PAGEPAGE1專題08指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、【學問精講】1.根式(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意義)；當n為奇數(shù)時，eq\r(n,an)＝a，當n為偶數(shù)時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))2.分數(shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0；0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)[微點提示]1.畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.二、【典例精練】考點一指數(shù)冪的運算【例1】化簡下列各式：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq\s\up12(0)＋2－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))－(0.01)0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ab))(－6ab)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3ab)).【解析】(1)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up6(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))eq\s\up6(\f(1,2))＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)－eq\f(1,10)＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).(2)原式＝[2×(－6)÷(－3)]ab＝4ab0＝4a.【解法小結(jié)】1.指數(shù)冪的運算首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，以便利用法則計算，但應(yīng)留意：(1)必需同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；(2)運算的先后依次.2.當?shù)讛?shù)是負數(shù)時，先確定符號，再把底數(shù)化為正數(shù).3.運算結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).考點二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】(1)若函數(shù)y＝21－x＋m的圖象不經(jīng)過第一象限，則m的取值范圍________．【答案】(－∞，－2]【解析】y＝21－x＋m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1＋m，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1的圖象如圖所示，則要使其圖象不經(jīng)過第一象限，則m≤－2.故m的取值范圍為(－∞，－2]．(2)若函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________.【答案】(0，2)【解析】在同一平面直角坐標系中畫出y＝|2x－2|與y＝b的圖象，如圖所示.∴當0<b<2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點.∴b的取值范圍是(0，2).【解法小結(jié)】1.對于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到.特殊地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)留意分類探討.2.有關(guān)指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.考點三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性【例3－1】(1)(2024·全國卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，則()A．b<a<c B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】(1)A(2)(－3，1)【解析】(1)因為a＝2，b＝4＝2，由函數(shù)y＝2x在R上為增函數(shù)知，b<a；又因為a＝2＝4，c＝25＝5，由函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)知，a<c.綜上得b<a<c.故選A.[答案]A(2)當a<0時，原不等式化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)－7<1，則2－a<8，解之得a>－3，所以－3<a<0.當a≥0時，則eq\r(a)<1，0≤a<1.綜上知，實數(shù)a的取值范圍是(－3，1).角度2與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【例3－2】(1)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增加的，則m的取值范圍是______.(2)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(ax2+2x+3)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.【答案】(1)(－∞，4](2)(－∞，－1]【解析】(1)令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞))上是增加的，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2)))上是削減的.而y＝2t在R上是增加的，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上是增加的，則有eq\f(m,2)≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4].(2)令g(x)＝ax2＋2x＋3，由于f(x)的值域是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9)))，所以g(x)的值域是[2，＋∞).因此有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(12a－4,4a)＝2，))解得a＝1，這時g(x)＝x2＋2x＋3，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x2＋2x＋3).由于g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1].角度3函數(shù)的最值問題【例3－3】假如函數(shù)y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[－1，1]上的最大值是14，則a的值為________.【答案】3或eq\f(1,3)【解析】令ax＝t，則y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.當a>1時，因為x∈[－1，1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上單調(diào)遞增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(負值舍去).當0<a<1時，因為x∈[－1，1]，所以t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，又函數(shù)y＝(t＋1)2－2在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上單調(diào)遞增，則ymax＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))eq\s\up12(2)－2＝14，解得a＝eq\f(1,3)(負值舍去).綜上，a＝3或a＝eq\f(1,3).【解法小結(jié)】1.比較指數(shù)式的大小的方法是：(1)能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大?。?2)不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.2.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析推斷.易錯警示在探討指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時，當?shù)讛?shù)a與“1”的大小關(guān)系不確定時，要分類探討.【思維升華】1.根式與分數(shù)指數(shù)冪的實質(zhì)是相同的，分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化，通常利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式的化簡運算.2.推斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問題，可以先通過令x＝1得究竟數(shù)的值再進行比較.3.指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a的大小，當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)分0<a<1和a>1兩種狀況分類探討.【易錯留意點】1.對與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題，要弄清晰復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，并且肯定要留意函數(shù)的定義域.2.對可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助換元法解題，但應(yīng)留意換元后“新元”的范圍.三、【名校新題】1.(2024·永州模擬)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝2x－2－x的定義域、單調(diào)性與奇偶性均一樣的是()A.y＝sinx B.y＝x3C.y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x) D.y＝log2x【答案】B【解析】y＝2x－2－x是定義域為R的單調(diào)遞增函數(shù)，且是奇函數(shù).而y＝sinx不是單調(diào)遞增函數(shù)，不符合題意；y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)是非奇非偶函數(shù)，不符合題意；y＝log2x的定義域是(0，＋∞)，不符合題意；y＝x3是定義域為R的單調(diào)遞增函數(shù)，且是奇函數(shù)符合題意.2.(2024·衡水中學檢測)不論a為何值，函數(shù)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒過定點，則這個定點的坐標是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))【答案】C【解析】(1)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)))－2x，令2x－eq\f(1,2)＝0，得x＝－1，故函數(shù)y＝(a－1)2x－eq\f(a,2)恒過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))).3.(2024·東北三校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的圖象恒過點A，下列函數(shù)中圖象不經(jīng)過點A的是()A.y＝eq\r(1－x) B.y＝|x－2|C.y＝2x－1 D.y＝log2(2x)【答案】A【解析】f(x)過定點A(1，1)，將點A(1，1)代入四個選項，y＝eq\r(1－x)的圖象不過點A(1，1).4.(2024·貴陽監(jiān)測)已知函數(shù)f(x)＝4＋2ax－1的圖象恒過定點P，則點P的坐標是()A．(1,6) B．(1,5)C．(0,5) D．(5,0)【答案】A【解析】由于函數(shù)y＝ax的圖象過定點(0,1)，當x＝1時，f(x)＝4＋2＝6，故函數(shù)f(x)＝4＋2ax－1的圖象恒過定點P(1,6)．5.(2024·南寧調(diào)研)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【答案】D【解析】令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函數(shù)f(x)的定義域為[0,1]，因為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t是減函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間就是函數(shù)y＝－x2＋x在[0,1]上的減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故選D.6.(2024·郴州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝ex－eq\f(1,ex)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則關(guān)于x的不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3)))∪(2，＋∞)D．(－∞，2)【答案】B【解析】函數(shù)f(x)＝ex－eq\f(1,ex)的定義域為R，∵f(－x)＝e－x－eq\f(1,e－x)＝eq\f(1,ex)－ex＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，那么不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0等價于f(2x－1)>－f(－x－1)＝f(1＋x)，易證f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f(2x－1)＋f(－x－1)>0的解集為(2，＋∞)．7.(2024·西安市質(zhì)檢)在我國大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%，專家預(yù)料經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()【答案】D【解析】設(shè)原有荒漠化土地面積為b，經(jīng)過x年后荒漠化面積為z，則z＝b(1＋10.4%)x，故y＝eq\f(z,b)＝(1＋10.4%)x，其是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù).其圖象應(yīng)為選項D.8.(2024·合肥檢測)當x∈(－∞，－1]時，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A.(－2，1) B.(－4，3) C.(－3，4) D.(－1，2)【答案】D【解析】原不等式變形為m2－m<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，又y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(－∞，－1]上是減函數(shù)，知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－1)＝2.故原不等式恒成立等價于m2－m<2，解得－1<m<2.9.化簡eq\f(（a\f(2,3)·b－1）－\f(1,2)·a－\f(1,2)·b\f(1,3),\r(6,a·b5))＝________.【答案】eq\f(1,a)【解析】原式＝eq\f(a－\f(1,3)b\f(1,2)·a－\f(1,2)b\f(1,3),a\f(1,6)b\f(5,6))＝a－eq\f(1,3)－eq\f(1,2)－eq\f(1,6)·beq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,6)＝eq\f(1,a).10.(2024·山東高考)若函數(shù)exf(x)(e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中全部具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為________．①f(x)＝2－x；②f(x)＝3－x；③f(x)＝x3；④f(x)＝x2＋2.【答案】①④【解析】：設(shè)g(x)＝exf(x)，對于①，g(x)＝ex·2－x，則g′(x)＝(ex·2－x)′＝ex·2－x(1－ln2)>0，所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，故①符合要求；對于②，g(x)＝ex·3－x，則g′(x)＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln3)<0，所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，故②不符合要求；對于③，g(x)＝ex·x3，則g′(x)＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，明顯函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上不單調(diào)，故③不符合要求；對于④，g(x)＝ex·(x2＋2)，則g′(x)＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，所以函數(shù)g(x)在(－∞，＋∞)上為增函數(shù)，故④符合要求．綜上，具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號為①④.11.(2024·西安質(zhì)檢)若偶函數(shù)f(x)滿意f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為________．【答案】{x|x>4或x<0}【解析】∵f(x)為偶函數(shù)，當x＜0時，－x>0，則f(x)＝f(－x)＝2－x－4.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x＜0，))當f(x－2)＞0時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,2x－2－4＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＜0，,2－x＋2－4＞0，))解得x＞4或x＜0.∴不等式的解集為{x|x>4或x<0}．12.(2024·長沙一中月考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(3x＋a,3x＋1)為奇函數(shù).(1)求a的值；(2)推斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并加以證明.【解析】(1)因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(x)的定義域為R；所以f(0)＝eq\f(1＋a,1＋1)＝0，所以a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(3x－1,3x＋1)＝1－eq\f(2,3x＋1)，函數(shù)f(x)在定義域R上單調(diào)遞增.證明：設(shè)x1<x2∈R，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2（3x1－3x2）,（3x1＋1）（3x2＋1）).因為x1<x2，所以3x1<3x2，所以3x1－3x2<0，所以f(x1)<f(x2)，所以函數(shù)f(x)在定