第1頁/共1頁2023-2025北京高三（上）期末數(shù)學(xué)匯編等差數(shù)列（人教B版）一、單選題1．（2025北京海淀高三上期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（

）A． B． C． D．2．（2025北京房山高三上期末）已知由正整數(shù)組成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶數(shù)的個(gè)數(shù).若.則的最小值為（

）A．5 B．7 C．9 D．103．（2025北京東直門中學(xué)高三上期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最大值為（

）A． B．3 C．9 D．364．（2024北京順義高三上期末）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，公差，，則（

）A．5 B．4 C．3 D．25．（2024北京豐臺高三上期末）在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅(jiān)韌、不屈的品質(zhì)．竹子在中國的歷史可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)代，早在新石器時(shí)代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了．竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等．現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積（單位：L）依次成等差數(shù)列，若，，則（

）A．5.4 B．6.3C．7.2 D．13.56．（2024北京石景山高三上期末）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．7．（2023北京通州高三上期末）等差數(shù)列中，，，則的通項(xiàng)為（

）A． B． C． D．8．（2023北京海淀高三上期末）已知為等差數(shù)列，，.若數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．二、填空題9．（2025北京東城高三上期末）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．大衍數(shù)列中，對于，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且也是等差數(shù)列．已知，，則；的前9項(xiàng)和等于．10．（2024北京房山高三上期末）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則.11．（2024北京海淀高三上期末）已知無窮等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),公差為,則能使得為某一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的一組,的值為,.12．（2023北京通州高三上期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，為數(shù)列的前項(xiàng)積，滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③為等差數(shù)列；④.其中所有正確結(jié)論的序號是.三、解答題13．（2025北京通州高三上期末）定義：若正整數(shù)能表示成（為正整數(shù)且）的形式，則稱為“型數(shù)”，也稱具有“結(jié)構(gòu)”.若數(shù)列中的項(xiàng)均為“型數(shù)”，則稱數(shù)列為“型數(shù)列”.(1)寫出這四個(gè)數(shù)中的“型數(shù)”；(2)若為等差數(shù)列，且，，求證中任意一項(xiàng)均不為“型數(shù)”；(3)若數(shù)列，均為“型數(shù)列”，設(shè)，求證數(shù)列為“型數(shù)列”.14．（2024北京朝陽高三上期末）已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對于，定義集合，設(shè)為集合中的元素個(gè)數(shù)，若時(shí)，規(guī)定．(1)若，寫出及的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)集合，求證：且．15．（2024北京東城高三上期末）若有窮數(shù)列滿足：，則稱此數(shù)列具有性質(zhì).(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，求的值；(2)設(shè)數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，求證：數(shù)列A為等差數(shù)列；(3)把具有性質(zhì)，且滿足（為常數(shù)）的數(shù)列A構(gòu)成的集合記作.求出所有的，使得對任意給定的，當(dāng)數(shù)列時(shí)，數(shù)列A中一定有相同的兩項(xiàng)，即存在.16．（2023北京豐臺高三上期末）設(shè)為正實(shí)數(shù)，若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：，都有．則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否為數(shù)列：數(shù)列：3，5，8，13，21；數(shù)列：，，5，10．(2)若數(shù)列滿足且，是否存在正實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是數(shù)列？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．(3)若各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列是數(shù)列，且的前項(xiàng)和為150，求的最小值及取得最小值時(shí)的所有可能取值．17．（2023北京房山高三上期末）若對，，當(dāng)時(shí)，都有，則稱數(shù)列受集合制約.(1)若，判斷是否受制約，是否受區(qū)間制約；(2)若，受集合制約，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若記：“受區(qū)間制約”，：“受集合制約”，判斷是否是的充分條件，是否是的必要條件，并證明你的結(jié)論.

參考答案1．B【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以.故選：B2．B【分析】先排除有5個(gè)偶數(shù)不可能，再找一個(gè)有7個(gè)偶數(shù)的實(shí)例后可得正確的選項(xiàng).【詳解】45個(gè)正奇數(shù)的和不小于，因?yàn)橹杏?0個(gè)不同的正整數(shù)，故中不可能有不超過5個(gè)不同的偶數(shù).取，則中共有元素個(gè)數(shù)為，這個(gè)數(shù)的和為，故的最小值為7.故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于組合最值問題，我們一般先找到一個(gè)范圍，再驗(yàn)證臨界值存在即可.3．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到，即可得到，再由基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最大值為.故選：C4．C【分析】先由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求得，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解.【詳解】根據(jù)題意：，公差，可知，所以，所以即為：，解得：.故選：C5．B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式求解.【詳解】∵依次成等差數(shù)列，，∴，即，又，則.故選：B.6．C【分析】根據(jù)由求和公式得，再結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)性質(zhì)即可求解．【詳解】由題意，所以，故選：C．7．A【分析】根據(jù)已知條件求得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，從而求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，解得，所以.故選：A8．B【分析】求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，，，，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，因此，.故選：B9．12140【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用太極衍生原理由依次表示，進(jìn)而求出；再求出即可求出前9項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意，成等差數(shù)列，公差，由成公差為的等差數(shù)列，得，由成公差為的等差數(shù)列，得，而，即，解得，；，由成公差為的等差數(shù)列，得，所以的前9項(xiàng)和.故答案為：12；14010．【分析】由等差數(shù)列及其前項(xiàng)和的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)，則，即，故.故答案為：.11．11（答案不唯一）【分析】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,根據(jù)題意可得.根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得關(guān)于的方程,解方程即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則又是公差為的等差數(shù)列,即整理得由題知故滿足題意的一組,的值為,.（答案不唯一）故答案為：1;1（答案不唯一）12．①③④【分析】根據(jù)關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，即可求得的值；由得，當(dāng)時(shí)，可得，可證明為等差數(shù)列，即可求得，則可求得，則可判斷其他選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，解得或，又，所以，故，故①正確；因?yàn)?，可得，所以，?dāng)時(shí)，，所以，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，則，故④正確；所以，則，所以為等差數(shù)列，故③正確；當(dāng)時(shí)，，又不符合所以，故②不正確.故答案為：①③④.13．(1)7，21，28．(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“型數(shù)”概念直接寫出答案；（2）利用反證法分，均可以被3整除等七類討論即可；（3）分、和討論即可.【詳解】（1）7，14，21，28這四個(gè)數(shù)中的＂型數(shù)＂有7，21，28．；；.（2）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，且，所以有．所以．下面用反證法證明：假設(shè)存在N，使為＂T型數(shù)＂則有．①若，均可以被3整除，則一定被3整除，與矛盾．②若，則，與矛盾．③若，則與矛盾.④若，結(jié)論與②同．⑤若，結(jié)論與③同．⑥若，則與矛盾．⑦若，則結(jié)論與⑥同．綜上，中任意一項(xiàng)均不為＂T型數(shù)＂．（3）因?yàn)閿?shù)列均為＂T型數(shù)列＂，所以有為正整數(shù)且為正整數(shù)且不妨設(shè)，①當(dāng)時(shí)，則存在正整數(shù)以及既約分?jǐn)?shù)，使得則②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，則，由①②③可知為＂T型數(shù)＂，所以數(shù)列為＂T型數(shù)列＂．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用反證法，然后再合理分類討論.14．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意先分別求出，，，，則易得及的值；（2）由題可知，分析判斷時(shí)，與題設(shè)矛盾，推得；再假設(shè)存在使得，經(jīng)推理得出與是等差數(shù)列矛盾，可得，利用等差數(shù)列基本量運(yùn)算即得；（3）根據(jù)定義得到數(shù)列是遞增數(shù)列；用反證法證明，假設(shè)存在正整數(shù)，若，則推出，與假設(shè)矛盾，所以；，所以要證，只需證，且，能推出，所以，所以，所以結(jié)論成立.【詳解】（1）依題意，，，，，故得；（2）由題可知，所以，所以．若，則，所以，與是等差數(shù)列矛盾．所以．設(shè)，因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以．假設(shè)存在使得．設(shè)，由得．由得，與是等差數(shù)列矛盾．所以對任意都有．所以數(shù)列是等差數(shù)列，．（3）因?yàn)閷τ冢裕?，即?shù)列是遞增數(shù)列．先證明．假設(shè)，設(shè)正整數(shù)．由于，故存在正整數(shù)使得，所以．因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以．所以．所以．又因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以，矛盾．所以．再證明．由題可知．設(shè)且，因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以存在正整數(shù)，使得．令．若，則，即，所以．所以，所以．若，則，所以．所以，所以．因?yàn)?，所以．所以．綜上，且．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查集合新定義問題，屬于難題.對于集合新定義問題的解題策略，首先，要明確新定義的特點(diǎn)；其次，根據(jù)定義中的步驟對具體題目進(jìn)行推理和運(yùn)算，最后得到結(jié)論.15．(1)2；2；4(2)證明見詳解(3)【分析】（1）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義可得；（2）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義和等差數(shù)列的定義可得.（3）分、和三種情況討論即得.【詳解】（1）由已知可得數(shù)列共有5項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，有，所以，（2）數(shù)列A具有性質(zhì)，且為奇數(shù)，令，可得，設(shè)，由于當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，所以這項(xiàng)均為數(shù)列A中的項(xiàng)，且，因此一定有即，這說明：為公差為的等差數(shù)列，再數(shù)列A具有性質(zhì)，以及可得，數(shù)列A為等差數(shù)列；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)A：，，，，，由于數(shù)列具有性質(zhì)，且滿足，由和，得，當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，此時(shí)：，，此時(shí)結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，同理可證，所以結(jié)論成立.當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，反例如下：當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，反例如下：綜上所述，符合題意.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.16．(1)數(shù)列是，數(shù)列不是；(2)不存在，理由見解析；(3)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)定義驗(yàn)證是否恒成立，即可判斷；（2）假設(shè)存在，則由已知可推得.當(dāng)時(shí)，，這與假設(shè)矛盾，所以不存在；（3）根據(jù)已知推出，進(jìn)而推出，，，，相加可推得.根據(jù)基本式，結(jié)合題意可得的最小值不小于30.進(jìn)而得出的范圍，得到所有可能的整數(shù)解.分情況討論，得出數(shù)列，即可得到的所以可能的取值.【詳解】（1）根據(jù)定義，數(shù)列應(yīng)滿足，都有，即恒成立.對于數(shù)列：有，，，均滿足，所以數(shù)列是數(shù)列；對于數(shù)列，因?yàn)椴粷M足，所以數(shù)列不是數(shù)列.（2）不存在正實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是數(shù)列.說明理由如下：假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是數(shù)列，則，都有，即恒成立.因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，這與假設(shè)矛盾.所以，不存在正實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是數(shù)列.（3）因?yàn)閿?shù)列是數(shù)列，所以.所以，所以，，，，，，所以，即，所以.所以，因?yàn)閿?shù)列是整數(shù)列，所以的最小值不小于30.假設(shè)，必有，解得，因?yàn)椋钥扇?，10，11，12.當(dāng)時(shí)，，存在滿足條件的數(shù)列.，，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，，存在滿足條件的數(shù)列.，，，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，，存在滿足條件的數(shù)列.，，，，，，，，，，；當(dāng)時(shí)，，存在滿足條件的數(shù)列.，，，，，，，，，，，.以上都是的充分條件.所以的最小值為30，此時(shí)的所有可能的取值為，，20，.17．(1)受制約，不受制約，理由見解析(2)且.(3)是的充分不必要條件，證明見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列新定義，判斷、且是否有成立即可判斷；（2）由題設(shè)可得，利用等差數(shù)列的定義寫出的通項(xiàng)公式；（3）由新定義判斷、的推出關(guān)系，結(jié)合充分、必要性的定義得到結(jié)論.【詳解】（1）由、且，則，而，顯然，則