02線段的折疊及動(dòng)點(diǎn)模型一、單選題1．如圖，點(diǎn)、分別為線段（端點(diǎn)A、除外）上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，圖中所有線段的和等于60cm，且，則的長(zhǎng)度是（

）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm【答案】A【詳解】∵圖中所有線段的和等于60cm，∴，∴．∵，∴，解得：．故選A．2．如圖，數(shù)軸上、兩點(diǎn)的距離為4，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)（，是整數(shù)）處，問(wèn)經(jīng)過(guò)這樣2020次跳動(dòng)后的點(diǎn)與點(diǎn)的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由于OA＝4，所以第一次跳動(dòng)到OA的中點(diǎn)A1處時(shí)，OA1＝OA＝×4＝2，同理第二次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A2處，離原點(diǎn)的（）2×4處，同理跳動(dòng)n次后，離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為（）n×4＝，則2020次跳動(dòng)后的點(diǎn)與點(diǎn)的距離是故選：A．3．如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為4，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M，N始終為AP，BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，則下列結(jié)論中正確的有（

）①B對(duì)應(yīng)的數(shù)是2；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，；③時(shí)，；④在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度不變．A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④【答案】D【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為4，且，∴，∴，∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是2，故①錯(cuò)誤；由題意得：6÷2=3（秒），∴點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，t=3，故②正確；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，∵AB=6，BP=2，∴，∴4÷2=2（秒），∴BP=2時(shí)，t=2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，∵AB=6，BP=2，∴，∴8÷2=4（秒），∴BP=2時(shí)，t=4，綜上所述，BP=2時(shí)，t=2或4，故③錯(cuò)誤；分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴，，∴，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，，，∴，∴在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度不變，故④正確．所以，上列結(jié)論中正確的是②④．故選：D．4．已知點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，若，點(diǎn)N是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則的（

）A． B． C．1或 D．或2【答案】C【詳解】當(dāng)N在射線BA上時(shí)，，不合題意當(dāng)N在射線AB上時(shí)，，此時(shí)當(dāng)N在線段AB上時(shí)，由圖可知∴，∴∵∴∴∴故選：C．5．如圖，已知，（在的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，，始終為，的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）秒，則下列結(jié)論中正確的有()①點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是；②點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，；③時(shí)，；④在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度不變．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)【答案】C【詳解】解：設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，且，，，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，故①正確；由題意得：（秒），點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，故②正確；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，，，，（秒），當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，，，，（秒），綜上，時(shí)，或；故③錯(cuò)誤；，始終為，的中點(diǎn)，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度不變，故④正確；所以，上列結(jié)論中正確的有個(gè)，故選：C．6．如圖，已知線段AB＝16cm，點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，則DE的長(zhǎng)（）A．4cm B．8cm C．10cm D．16cm【答案】B【詳解】∵點(diǎn)D、E分別是AC和BC的中點(diǎn)，∴DE＝DC+CE＝AC+BC＝AB而AB＝16cm，∴DE＝×16＝8（cm）．故選：B．7．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面積是16，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于點(diǎn)E、F，若點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】C【詳解】解：連接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴，解得：AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴MA＝MC，∵AD≤AM＋MD，∴AD的長(zhǎng)為CM＋MD的最小值，∴△CDM的周長(zhǎng)最短＝（CM＋MD）＋CD＝AD＋BC＝8＋×4＝8＋2＝10．故選：C．8．如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN=20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和(

)A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵，分別為的中點(diǎn)，∴，∵分別為的中點(diǎn)，∴，根據(jù)規(guī)律得到，∴，故選A.二、填空題9．如圖所示，已知的周長(zhǎng)為，，在邊、上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，它們同時(shí)從點(diǎn)分別向終點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)，速度分別為每秒個(gè)單位和個(gè)單位，運(yùn)動(dòng)時(shí)間后，．【答案】12－3t【詳解】由題意得：AP=2t，AQ=t，∴12APAQ=12－3t，故答案是：12－3t．10．如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①圖中的點(diǎn)D，P，C，E都是動(dòng)點(diǎn)；②ADBE；③AB=2DE；④當(dāng)AC=BC時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合．其中正確的是．（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）【答案】①③④【詳解】解：①∵點(diǎn)C是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），點(diǎn)D，E，P分別是線段AC，BC，DE的中點(diǎn)，∴D、E隨著C的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P隨著D、E的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此，隨著C的運(yùn)動(dòng)，D、P、E都在動(dòng)，∴本選項(xiàng)正確；②∵∴當(dāng)C點(diǎn)在AB中點(diǎn)左邊（不含中點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于AC<BC，∴AD<BE，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；③由題意可知：，∴，即AB=2DE，∴本選項(xiàng)正確；④由③可知，當(dāng)AC=BC時(shí)，DC=EC，所以C為DE中點(diǎn)，又P也為DE中點(diǎn)，∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，∴本選項(xiàng)正確．故答案為①③④．11．已知點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，若，點(diǎn)N是直線上的一動(dòng)點(diǎn)，且，則．【答案】1或【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)N在線段上，如圖：

，，，，，，；當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上，如圖：

，，，，綜上所述：的值為1或，故答案為：1或．12．已知，為數(shù)軸上從原點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)每秒1個(gè)單位，點(diǎn)的速度為點(diǎn)的2倍，則當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，和兩條線段的中點(diǎn)相距個(gè)單位．【答案】2或6【詳解】（1），同向運(yùn)動(dòng)由題意得，∴和兩條線段的中點(diǎn)相距（2），反向運(yùn)動(dòng)由題意得，∴和兩條線段的中點(diǎn)相距故答案為：和兩條線段的中點(diǎn)相距2或6個(gè)單位．13．長(zhǎng)度為的線段的中點(diǎn)為M，C是線段上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)C到線段兩端點(diǎn)的長(zhǎng)度之比為，則線段的長(zhǎng)度為．【答案】或【詳解】∵線段的中點(diǎn)為M，，∴，∵點(diǎn)C到線段兩端點(diǎn)的長(zhǎng)度之比為，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，∴；∴的長(zhǎng)度為或．故答案為：或．

14．如圖：數(shù)軸上點(diǎn)A、B、D表示的數(shù)分別是，，1，且點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)E在數(shù)軸上，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，P、Q為數(shù)軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)B向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q從點(diǎn)D向左運(yùn)動(dòng)，速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．有下列結(jié)論：①若點(diǎn)E表示的數(shù)是3，則；②若，則；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)；其中正確的有．(填序號(hào))

【答案】①③/③①【詳解】解：①若點(diǎn)E表示的數(shù)是3，∵點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，D表示的數(shù)是1，∴，即F表示的數(shù)是2，∵數(shù)軸上點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是?9，?1，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為，∴，故①正確；②若，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，則點(diǎn)E表示的數(shù)是4，∵點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，∴，即F表示的數(shù)是，∴，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，則點(diǎn)E表示的數(shù)是，∵點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，∴，即F表示的數(shù)是，∴，綜上，或，故②不正確；③當(dāng)時(shí)，，∵B、D表示的數(shù)分別是，1，∴P、Q表示的數(shù)分別是，∴，故③正確；④當(dāng)時(shí)，，，∴P、Q表示的數(shù)分別是，，∵點(diǎn)P在D、Q的左側(cè)，不可能是線段的中點(diǎn)，故④不正確；故答案為：①③．15．如圖，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為4，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)，，，…，處，那么線段的長(zhǎng)度為．

【答案】【詳解】解：由于所以第一次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處時(shí)，，同理第二次從點(diǎn)跳動(dòng)到處，離原點(diǎn)的處，第三次從點(diǎn)跳動(dòng)到處，離原點(diǎn)的處，，跳動(dòng)n次后，離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為，故線段的長(zhǎng)度為．故答案為：．16．如圖，甲、乙兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)分別從正方形的頂點(diǎn)、同時(shí)沿正方形的邊開(kāi)始移動(dòng)，甲點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较颦h(huán)形運(yùn)動(dòng)，乙點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较颦h(huán)形運(yùn)動(dòng)．若甲的速度是乙的速度的倍．則它們第次相遇在邊上．【答案】AB【詳解】每次相遇的位置依次是：DC、AD、BA、BC，依此循環(huán).故它們第2019次相遇位置與第三次相同，在AB邊上.三、解答題17．如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，厘米，點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的速度為1厘米/秒，點(diǎn)的速度為2厘米/秒．點(diǎn)分別從點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)相向出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng)秒：（1）求兩點(diǎn)剛好重合時(shí)的值；（2）當(dāng)兩點(diǎn)重合后繼續(xù)沿原來(lái)方向前進(jìn)，求相距6厘米時(shí)的值；（3）當(dāng)點(diǎn)離點(diǎn)的距離為2厘米時(shí)，求點(diǎn)離點(diǎn)的距離．【答案】（1）4秒；（2）6秒；（3）7厘米或者5厘米【詳解】（1）因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．由題意，得：t+2t=12，解得t=4（秒）；（2）因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．方法一：2（t4）+（t4）=63t12=6t=6（秒）方法二：t=（12+6）÷（2+1）t=6（秒）（3）當(dāng)點(diǎn)Q離A點(diǎn)的距離為2厘米時(shí)，分兩種情況：①點(diǎn)Q在A點(diǎn)的右邊，如圖所示：因?yàn)锳B=12cm此時(shí)，t=(122)÷2=5，P點(diǎn)經(jīng)過(guò)了5厘米，點(diǎn)P離B點(diǎn)的距離為7厘米；②點(diǎn)Q在A點(diǎn)的左邊，如圖所示：因?yàn)辄c(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了(12+2)÷2=7(秒)此時(shí)，t=7，P點(diǎn)經(jīng)過(guò)了7厘米，所以點(diǎn)P離B點(diǎn)的距離為127=5(厘米)．綜上所說(shuō)，點(diǎn)P離B點(diǎn)的距離為7厘米或者5厘米．18．已知，一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開(kāi)始．先向左移動(dòng)6cm到達(dá)A點(diǎn)，再?gòu)腁點(diǎn)向右移動(dòng)10cm到達(dá)B點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．（1）點(diǎn)C表示的數(shù)是；（2）若點(diǎn)A以每秒2cm的速度向左移動(dòng)，同時(shí)C、B兩點(diǎn)分別以每秒1cm、4cm的速度向右移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒，①運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)C表示的數(shù)是（用含有t的代數(shù)式表示）；②當(dāng)t＝2秒時(shí)，CB?AC的值為．③試探索：點(diǎn)A、B、C在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段CB與AC總有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．【答案】（1）1；（2）①﹣1+t；②121；③線段CB與AC相等，理由詳見(jiàn)解析．【詳解】解：（1）∵一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開(kāi)始，先向左移動(dòng)6cm到達(dá)A點(diǎn)，再?gòu)腁點(diǎn)向右移動(dòng)10cm到達(dá)B點(diǎn)，∴點(diǎn)A表示﹣6，點(diǎn)B表示﹣6+10＝4，又∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為＝﹣1，故答案為：﹣1．（2）①∵點(diǎn)C表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，∴運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣1+t，故答案為：﹣1+t；②由題可得，當(dāng)t＝2秒時(shí)，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣6﹣2×2＝﹣10，點(diǎn)B表示的數(shù)為4+4×2＝12，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣1+2＝1，∴當(dāng)t＝2秒時(shí)，AC＝11，BC＝11，∴CB?AC＝121，故答案為：121；③點(diǎn)A、B、C在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段CB與AC相等．理由：由題可得，點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣6﹣2t，點(diǎn)B表示的數(shù)為4+4t，點(diǎn)C表示的數(shù)是﹣1+t，∴BC＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝5+3t，AC＝（﹣1+t）﹣（﹣6﹣2t）＝5+3t，∴點(diǎn)A、B、C在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段CB與AC相等．19．如圖1，將一段長(zhǎng)為60厘米繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無(wú)彈性，折疊處長(zhǎng)度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊．（1）若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在處．①如圖2，若恰好重合于點(diǎn)O處，MN=cm，②如圖3，若點(diǎn)落在的左側(cè)，且=20cm，求MN的長(zhǎng)度；③若=ncm，求MN的長(zhǎng)度．（用含n的代數(shù)式表示）（2）如圖4，若將繩子AB沿N點(diǎn)折疊后，點(diǎn)B落在處，在重合部分N上沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3：4：5，直接寫(xiě)出AN所有可能的長(zhǎng)度．【答案】（1）①30，②40cm，③cm或cm；（2）25cm或27.5cm或32.5cm或35cm．【詳解】解：（1）①M(fèi)N=MO+NO=AO+BO=AB=30；②因?yàn)锳B=60cm，A′B′=20cm，所以AA′+BB′=ABA′B′=6020=40cm．根據(jù)題意得，M、N分別為AA′、BB′的中點(diǎn)，所以AM=，BN=．AM+BN=+==cm．所以MN=AB–（AM+BN）=6020=40cm．③因?yàn)镸、N分別為AA′、BB′的中點(diǎn)，所以AM=，BN=．（ⅰ）如圖，若點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的左側(cè)，AA′+BB′=ABA′B′=(60–n)cm．AM+BN=+==cm．所以MN=AB–（AM+BN）=cm．（ⅱ）如圖，若點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的右側(cè)，

AA′+BB′=AB+A′B′=(60+n)cm．AM+BN=+==cm．所以MN=AB–（AM+BN）=（cm）．

綜上，MN的長(zhǎng)度為cm或cm．（2）如圖，∵三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3：4：5，∴=15，=20，=25，故繩子被剪分為15cm，20cm，25cm三段當(dāng)=15，=20，AP=25時(shí)，AN=AP+=25+×20=35；當(dāng)=15，=25，AP=20時(shí)，AN=AP+=20+×25=32.5；當(dāng)=20，=15，AP=25時(shí)，AN=AP+=25+×15=32.5；當(dāng)=20，=25，AP=15時(shí)，AN=AP+=15+×25=27.5；當(dāng)=25，=20，AP=15時(shí)，AN=AP+=15+×20=25；當(dāng)=25，=15，AP=20時(shí)，AN=AP+=20+×15=27.5．綜上AN所有可能的長(zhǎng)度為：25cm或27．5cm或32．5cm或35cm．20．在數(shù)軸上有兩點(diǎn)A，B，并且A，B表示的數(shù)a，b分別是﹣6，18．現(xiàn)在P，Q都從A點(diǎn)出發(fā)往B點(diǎn)停止，已知P點(diǎn)速度是4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，Q點(diǎn)速度6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，已知P出發(fā)1秒后，Q才出發(fā)．（1）若M點(diǎn)與Q點(diǎn)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，且M點(diǎn)速度是8個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，M出發(fā)追上P后再返回與Q相遇就停止，它一共走了多遠(yuǎn)？（2）在整個(gè)過(guò)程中，P，Q兩點(diǎn)在Q點(diǎn)出發(fā)后多久相距一個(gè)單位長(zhǎng)度？【答案】（1）個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）秒或秒或時(shí)【詳解】（1）M出發(fā)追上P的時(shí)間為4×1÷（8﹣4）＝1（秒），此時(shí)，Q點(diǎn)走的路程為6×1=6；M點(diǎn)走的路程為8×1=8；M追上P后再返回與Q相遇時(shí)間為（8﹣6）÷（8+6）＝M一共走了，答：M出發(fā)追上P后再返回與Q相遇就停止，它一共走了個(gè)單位長(zhǎng)度；（2）設(shè)Q點(diǎn)出發(fā)t秒后，與P點(diǎn)相距1個(gè)單位，則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t+1秒，①P在Q點(diǎn)的右邊時(shí)，AP﹣AQ＝1，4×（t+1）﹣6t＝1，解得t＝，②P在Q點(diǎn)的左邊時(shí)，AQ﹣AP＝1，6t﹣4（t+1）＝1，解得t＝．③當(dāng)Q到達(dá)B時(shí)，t＝，此時(shí)P距B點(diǎn)244×(4+1)=4，再走3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，PQ相距1個(gè)單位，t＝4+∴當(dāng)Q點(diǎn)出發(fā)秒或秒或時(shí)，PQ相距1個(gè)單位．21．已知、在直線上，,點(diǎn)線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若是線段的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).【答案】（1）的長(zhǎng)為:9或19；（2）MN=14【詳解】解：（1）∵點(diǎn)線段的中點(diǎn)，,∴當(dāng)P在CB上時(shí)，如圖：∵∴CP=BCCP=145=9當(dāng)P在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：∵∴CP=BC+BP=14+5=19∴的長(zhǎng)為:9或19（2）∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)∴∵N為BP的中點(diǎn)∴當(dāng)P在AB線上時(shí)，如圖當(dāng)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖當(dāng)P在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖綜上所述：MM=1422．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)、表示的有理數(shù)分別為－10、5，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).

（1）若點(diǎn)表示的有理數(shù)是0，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_____；若點(diǎn)表示的有理數(shù)是1，那么的長(zhǎng)為_(kāi)_____.（2）點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)、重合）的過(guò)程中，的長(zhǎng)是否發(fā)生改變？若不改變，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）10，10；（2）的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生改變，且.【詳解】解：（1）若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是0，則AP＝10，BP＝5．∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，∴MN＝MP+NP＝+=10；若點(diǎn)P表示的有理數(shù)是1，則AP＝11，BP＝4．∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，∴MP＝AP＝，NP＝BP＝，∴MN＝MP+NP＝+=10．故答案為：10，10；（2）MN的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生改變，理由如下：設(shè)點(diǎn)P表示的有理數(shù)是a（a＞﹣10且a≠5）．當(dāng)﹣10＜a＜5時(shí)，如圖1，AP＝a+10，BP＝5﹣a．∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝(5﹣a)，∴MN＝MP+NP＝(a+10)+(5﹣a)=10；

當(dāng)a＞5時(shí)（如圖2），AP＝a+10，BP＝a﹣5．∵M(jìn)是線段AP靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N是線段BP靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)．∴MP＝AP＝(a+10)，NP＝BP＝(a﹣5)，∴MN＝MP﹣NP＝(a+10)－(a﹣5)=10．綜上所述：點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)A，B重合）的過(guò)程中，MN的長(zhǎng)不會(huì)發(fā)生變化，且為定值10．

23．?dāng)?shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律．例如：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A，B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．請(qǐng)利用以上結(jié)論解決下列問(wèn)題．（1）如圖1，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為10，則A、B兩點(diǎn)間的距離AB＝，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為；（2）數(shù)軸上另有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q是線段BP的中點(diǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒：①當(dāng)t＝2時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q表示的數(shù)；②如圖2，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)右側(cè)，M是線段AQ的中點(diǎn)，若B恰好是QM的中點(diǎn)，求t的值．【答案】（1）12；4．（2）①8．②t的值為5．【詳解】解：（1）AB＝|﹣2﹣10|＝12，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為＝4．故答案為：12；4．（2）①當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為4×2﹣2＝6，∵點(diǎn)Q是線段BP的中點(diǎn)，∴點(diǎn)Q表示的數(shù)為＝8．②12÷4＝3（秒）．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)（t＞3），點(diǎn)P表示的數(shù)為4t﹣2，點(diǎn)Q表示的數(shù)為＝2t+4，點(diǎn)M表示的數(shù)為＝t+1．∵點(diǎn)B恰好是QM的中點(diǎn)，∴10＝，∴t＝5．答：t的值為5．24．已知，數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是9和6，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止；（1）在數(shù)軸上表示出A，B兩點(diǎn)，并直接回答：線段AB的長(zhǎng)度是；（2）若滿足BP=2AP，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)M為線段AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段BP的中點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算線段MN的長(zhǎng)度，并說(shuō)出線段MN與線段AB的數(shù)量關(guān)系；（4）若另一動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的速度是每秒2個(gè)單位，幾秒鐘后，線段PQ長(zhǎng)度等于5？【答案】（1）15；（2）；（3），；（4）當(dāng)2秒或4秒時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度等于5【詳解】（1），故答案為：15；（2）設(shè)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=3t，∵BP=2AP，

∴BP=6t，∴3t+6t=15，∴；∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒；（3）∵點(diǎn)M為線段AP的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)N為線段BP的中點(diǎn)，∴，∴MN=+=+==∴MN與線段AB的數(shù)量關(guān)系為：；（4）①當(dāng)點(diǎn)Q往數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，則Q點(diǎn)表示的數(shù)為：，P點(diǎn)表示的數(shù)為：，當(dāng)Q點(diǎn)在P點(diǎn)左側(cè)時(shí)，PQ==，解得；當(dāng)Q點(diǎn)在P點(diǎn)右側(cè)時(shí)，PQ=，解得；②當(dāng)點(diǎn)Q往數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為y秒，則Q點(diǎn)表示的數(shù)為：，P點(diǎn)表示的數(shù)為：，∴PQ=，解得，此時(shí)P點(diǎn)不在AB線段上，不符合題意，舍去；綜上所述，當(dāng)運(yùn)動(dòng)2秒或4秒時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度等于5.25．已知線段AB=15cm，點(diǎn)C在線段AB上，且AC：CB=3：2．(1)求線段AC，CB的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，線段AP的中點(diǎn)為M，設(shè)AP=mcm．①請(qǐng)用含有m的代數(shù)式表示線段PC，MC的長(zhǎng)；②若三個(gè)點(diǎn)M，P，C中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱M，P，C三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出使得M，P，C三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的m的值．【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm；(2)①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，PC=（9m）cm，MC=（9m）cm；當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC=（m9）cm，MC=（9m）cm；②m的值為6或12．【詳解】（1）解：∵線段AB=15cm，點(diǎn)C在線段AB上，且AC：CB=3：2，∴AC=15×=9cm，CB=15×=6cm；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，PC=ACAP=（9m）cm，MC=ACAM=ACAP=（9m）cm；當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，PC=APAC=（m9）cm，MC=ACAM=（9m）cm；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，則MP=PC，∴m＝9?m，解得：m=6，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，則MC=PC，∴9?m＝m?9，解得：m=12，綜上：m的值為6或12．26．如圖，已知是數(shù)軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是6，．（1）寫(xiě)出數(shù)軸上點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)；（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；（3）動(dòng)點(diǎn)分別從同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，求為何值時(shí)，原點(diǎn)恰好為線段的中點(diǎn)．【答案】（1）A表示的數(shù)是10，B表示的數(shù)是2；（2）7或13；（3）當(dāng)t=時(shí)，原點(diǎn)O為PQ的中點(diǎn)【詳解】∵點(diǎn)表示的數(shù)是6，∴點(diǎn)B表示的數(shù)為∴點(diǎn)A表示的數(shù)為∴A表示的數(shù)是10，B表示的數(shù)是2．

(2)∵AB＝12，M是AB的中點(diǎn)．∴AM=BM=6，

∵CN=3當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，BN=BCCN=1，此時(shí)MN=BM+BN=6+1=7

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，BN=BC+CN=7，此時(shí)MN=BM+BN=6+9=13

綜上所述，MN的值為7或13（3）∵A表示的數(shù)是10，即OA=10C表示的數(shù)是6，即OC=6

又∵點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t∴AP=6t，CQ=3t，∴OP=OAAP=106t，OQ=OCCQ=63t

當(dāng)原點(diǎn)O為PQ的中點(diǎn)時(shí)，OP=OQ∴106t=63t．

解得t=∴當(dāng)t=時(shí)，原點(diǎn)O為PQ的中點(diǎn)．27．已知數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為10，動(dòng)點(diǎn)B、C在數(shù)軸上移動(dòng)，且總保持BC＝3（點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)），設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為m．（1）如圖1，若B為OA中點(diǎn)，則AC＝，點(diǎn)C表示的數(shù)是；（2）若B、C都在線段OA上，且AC＝2OB，求此時(shí)m的值；（3）當(dāng)線段BC沿射線AO方向移動(dòng)時(shí)，若存在AC﹣OB＝AB，求滿足條件的m值．【答案】（1）2，8；（2）m＝；（3）滿足條件的m值為或﹣11【詳解】解：（1）∵B為OA中點(diǎn)，∴BO=BA，∵OA=10，∴AB=OA=5，∴AC=AB﹣BC=5﹣3=2，點(diǎn)C表示的數(shù)是8，故答案為：2；8；（2）∵AC=2OB，BC=3，OA=10，∴BO=×(10﹣3)=．此時(shí)m=；（3）當(dāng)點(diǎn)B在O右邊時(shí)，(10﹣m﹣3)﹣m=(10﹣m)，解得m=；當(dāng)點(diǎn)B在O左邊時(shí)，(10﹣m﹣3)+m=(10﹣m)，解得m=﹣11．綜上所述，滿足條件的m值為或﹣11．28．如圖1，在一張長(zhǎng)方形紙條上畫(huà)一條數(shù)軸．(1)折疊紙條使數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示5的點(diǎn)重合，折痕與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)是；(2)如果數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為8，經(jīng)過(guò)(1)的折疊方式能夠重合，那么左邊這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)是；(3)如圖2，點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是、，數(shù)軸上有點(diǎn)C，使得AC=2BC，那么點(diǎn)C表示的數(shù)是；(4)如圖2，若將此紙條沿A、B兩處剪開(kāi)，將中間的一段紙條對(duì)折，使其左右兩端重合，這樣連續(xù)對(duì)折次后，再將其展開(kāi)，求最左端的折痕與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)2；(2)；(3)2或10；(4).【詳解】解：（1）（﹣1+5）÷2=4÷2=2．故折痕與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)為2；（2）2－8÷2=2－4=－2；（3）設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，分三種情況討論：①點(diǎn)C在A的左側(cè)，此時(shí)AC＜BC，與AC=2BC矛盾，此種情況不成立；②點(diǎn)C在A和B之間，此時(shí)：x+2=2(4－x)，解得：x=2；③點(diǎn)C在B的右側(cè)，此時(shí)：x+2=2(x－4)，解得：x=10．綜上所述：點(diǎn)C表示的數(shù)是2或10．（4）∵對(duì)折n次后，每?jī)蓷l相鄰折痕的距離為=，∴最左端的折痕與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)是﹣2+．29．如圖，已知點(diǎn)A,B是數(shù)軸上原點(diǎn)O兩側(cè)的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在負(fù)半軸上，點(diǎn)B在正半軸上，AO=2,OB=10.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即返回，速度不變;動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P,Q停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P,Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B返回向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為(用含t的代數(shù)式表示)(2)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P,Q第一次重合?(3)當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P,Q之間的距離為3個(gè)單位?

【答案】（1）2t2,222t;（2）t=2;（3）t=5或或.【詳解】解：（1），∴點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，有，即，∴此時(shí)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為：（）；當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B返回向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，總路程為：，∵點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所需要的時(shí)間為：秒，∴點(diǎn)P從點(diǎn)B返回向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為：（）；故答案為：，.（2）根據(jù)題意，第一次重合為點(diǎn)P追上點(diǎn)Q，則，解得：；（3）由點(diǎn)P，Q之間的距離為3個(gè)單位，可分為三種情況：①點(diǎn)P追上點(diǎn)Q，且超過(guò)點(diǎn)Q的距離為3個(gè)單位，如圖：

∴，解得：；②點(diǎn)P從B點(diǎn)返回，與點(diǎn)Q第二次重合前，如圖：

∴，解得：；③點(diǎn)P與點(diǎn)Q第二次重合后，相距3個(gè)單位，如圖：

∴,解得：.∴當(dāng)或或時(shí)，點(diǎn)P，Q之間的距離為3個(gè)單位.30．已知式子是關(guān)于的二次多項(xiàng)式，且二次項(xiàng)的系數(shù)為，在數(shù)軸上有點(diǎn)、、三個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)、、三點(diǎn)所表示的數(shù)分別為、、，如下圖所示已知．（1）=_______；=_______；=________．（2）若動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)不超過(guò)點(diǎn)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)的速度為每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，求的值．（3）點(diǎn)、分別自、同時(shí)出發(fā)，都以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度向左運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒），時(shí)，數(shù)軸上的有一點(diǎn)與點(diǎn)的距離始終為2，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，若滿足（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），求出此時(shí)線段的長(zhǎng)度．

【答案】（1）16，20，8；（2）；（3）1或