課時規(guī)范練68二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布1.(2024·山東濰坊二模)已知隨機變量X~N(3,σ2),且P(X≥4)=0.3,則P(X>2)=()A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.82.(15分)(2024·安徽合肥一模)某地將舉辦園博會,主辦方共設(shè)有5個省內(nèi)展園、26個省外展園和7個國際展園,開園面積近3.23平方千米.游客可通過乘坐觀光車、騎自行車和步行三種方式游園.(1)若游客甲計劃在5個省內(nèi)展園和7個國際展園中隨機選擇2個展園游玩,記甲參觀省內(nèi)展園的數(shù)量為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X);(2)為更好地服務(wù)游客,主辦方隨機調(diào)查了500名首次游園且只選擇一種游園方式的游客,其選擇的游園方式和游園結(jié)果的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:游園結(jié)果游園方式觀光車自行車步行參觀完所有展園808040未參觀完所有展園20120160用頻率估計概率.若游客乙首次游園,選擇上述三種游園方式的一種,求游園結(jié)束時乙能參觀完所有展園的概率.3.(15分)(2024·四川成都二模)某省舉辦了一次高三年級化學(xué)模擬考試(滿分100分),其中甲市有20000名學(xué)生參加.根據(jù)經(jīng)驗,本次模擬考試該省總體成績及各市成績都近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)已知本次模擬考試甲市平均成績?yōu)?5分,87分以上共有455人.甲市學(xué)生A的成績?yōu)?6分,試估計學(xué)生A在甲市的大致名次;(2)在參加該省本次模擬考試的學(xué)生中隨機抽取40人,記Y表示在本次化學(xué)考試中成績在[μ-3σ,μ+3σ]之外的人數(shù),求P(Y≥1)及Y的數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):0.997340≈0.8975.參考公式:若X~N(μ,σ2),有P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.4.(15分)(2024·云南昆明模擬)某校舉行知識競賽,最后一個名額要在A,B兩名同學(xué)中產(chǎn)生,測試方案如下:A,B兩名學(xué)生各自從給定的4個問題中隨機抽取3個問題作答,在這4個問題中,已知A能正確作答其中的3個,B能正確作答每個問題的概率都是34,A,B兩名同學(xué)作答問題相互獨立(1)求A,B兩名同學(xué)恰好共答對2個問題的概率;(2)若讓你投票決定參賽選手,你會選擇哪名學(xué)生,簡要說明理由.5.(15分)(2024·湖北襄陽模擬)襄陽市某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組為了了解襄陽市民每年旅游消費支出費用(單位:千元),寒假期間對游覽某簽約景區(qū)的100名襄陽市游客進行隨機問卷調(diào)查,并把數(shù)據(jù)整理成如下表所示的頻數(shù)分布表:組別(支出費用)[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16]頻數(shù)34811412085(1)從樣本中隨機抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù),求兩人旅游支出均不低于10000元的概率;(2)若襄陽市民的旅游支出費用X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),μ近似為樣本平均數(shù)x(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值代表),σ近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s,并已求得s≈3,利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題:(ⅰ)假定襄陽市常住人口為500萬人,試估計襄陽市有多少市民每年旅游費用支出在15000元以上;(ⅱ)若在襄陽市隨機抽取3位市民,設(shè)其中旅游費用在9000元以上的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列和均值.附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.答案：1.C解析由題意可知其均值為3,2和4關(guān)于3對稱,所以P(X≤2)=P(X≥4)=0.3,因此P(X>2)=1-P(X≤2)=0.7.2.解(1)由題意知,X所有可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C50C72C122=722,P(X=所以X的分布列為X012P7355所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×722+1×35(2)記事件A=“游客乙乘坐觀光車游園”,事件B=“游客乙騎自行車游園”,事件C=“游客乙步行游園”,事件M=“游園結(jié)束時,乙能參觀完所有展園”,由題意可知,P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.4,P(M|A)=0.8,P(M|B)=0.4,P(M|C)=0.2,由全概率公式可得P(M)=P(A)·P(M|A)+P(B)P(M|B)+P(C)P(M|C)=0.4,所以游園結(jié)束時,乙能參觀完所有展園的概率為0.4.3.解(1)用X表示本次模擬考試甲市成績,由題可知X近似服從正態(tài)分布,即X~N(μ,σ2).因為甲市平均成績?yōu)?5分,所以N=65.因為45520000=0.所以P(X>87)=0.02275.又P(X>μ+2σ)=1-P(μ-2所以μ+2σ=65+2σ≈87,即σ≈11,所以X~N(65,112),所以μ+σ=65+11=76,所以P(X>76)=1-P(μ-σ≤因為甲市學(xué)生A在該次考試中成績?yōu)?6分,所以甲市成績高于學(xué)生A的學(xué)生人數(shù)約為20000×P(X>76)=20000×0.15865=3173,所以學(xué)生A在甲市的大致名次為3174名.(2)由題可知該省成績近似服從正態(tài)分布,所以在參加該省本次模擬考試的學(xué)生中隨機抽取1人,其成績在[μ-3σ,μ+3σ]之內(nèi)的概率約為0.9973,所以其成績在[μ-3σ,μ+3σ]之外的概率約為0.0027.由題可知隨機變量Y服從二項分布,即Y~B(40,0.0027),所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0.997340≈1-0.8975=0.1025,E(Y)=40×0.0027=0.108.4.解(1)設(shè)A同學(xué)答對的題數(shù)為X,則隨機變量X的所有可能取值為2,3.則P(X=2)=C32C11C43設(shè)B同學(xué)答對的題數(shù)為Y,則隨機變量Y的所有可能取值為0,1,2,3.P(Y=0)=(14)3=164,P(Y=1)=C31·34P(Y=2)=C32·(34)2·14=2764,P(所以A,B兩名同學(xué)恰好共答對2個問題的概率為P(X=2)P(Y=0)=3(2)由(1)知,E(X)=2×34+3×14=94,E(Y)=0×164+而D(X)=(2-94)2×34+(3-94D(Y)=(0-94)2×164+(1-94)2×964+(2-94)2×27因為E(X)=E(Y),D(X)<D(Y),所以應(yīng)該選擇學(xué)生A.5.解(1)樣本中總共100人,其中旅游支出不低于10000元的有33人,所以從中隨機抽取兩位市民的旅游支出數(shù)據(jù),兩人旅游支出均不低于10000元的概率為P=C(2)(ⅰ)x=1×3100+3×4100+5×8100+7×11100+9×41100+所以μ=9,σ=3,X服從正態(tài)分布N(9,32),則P(X>15)=P(X>9+2×3)=12×[1-P(9-6≤X≤9+6)]≈12×(1-0.9545)=0.02275,500×0.02275=估計襄陽市有11.375萬市民每年旅游費用支出在15000元以上.(ⅱ)由(ⅰ)知,μ=9000,則P(X>9000)=12ξ的所有可能取值為0,1,2,3.P(ξ=0)=C30·(1-12)2=18,P(ξ=1)=C21·12·(1-12)