海南專升本高等數(shù)學(xué)考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(+\infty\)D.不存在3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y'\)為（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(x\)4.不定積分\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(3x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x^2+C\)5.已知函數(shù)\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，且\(f'(a)=2\)，則\(\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)等于（）A.1B.2C.4D.06.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=x-1\)C.\(y=3x-2\)D.\(y=2x+1\)7.函數(shù)\(y=\cosx\)的一個(gè)原函數(shù)是（）A.\(\sinx\)B.\(-\sinx\)C.\(\tanx\)D.\(-\tanx\)8.\(\int_{0}^{1}xdx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.09.設(shè)\(z=x+y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)等于（）A.0B.1C.\(x\)D.\(y\)10.方程\(x^2+y^2=1\)表示的圖形是（）A.拋物線B.橢圓C.圓D.雙曲線二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to+\infty}e^{-x}\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}\)3.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分條件有（）A.\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)B.\(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在C.\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等D.\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處的切線存在4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)B.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)C.\(\int_{0}^{1}e^xdx=e-1\)D.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)5.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)6.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處取得極值的必要條件是（）A.\(f'(x_0)=0\)B.\(f(x_0)\)為函數(shù)的最值C.\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)D.\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)7.設(shè)\(z=x^2y\)，則（）A.\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy\)B.\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^2\)C.\(dz=2xydx+x^2dy\)D.\(z\)是二元函數(shù)8.下列不等式成立的有（）A.當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(x\gt\ln(1+x)\)B.當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(e^x\gt1+x\)C.當(dāng)\(x\in(0,\frac{\pi}{2})\)時(shí)，\(\sinx\ltx\)D.當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(e^x\lt1+x\)9.以下哪些是求不定積分的方法（）A.直接積分法B.換元積分法C.分部積分法D.定積分法10.直線\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）與曲線\(y=f(x)\)相切，則（）A.\(k=f'(x_0)\)（\(x_0\)為切點(diǎn)橫坐標(biāo)）B.切點(diǎn)既在直線上也在曲線上C.直線斜率等于曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)D.\(b=f(x_0)-kx_0\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}\)的定義域?yàn)榭占?。（?.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在，\(\lim_{x\toa}g(x)\)不存在，則\(\lim_{x\toa}[f(x)+g(x)]\)不存在。（）3.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)。（）4.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)一定存在。（）5.函數(shù)\(y=x^2+1\)在\((-\infty,+\infty)\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）6.若\(f(x)\)在\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)為\(0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點(diǎn)。（）7.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處一定連續(xù)。（）8.\(\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(1-x)dx\)。（）9.函數(shù)\(y=\sinx\)的周期是\(2\pi\)。（）10.若\(f(x)\)為偶函數(shù)，則\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\frac{x^2+1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)。答案：將函數(shù)化為\(y=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}\)，根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx\)。答案：\(\int_{1}^{2}(x+\frac{1}{x})dx=(\frac{1}{2}x^2+\lnx)\big|_{1}^{2}=(\frac{1}{2}\times2^2+\ln2)-(\frac{1}{2}\times1^2+\ln1)=\frac{3}{2}+\ln2\)。3.求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極值點(diǎn)和極值。答案：\(f^\prime(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。\(f^{\prime\prime}(x)=6x\)，\(f^{\prime\prime}(1)=6\gt0\)，\(f(1)=-2\)為極小值；\(f^{\prime\prime}(-1)=-6\lt0\)，\(f(-1)=2\)為極大值。極值點(diǎn)為\(x=\pm1\)。4.設(shè)\(z=e^{xy}\)，求\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。答案：根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，\(\frac{\partialz}{\partialx}=ye^{xy}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=xe^{xy}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的單調(diào)性。答案：函數(shù)定義域?yàn)閈(x\neq\pm1\)。\(y^\prime=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\)。令\(y^\prime=0\)得\(x=0\)。當(dāng)\(x\lt-1\)和\(-1\ltx\lt0\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)遞增；當(dāng)\(0\ltx\lt1\)和\(x\gt1\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)遞減。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計(jì)算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式建立二者聯(lián)系。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果含常數(shù)\(C\)；定積分是數(shù)值，與積分區(qū)間有關(guān)，計(jì)算結(jié)果是確定值。3.討論多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全導(dǎo)數(shù)的區(qū)別。答案：偏導(dǎo)數(shù)是多元函數(shù)對(duì)某一個(gè)自變量求導(dǎo)，其他自變量視為常數(shù)；全導(dǎo)數(shù)針對(duì)復(fù)合函數(shù)，是因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，要考慮中間變量的影響，反映函數(shù)整體變化率，而偏導(dǎo)數(shù)是局部變化率。4.討論函數(shù)極限與數(shù)列極限的異同。答案：相同點(diǎn)：都描述自變量在某種變化趨勢(shì)下函數(shù)值或數(shù)列項(xiàng)的變化趨勢(shì)，都有極限唯一性等性質(zhì)。不同點(diǎn)：自變量變化方式不同，函數(shù)極限自變量連續(xù)變化，數(shù)列極限自變量離散變化；函數(shù)極限形式更多樣，有\(zhòng)(x\to\pm\infty\)，\(x\tox_0\)等，數(shù)列極限只有\(zhòng)(n\to+\infty\)