt;0,當(dāng)％VO時，/z(%)W。,

x+4。

力(%)-T74〃

當(dāng)工＞。時,4a2,又x+——>2用=4a,當(dāng)且僅當(dāng)了=宜，即尤=2。時取等號,

X+----XX

X

8a38a3

所以心)=_______<_____—2

4/一4〃一，故③正確,

%+---

x

區(qū)〃3

對于命題④，g(x)=f(x)+x2=—------+x2+4tz2-4a2,^t=x2+4a2>4a2>

x+4a

El8/2易知y=f+%—4a2在區(qū)間（0,屈）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（J彳,+"）上單調(diào)遞

則y=1H------4〃,

增,

/]]_____o33

若應(yīng)/>4a2即Qe0,_時，v.=,8/——4片=4y/^a2—4^z2,

I2j屈

即當(dāng)〃￡o,g時，g（x）的最小值為40aL4a2,所以④錯誤,

故答案為：①③.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1.

（1）求了（%）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=/（x-。）0<9<],再從條件①、條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已

知，使函數(shù)g（x）存在且唯一，求g。）在區(qū)間0,y上的最大值和最小值.

7171

條件①：g（x）在區(qū)間-上單調(diào)遞增；

條件②：g（x）的最大值為&；

條件③：g（x）為偶函數(shù).

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

3兀兀

【答案】（1）最小正周期兀，單調(diào)遞增區(qū)間為一丁吟+尿（左eZ）

OO

（2）答案見解析

【解析】

【分析】(1)由兩角和的正弦公式化簡，再由正弦型函數(shù)的周期性、單調(diào)性求解；

(2)分別選擇條件后根據(jù)條件分析。的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求最值即可，若不

唯一，則放棄該條件的選擇.

【小問1詳解】

由題意得/(x)=sin2x+cos2x=+,

2兀

所以了(%)的最小正周期丁=——二兀，

2

JC兀兀

由-5+2kli<2x+—<—+2kli(keZ),

311jr

得-----\-kn<x<—+hi(keZ).

88

3兀7T

所以/CO的單調(diào)遞增區(qū)間為-k+械7+防r(左CZ).

OO

【小問2詳解】

選擇條件①：

由題意得g(x)=0sin-2夕+

3兀兀

由(1)可知g(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為----+H,—+HeZ).

88

兀7、兀

[--1—Fku+02-,

717184

由g(x)在區(qū)間-7,丁上單調(diào)遞增，得。

44371,71

---+kn+(p<——,

[8-------------4

71

解得(p=——hi(keZ).

8

jrJT

又因?yàn)閛<e<《，所以。=石.

28

從而g(x)=五sin2%存在且唯一，

2冗47r

當(dāng)OVX〈一時，042x4”，

33

所以當(dāng)2x=],即％=:時，/(x)取得最大值也；

當(dāng)2x=生，即工=女時，/(幻取得最小值—逅.

332

選擇條件②：

由題意得g(x)=0sin12x-2Q+：；

jrjr

函數(shù)最大值為a,則只需2x—2°+Z=2E+5，

由于無eR,故。的取值不唯一，故不符合題意，即不能選擇條件②；

選擇條件③：

由題意得g(x)=0sin12x-2Q+

jrjr

由g(尤)為偶函數(shù)可知-2(p+1=3+E也GZJ),

解得夕=————(A:EZ).

82

又因?yàn)閛<e<S，所以。=」.

28

從而g(%)—A/2sin=—y/2cos2x存在且唯一?.

當(dāng)0<X〈&時，042x4也，

33

所以當(dāng)2x=0,即x=0時，/(幻取得最小值—、反；

當(dāng)2》=兀，即x=］時，/(?取得最大值&.

17.如圖，在三棱柱A3C—4與G中，底面?zhèn)让鍭CG4,側(cè)面ACC14是邊長為4的菱形,

ZAiAC=12Q°,BCl=5,AB=3.

(1)求證：側(cè)面為矩形;

(2)求直線A3與平面BCq與所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)^2-

35

【解析】

【分析】(1)設(shè)AG中點(diǎn)為。，連接A。，由面面垂直的性質(zhì)定理得到底面ABC，再由

AB1ACX,人￡)人43得到43_1平面4。￡4,從而證得，A&即可；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角余弦值求解線面角正弦值即可.

【小問1詳解】

連接AC1，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危襈AAC=120°,

所以△ACC1為正三角形，從而A￡=4.

因?yàn)锳82+AC；=3。；，所以A3,AC「

設(shè)AC中點(diǎn)為。，連接AD，則

又AC〃AC「

所以AD_LAC.

因?yàn)榈酌鎮(zhèn)让鍭CGA,

底面ABCD側(cè)面CC]4=AC,

ADu側(cè)面ACG4,所以AD,底面ABC，而A5u平面ABC.

所以

又A81AG，AGnAD=A,ADu平面ACGA，A￡u平面ACG4，

所以A3,平面AC￡A，而A$u平面ACGA，

所以A3,Ad

又因?yàn)閭?cè)面ABB,A,為平行四邊形，

所以側(cè)面為矩形.

【小問2詳解】

(2)由(1)可知平面ACG4,所以A31AC.

所以A3,AC,AD兩兩垂直.

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則4(-2,2百,0),3(0,0,3),C(4,0,0),q(2,2石,0)?

所以“=(2,—26,3),CCX=(―2,26,0),CB=(T,0,3).

設(shè)平面3CG用的法向量為方=(再y,z),則

n-CC[=0,f-2x+273y=0,

<一.即V

n,CB=0.-4-x+3z=0.

令x=3,則2=4,y=6.所以〃=(3,省,4).

設(shè)直線A5與平面BCCXBX所成角為。，

所以.仙A'=3設(shè)E@=型而詞=中12=三6百

因此，直線43與平面3CG與所成角的正弦值為辿.

35

18.某電商平臺為了解用戶對配送服務(wù)的滿意度，分別從A地區(qū)和B地區(qū)隨機(jī)抽取了500名和100名用戶

進(jìn)行問卷評分調(diào)查，將評分?jǐn)?shù)據(jù)按［40,50),［50,60),…，［90,100］分組整理得到如下頻率分布直方

圖:

A%區(qū)

(1)從A地區(qū)抽取的500名用戶中隨機(jī)抽取一名，求該用戶評分不低于60分的概率;

(2)從8地區(qū)評分為［80,100］的樣本中隨機(jī)抽取兩名，記評分不低于90分的用戶人數(shù)為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望;

(3)根據(jù)圖中的樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，設(shè)A地區(qū)評分的平均值估計

為〃1，A,8兩地區(qū)評分的平均值估計為〃，比較〃1與〃的大小關(guān)系.(直接寫出結(jié)論)

【答案】(1)0.8

(2)分布列見解析；期望為工

3

(3)>〃

【解析】

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算概率即可;

(2)應(yīng)用超幾何分布計算概率，再寫出分布列，最后計算數(shù)學(xué)期望即可;

(3)根據(jù)頻率分布直方圖的特征得出平均值關(guān)系即可.

【小問1詳解】

設(shè)事件從A地區(qū)抽取500名用戶中隨機(jī)抽取一名，該用戶評分不低于.由頻率分布直方圖可知A地

區(qū)抽取的500名用戶中評分不低于的人數(shù)為500x(0.025+0.035+0.015+0.005)xl0=400,

所以「(“)=黑=0.8.

【小問2詳解】

8地區(qū)評分為［80,100］的樣本用戶共有100x(0.01+0.005)x10=15人,

其中評分不低于的人數(shù)為5人.

由題意可知，X的所有可能取值為0,1,2.

2

P(x=o)=qC=33,

C：57

11

P(X=1)=c^4C^=U10

C；521

C：2

P(X=2)T=—

氏21

所以X的分布列為:

X012

3102

P

72121

3in22

則X的數(shù)學(xué)期望EX=0＞＜三+l＞＜，+2x——=—

721213

【小問3詳解】

從＞〃.

19.已知橢圓E:=+==l（a〉6〉0）的焦距為2,且過點(diǎn)（0,6）.

ab~

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)直線y=Ax+2（左<0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,直線丁=兀與直線交于點(diǎn)N,若

ZAON=ZBON（。是坐標(biāo)原點(diǎn)），求人的值.

22

【答案】（1）土+匕=1

43

⑵左=—逅

3

【解析】

【分析】（1）由橢圓的幾何性質(zhì)易得結(jié)果；

（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，由A>0及左<0可得左<-；,設(shè)A（七,乂）,5（工2，%），由韋達(dá)定理得

JT

為+々,石々，由傾斜角的概念可得直線08的傾斜角a和直線的傾斜角夕滿足a+夕=5,從而直線

OA和OB的斜率kOA和kOB滿足kOA-kOB=1,代入石+々,\x2的值，化簡可得k的值.

【小問1詳解】

b=A/3,R

a=2.

由題意得＜2c=2,解得〈

2722[c=1?

a=b+c,

22

所以橢圓E的方程為土+匕=1.

43

【小問2詳解】

y=kx+2,

2

由＜xy2得（3+442）/+16丘+4=0.

I43

由4=256左2—4（3+4/卜4＞0得上2＞；.

又左＜0,所以左

2

設(shè)4（%，%），5（/，%），則%+%=,石當(dāng)=

J十Q：K：?3十'T：*/V

不妨設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)8上方，

7T

因?yàn)?AON