第3

章離散傅里葉變換和快速傅里葉變換主要內(nèi)容連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換離散傅里葉變換離散傅里葉變換的性質(zhì)快速傅里葉變換與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)

信號(hào)以時(shí)間為自變量頻譜函數(shù)以頻率為自變量傅里葉變換逆傅里葉變換不同形式的傅里葉變換對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)(FS)：連續(xù)時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換。連續(xù)傅里葉變換(FT)：連續(xù)時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換。序列的傅里葉變換(DTFT):離散時(shí)間,連續(xù)頻率的傅里葉變換.離散傅里葉變換(DFT):離散時(shí)間,離散頻率的傅里葉變換3.1

連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換一.周期信號(hào)與離散頻譜周期函數(shù)：其中：周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)

非周期離散頻譜密度函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)FS通過變換對(duì)可以看出時(shí)域的連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的頻譜函數(shù),而頻域的離散頻譜就與時(shí)域的周期時(shí)間函數(shù)對(duì)應(yīng)。(頻域采樣，時(shí)域周期延拓)周期信號(hào)非周期信號(hào)周期信號(hào)非周期信號(hào)

？二、非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)通過連續(xù)傅里葉變換(FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。條件：例：窗函數(shù)解：t1-T/2T/2T以上變換對(duì)可以看出時(shí)域連續(xù)函數(shù)造成頻域是非周期的譜,而是時(shí)域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜.3.2離散傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT)

離散傅里葉變換離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換在應(yīng)用中的問題

一、序列的傅里葉變換(DTFT)1.定義正變換：反變換：DTFT與Z變換的關(guān)系序列的傅里葉變換就是單位圓上的Z變換00－

時(shí)域的離散造成頻域的周期延拓

,而時(shí)域的非周期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)

.實(shí)際頻率f角頻率圓周頻率歸一化頻率2、性質(zhì)1）線性2）時(shí)移3）卷積4)Parserval定理證明：3、舉例解：例1：設(shè)矩形窗若，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)矩形窗的頻率響應(yīng)

同樣可看出,時(shí)域的離散造成頻域的周期延拓

,而時(shí)域的非周期對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)

.上面討論的三種傅里葉變換對(duì),都不適用在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算,因?yàn)橹辽僭谝粋€(gè)域(時(shí)域或頻域)中,函數(shù)是連續(xù)的。因?yàn)閺臄?shù)字計(jì)算角度,我們感興趣的是時(shí)域及頻域都是離散的情況。我們先從周期性序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)開始討論,然后在討論可作為周期函數(shù)一個(gè)周期的有限長序列的離散傅里葉變換(DFT)。3.2離散傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT)

離散傅里葉變換

離散傅里葉變換的性質(zhì)離散傅里葉變換在應(yīng)用中的問題

一、周期序列離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)1.周期序列DFS定義設(shè)為周期為N的周期序列,則其離散傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)變換對(duì)為:

正變換反變換

其中：2.推導(dǎo)正變換非周期信號(hào)x

(n)，其DTFT(單位圓上Z變換)為周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行采樣，使其成為周期性離散頻譜函數(shù)。設(shè)在一周期內(nèi)采樣N個(gè)點(diǎn)，則兩采樣點(diǎn)間距為：

得到頻間距為：

代入DTFT式子中得：3.DFS反變換證明：已知兩邊同乘以，并對(duì)一個(gè)周期求和用n置換r得正交定理時(shí)域連續(xù)非周期連續(xù)非周期連續(xù)周期離散非周期00(FT)(FS)00頻域四種形式傅里葉變換對(duì)離散非周期離散周期連續(xù)周期離散周期(DTFT)(DFS)時(shí)域頻域0000DFS離散傅里葉級(jí)數(shù)的推導(dǎo)意義用數(shù)字計(jì)算機(jī)對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，要求信號(hào)必須以離散值作為輸入，而且上面討論可知：只有第四種形式(DFS)對(duì)數(shù)字信號(hào)處理有實(shí)用價(jià)值。但如果將前三種形式要么在時(shí)域上采樣，要么在頻域上采樣，變成離散函數(shù)，就可以在計(jì)算機(jī)上應(yīng)用。由非周期連續(xù)時(shí)間信號(hào)推出DFSX(t)經(jīng)過抽樣為x(nT),對(duì)離散的時(shí)間信號(hào)進(jìn)行DTFT得到周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)。再經(jīng)過抽樣，得到周期性離散頻譜密度函數(shù)即為DFS.x(t)t取樣x(t)tDTFTX(ejΩT)Ω采樣X(ejw)w周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)函數(shù)周期性連續(xù)時(shí)間信號(hào)函數(shù)經(jīng)采樣后，得到周期性的離散時(shí)間函數(shù)(DFS)。X(ejw)w采樣x(t)t非周期離散時(shí)間信號(hào)非周期離散時(shí)間信號(hào)經(jīng)過序列付里葉變換(即單位圓上的Z變換)DTFT,得到周期連續(xù)譜密度函數(shù)，再經(jīng)采樣為周期離散頻譜密度函數(shù)(DFS)。x(t)tΩX(ejΩT)wX(ejw)DTFT采樣為什么從DFS過渡到DFT

在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻譜分析要求：時(shí)域和頻域都是離散的；時(shí)域和頻域都是有限長的。

FT，F(xiàn)S，DTFT，DFS都不符合要求，但是，利用DFS時(shí)域和頻域的周期性，各取一個(gè)周期就形成新的變換對(duì)。主值(主值區(qū)間、主值序列)主值區(qū)間：設(shè)有限長序列x(n),0≤n≤N-1,將其延拓為周期序列,周期序列長度為N,則的第一個(gè)周期n=0到n=N-1的區(qū)間稱為主值區(qū)間.主值序列:設(shè)有限長序列x(n),0≤n≤N-1,將其延拓為周期序列,周期為N,

則主值區(qū)間內(nèi)的序列x(n)=,0≤n≤N-1,即為主值序列。1.有限長序列和周期序列記作：其中：二、離散傅里葉變換的定義頻域周期序列與有限長序列周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值才有意義,因而它的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式也適用于有限長序列,這就得到有限長序列的傅里葉變換(DFT)。2.DFT的定義時(shí)域周期序列看作是有限長序列x(n)的周期延拓；把頻域周期序列看作是有限長序列X(k)的周期延拓；這樣我們只要把DFS的定義式兩邊取主值區(qū)間,就得到關(guān)于有限長序列的時(shí)頻域的對(duì)應(yīng)變換對(duì).這就是數(shù)字信號(hào)處理課程里最重要的變換-------離散傅里葉變換(DFT)。正變換反變換

X(k)、x(n)為有限長序列的離散付里葉變換對(duì)，已知其中一個(gè)序列就能確定另一個(gè)序列。

注意：

在離散傅里葉變換關(guān)系中,有限長序列都作為周期序列的一個(gè)周期來表示,都隱含有周期性意義。3各種變換之間的關(guān)系DFT,DTFT,z變換z變換、DTFT、DFT的取值范圍4

頻域采樣定理與內(nèi)插公式z變換與DFT的關(guān)系（抽樣z變換），在此基礎(chǔ)上引出抽樣z變換的概念，并進(jìn)一步深入討論頻域抽樣不失真條件。頻域抽樣理論（頻域抽樣不失真條件）頻域內(nèi)插公式

z變換與DFT關(guān)系連續(xù)傅里葉變換引出離散傅里葉變換定義式。離散傅里葉變換看作是序列的傅里葉變換在頻域再抽樣后的變換對(duì).在z變換中,又可了解到序列的傅里葉變換就是單位圓上的z變換.所以,對(duì)序列的傅里葉變換進(jìn)行頻域抽樣時(shí),自然可以看作是對(duì)單位圓上的z變換進(jìn)行抽樣.推導(dǎo)

Z變換的定義式(正變換)重寫如下:取z=ejw

代入定義式，得到單位圓上Z變換為

數(shù)字角頻率DFT正變換再進(jìn)行抽樣--N等分.這樣w=2kπ/N,即w值為0,2π/N,4π/N,6π/N…,考慮到x(n)是N點(diǎn)有限長序列,因而n只需0~N-1即可。將w=2kπ/N代入并改變上下限,得

結(jié)論從以上推導(dǎo)中可看出,有限長序列x(n)的離散傅里葉變換X(k)序列的各點(diǎn)值等于對(duì)x(n)進(jìn)行Z變換后在單位圓上N等分抽樣的各點(diǎn)處所得的Z變換值,即這就是Z變換與DFT的關(guān)系.

頻域抽樣定理問題

由Z變換與DFT的關(guān)系：

x(n)的離散傅里葉變換X(k)序列值和x(n)的Z變換在單位圓N個(gè)等分點(diǎn)上的抽樣值相等,這就是實(shí)現(xiàn)了頻域的抽樣。是否任何一序列(或說任何一個(gè)頻率特性)都能用頻域抽樣的辦法去逼近呢?其限制條件是什么?分析將x(n)的頻域函數(shù)X(ejw)，按每周期N點(diǎn)抽樣，得到一周期序列,再反變換回時(shí)域，得到變換結(jié)果，是一周期延拓的序列，且與原序列x(n)有如下關(guān)系頻域按每周期N點(diǎn)抽樣,時(shí)域便按N點(diǎn)周期延拓。

頻域抽樣時(shí)域周期延拓結(jié)論長度為M的有限長序列，頻域抽樣不失真的條件：頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N要大于或等于序列長度M，即滿足N≥M。此時(shí)可得到長度為N(或小于N)的有限長序列可用它的z變換在單位圓上的N個(gè)均分點(diǎn)上的抽樣值精確地表示。

頻域內(nèi)插公式從頻域抽樣不失真條件可以知道：

N個(gè)頻域抽樣X(k)能不失真的還原出長度為N的有限長序列x(n)。那么用N個(gè)X(k)也一定能完整地表示出X(z)以及頻率響應(yīng)——即單位圓上的X(z)。過程很簡單,先把N個(gè)X(k)作IDFT得到x(n),再把x(n)作Z變換便得到X(z)。

內(nèi)插公式頻域響應(yīng)的內(nèi)插公式離散傅里葉變換推導(dǎo)圖解3.2離散傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT)

離散傅里葉變換離散傅里葉變換的性質(zhì)

離散傅里葉變換在應(yīng)用中的問題

在由DFS引出DFT的過程中我們知道，DFT本質(zhì)上是和周期序列的DFS概念緊密相關(guān)的，因而它們在性質(zhì)上有著極大的相似，并由DFT隱含周期性（對(duì)應(yīng)于DFS的顯式周期性）所保證。一、DFT的性質(zhì)線性對(duì)稱性循環(huán)移位循環(huán)卷積設(shè)x1(n)，x2(n)都是兩個(gè)有限列長為N的有限序列,它們的離散付里時(shí)變換分別為

線性x1(n)，x2(n)的線性組合有：其中a,b為任一常數(shù)，本性質(zhì)可由定義直接證明。證：

說明：如果x1(n)和x2(n)長度皆為N，即0≤n≤N-1范圍有值，則aX1(k)+bX2(k)的長度也是N；若x1(n)和x2(n)長度不等，設(shè)x1(n)長度為N1，x2(n)長度為N2，則ax1(n)+bx2(n)的長度應(yīng)為N=max[N1，N2]，故DFT必須按長度N計(jì)算。若N1<N2，則N=N2，那么需將x1(n)補(bǔ)上

N2-N1個(gè)零值點(diǎn)后變成長度為N序列，然后都作N點(diǎn)的DFT。

選頻——當(dāng)輸入頻率為的正弦波時(shí)，傅里葉變換后的離散頻譜中只有一條譜線取值為N，其余的都為零?！斎胄盘?hào)是若干頻率不同的正弦波的線性組合，經(jīng)過離散傅里葉變換后，將在不同的譜線位置有對(duì)應(yīng)的輸出?！x散傅里葉變換算法實(shí)質(zhì)上對(duì)頻率具有選擇性。移位線性移位：序列沿坐標(biāo)軸的平移.圓周移位：將有限長序列x(n)以長度N為周期,延拓為周期序列,并加以線性移位后,再取它的主值區(qū)間上的序列值,m點(diǎn)圓周移位記作:其中((...))N表示N點(diǎn)周期延拓.循環(huán)移位有限長序列圓周移位的實(shí)現(xiàn)步驟

例子121310.5nx(n)(1)周期延拓：N=5時(shí)2131x(n)0.521310.51120.5n3(2)周期延拓：N=6時(shí)，補(bǔ)零加長2131x(n)0.521310.51123n21310.5nx(n)(4)M=-2時(shí)，右移(取主值)2131nx(n)0.5(3)M=1時(shí)，左移(取主值)131x(n)0.52n

例子2

卷積卷積在此我們主要介紹：線性卷積圓周卷積圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對(duì)比

線性卷積線性卷積定義：有限長序列

x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),0≤n≤N2-1

則線性卷積為

注意:線性卷積結(jié)果長度變?yōu)镹1+N2-1.

圓周(循環(huán))卷積令則圓周卷積結(jié)果長度不變,為N.圓周卷積的實(shí)現(xiàn)步驟例子線性卷積與圓周卷積步驟比較1231x(n)54n0N1=5線性卷積：圓周卷積：(N=7)補(bǔ)零加長

231x(k)54k0N1=5N2=3213h(n)n0x(k)231540N=7k例子線性卷積與圓周卷積步驟比較2線性卷積無需周期延拓，圓周卷積需進(jìn)行周期延拓：線性卷積的反折：圓卷積的反折(并取主值區(qū)間）：231h(-k)k0231h(k)0k231231231h(-k)k0132例子線性卷積與圓周卷積步驟比較3平移231h(1-k)k0231h(1-k)k0231x(k)54k0231x(k)540N=7k相乘x(k)h(-k)=5×1=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3例子線性卷積與圓周卷積步驟比較4

相加得到線性卷積的示意圖

相加得到圓周卷積的示意圖14265ny(n)201483014265ny(n)2014830可見，線性卷積與圓周卷積相同當(dāng)N≥[N1(5)+N2(3)-1]=7時(shí)例子線性卷積與圓周卷積步驟比較5若圓周卷積取長度為N=5，則求圓周卷積231x(k)540N=5k求得圓周卷積x(k)h(-k)=5*1+2*3+1*2=13x(k)h(1-k)=5*2+4*1+1*3=17x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14看出圓周卷積與線性卷積不同。171326y(n)n02014k231h(-k)0圓周卷積與線性卷積的性質(zhì)對(duì)比

圓周卷積代替線性卷積的實(shí)現(xiàn)方法取L≥N1+N2-1情況下，圓周卷積代替線性卷積的實(shí)際實(shí)現(xiàn)的框圖如下上圖依據(jù)的是圓周卷積定理，做的是圓周卷積。然而由于L選取符合條件，因而結(jié)果是與線性卷積結(jié)果一致的。L點(diǎn)DFTL點(diǎn)DFTL點(diǎn)IDFTx(n)y(n)h(n)

對(duì)稱DFT的對(duì)稱性質(zhì)較為復(fù)雜，歸為以下三類:

共軛與圓周共軛對(duì)稱在時(shí)、頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系；實(shí)(虛)部與圓周共軛對(duì)稱(反對(duì)稱)分量在時(shí)、頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系；時(shí)域?yàn)閷?shí)序列時(shí)對(duì)應(yīng)DFT特征；另外，在以上對(duì)稱性質(zhì)的基礎(chǔ)上，可歸納總結(jié)出x(n)與X(k)的奇、偶、虛、實(shí)關(guān)系，利用這些關(guān)系，可減少計(jì)算DFT時(shí)的運(yùn)算量。奇對(duì)稱(序列)和偶對(duì)稱(序列)

x(n)與-x(-n)互為奇對(duì)稱；滿足x0(n)=-x0(-n)的序列x0(n)稱為奇對(duì)稱序列。

x(n)與x(-n)互為偶對(duì)稱；滿足xe(n)=xe(-n)

的序列xe(n)稱為偶對(duì)稱序列例子00xe(n)n0x(n)n0x(-n)n互為偶對(duì)稱為偶對(duì)稱序列x(n)n0x(-n)n互為奇對(duì)稱0xo(n)n為奇對(duì)稱序列3.2離散傅里葉變換序列的傅里葉變換(DTFT)

離散傅里葉變換離散傅里葉變換的性質(zhì)

離散傅里葉變換在應(yīng)用中的問題

DFT對(duì)FT的近似FTDTFTDTFTDFTDFS采樣截短周期延拓取一個(gè)周期取一個(gè)周期周期延拓采樣周期延拓卷積用DFT實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)信號(hào)譜分析的過程用DFT做傅里葉變換(級(jí)數(shù))的逼近時(shí)所產(chǎn)生的問題

為了能在數(shù)字計(jì)算機(jī)上分析連續(xù)信號(hào)的頻譜，常常用DFT來逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換，但同時(shí)也產(chǎn)生以下問題：

混疊現(xiàn)象頻譜泄漏柵欄效應(yīng)頻率分辨力（率）

混疊現(xiàn)象利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換,為避免混疊失真,要求滿足抽樣定理，即奈奎斯特準(zhǔn)則：

fs≥2fmax

其中fs為抽樣頻率,fmax

為信號(hào)最高頻率.但此條件只規(guī)定出fs的下限為fmax,其上限要受抽樣間隔?f的約束.

抽樣間隔?f

即頻率分辨力,它是記錄長度的倒數(shù),即Tp=1/?f

若抽樣點(diǎn)數(shù)為N,則抽樣間隔與fs

的關(guān)系為?f=fs/N≥2fmax/N混疊現(xiàn)象的結(jié)論由?f=fs/N≥2fmax/N

看出：在N給定時(shí),為避免混疊失真而一味提高抽樣頻率fs

，必然導(dǎo)致?f

增加,即頻率分辨力下降;反之,若要提高頻率分辨力即減小?f

,則導(dǎo)致減小fs,最終必須減小信號(hào)的高頻容量.以上兩點(diǎn)結(jié)論都是在記錄長度內(nèi)抽樣點(diǎn)數(shù)N給定的條件下得到的.所以在高頻容量fmax

與頻率分辨力?f參數(shù)中,保持其中一個(gè)不變而使另一個(gè)性能得以提高的唯一辦法,就是增加記錄長度內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N,即

fmax

和?f

都給定時(shí),則N必須滿足

N≥2fmax/?f

這是未采用任何特殊數(shù)據(jù)處理（例如加窗）情況下，為實(shí)現(xiàn)基本DFT算法所必須滿足條件。例子1有一頻譜分析儀用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。假定沒有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已給條件為：

(1)頻率分辨力≤10Hz(2)信號(hào)的最高頻率≤4kHz試確定以下參量：

(1)最小記錄長度Tp；

(2)抽樣點(diǎn)的最大時(shí)間間隔T；

(3)在一個(gè)記錄中的最少點(diǎn)數(shù)N。解：

(1)由分辨力的要求確定最小記錄長度Tp.Tp=1/?f=1/10=0.1(s)故最小記錄長度為0.1秒。

(2)從信號(hào)的最高頻率確定最大的抽樣時(shí)間間隔T。

fs≥2fmax,T=1/fs≤1/2fmax=0.125*10-3(s)

(3)最小記錄點(diǎn)數(shù)N，它應(yīng)滿足

N≥2fmax/?f=800該處理器所需最少采樣點(diǎn)數(shù)為N=210=1024點(diǎn)。（因?yàn)镹=29=512點(diǎn)不夠）

頻譜泄漏在實(shí)際中，要把觀測的信號(hào)x(n)限制在一定的時(shí)間間隔之內(nèi)，即采取截?cái)鄶?shù)據(jù)的過程。

時(shí)域的截?cái)嘣跀?shù)學(xué)上的意義為原連續(xù)時(shí)間信號(hào)乘上一個(gè)窗函數(shù)，使原連續(xù)時(shí)間函數(shù)成為兩端突然截?cái)啵虚g為原信號(hào)與窗函數(shù)相乘的結(jié)果。時(shí)域兩函數(shù)相乘，在頻域是其頻譜的卷積.由于窗函數(shù)不可能取無限寬,即其頻譜不可能為一沖激函數(shù),信號(hào)的頻譜與窗函數(shù)的卷積必然產(chǎn)生拖尾現(xiàn)象。造成頻譜泄漏.所以在截取(即在窗函數(shù)的選取)時(shí),應(yīng)盡量選擇適當(dāng)形狀的窗函數(shù)對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行截?cái)?使頻譜泄漏最小.時(shí)域持續(xù)時(shí)間有限信號(hào)，即頻域無限頻譜分布信號(hào)應(yīng)用DFT必然會(huì)產(chǎn)生“混疊”，這是因?yàn)闊o論如何減小抽樣間隔或提高抽樣頻率都不能滿足抽樣定理。相應(yīng)地，頻域有限頻譜分布將造成時(shí)域持續(xù)時(shí)間的無窮長度。顯然，應(yīng)用DFT是不可能對(duì)時(shí)域無窮長度的信號(hào)進(jìn)行分析的。為利用DFT，必須把時(shí)間函數(shù)截?cái)啵∫挥邢迺r(shí)間范圍，此截?cái)噙^程可以理解為待分析信號(hào)x(t)號(hào)與一矩形脈沖r(t)相乘，矩形脈沖稱為窗函數(shù)。將r(t)與x(t)相乘，就好象通過一個(gè)矩形窗口拍攝x(t)

，取出窗口內(nèi)的圖形。根據(jù)頻域卷積定理，的傅里葉變換為，如圖所示。圖中表明，時(shí)域的截?cái)噙^程使原信號(hào)的頻譜產(chǎn)生失真，使原頻率有限的頻譜分布，擴(kuò)展成了頻率無窮分布，這稱為“泄漏”。頻譜泄漏注意點(diǎn)

由于我們無法取無數(shù)個(gè)點(diǎn)，所以在DFT時(shí)，時(shí)域的截?cái)嗍潜厝坏?，因而泄漏也是必然存在的?/p>

為了減少頻率泄漏可采用：

適當(dāng)加大窗口寬度，增加M值；

采用適當(dāng)形狀的窗函數(shù)截?cái)嗬?設(shè)信號(hào)為x(n)=1/2π,經(jīng)過矩形窗函數(shù)截?cái)?，求信?hào)經(jīng)過矩形窗函數(shù)前后的頻譜函數(shù)。解：設(shè)信號(hào)經(jīng)過矩形窗函數(shù)后的信號(hào)為x1(n),矩形窗函數(shù)為W(n),其頻譜函數(shù)為X1(ejw)x1(n)=x(n)W(n)X1(ejw)=1/(2pi)X(ejw)*W(ejw)很明顯：X1(ejw)≠X(ejw)相當(dāng)于X(ejw)失真，這種失真是由于X(ejw)的頻譜泄漏引起，其現(xiàn)象為“拖尾（擴(kuò)展現(xiàn)象），稱之頻譜泄漏。因?yàn)閄(ejw)=δ(w),矩形窗函數(shù)wX(ejw)X1(ejw)w產(chǎn)生泄漏

柵欄效應(yīng)

利用DFT逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換,其頻譜將不再是連續(xù)函數(shù)而是基頻F的整數(shù)倍。用DFT計(jì)算頻譜,就如通過一個(gè)柵欄觀看一個(gè)景色,只能在離散點(diǎn)的地方看到真實(shí)的景象,從而產(chǎn)生柵欄效應(yīng).如果在兩離散的譜線間頻譜有很大變化,不作特殊處理,則無法將其檢測出來.減小柵欄效應(yīng)方法

減小柵欄效應(yīng)的一個(gè)方法是在所取數(shù)據(jù)的末端加一些零值點(diǎn),使一個(gè)周期內(nèi)點(diǎn)數(shù)增加,但是不改變原有的記錄數(shù)據(jù).

這種方法等效于