PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)44直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)一、選擇題1．已知直線(xiàn)a與直線(xiàn)b平行，直線(xiàn)a與平面α平行，則直線(xiàn)b與α的關(guān)系為(D)A．平行 B．相交C．直線(xiàn)b在平面α內(nèi) D．平行或直線(xiàn)b在平面α內(nèi)解析：依題意，直線(xiàn)a必與平面α內(nèi)的某直線(xiàn)平行，又a∥b，因此直線(xiàn)b與平面α的位置關(guān)系是平行或直線(xiàn)b在平面α內(nèi)．2．已知α是一個(gè)平面，m，n是兩條直線(xiàn)，A是一個(gè)點(diǎn)，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系不行能是(D)A．垂直B．相交C．異面D．平行解析：對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)m⊥α?xí)r，因?yàn)閚?α，所以m⊥n，可能；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)A∈n時(shí)，m∩n＝A，可能；對(duì)于選項(xiàng)C，若A?n，由異面直線(xiàn)的定義知m，n異面，可能；對(duì)于選項(xiàng)D，若m∥n，因?yàn)閙?α，n?α，所以m∥α，這與m∩α＝A沖突，不行能平行，故選D.3．(2024·四川樂(lè)山四校聯(lián)考)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是(D)A．存在一條直線(xiàn)a，a∥α，a∥βB．存在一條直線(xiàn)a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線(xiàn)a，b，a∥α，a∥β，b?βD．存在兩條異面直線(xiàn)a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析：存在一條直線(xiàn)a，a∥α，a∥β，有可能a平行于兩平面的交線(xiàn)，該條件不是平面α∥平面β的一個(gè)充分條件，故A錯(cuò)；存在一條直線(xiàn)a，a?α，a∥β，有可能a平行于兩平面的交線(xiàn)，該條件不是平面α∥平面β的一個(gè)充分條件，故B錯(cuò)；存在兩條平行直線(xiàn)a，b，a∥α，a∥β，b?β，有可能a平行于兩平面的交線(xiàn)，該條件不是平面α∥平面β的一個(gè)充分條件，故C錯(cuò)；存在兩條異面直線(xiàn)a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α，據(jù)此可得平面α∥平面β，該條件是平面α∥平面β的一個(gè)充分條件．故選D.4．(2024·山東泰安二模)已知m，n是兩條不同直線(xiàn)，α，β，γ是三個(gè)不同平面，下列命題正確的是(D)A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，m∥β，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n解析：對(duì)于A，若m∥α，n∥α，則m與n可能平行，可能相交，也可能異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若α⊥γ，β⊥γ，則α與β可能平行，也可能相交(比如直三棱柱相鄰兩側(cè)面都與底面垂直)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若m∥α，m∥β，則α與β可能平行，也可能相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)相互平行，故D正確．綜上，故選D.5．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD上的點(diǎn)，且AEEB＝AFFD＝14，H，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則(B)A．BD∥平面EFG，且四邊形EFGH是平行四邊形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是平行四邊形D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是梯形解析：如圖，由條件知，EF∥BD，EF＝eq\f(1,5)BD，HG∥BD，HG＝eq\f(1,2)BD，∴EF∥HG，且EF＝eq\f(2,5)HG，∴四邊形EFGH為梯形．∵EF∥BD，EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD.∵四邊形EFGH為梯形，∴線(xiàn)段EH與FG的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，∴EH不平行于平面ADC.故選B.6．已知M，N，K分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB，B1C1，DD1的中點(diǎn)，在正方體的全部面對(duì)角線(xiàn)和體對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)中，與平面MNK平行的直線(xiàn)有(A)A．6條B．7條C．8條D．9條解析：補(bǔ)形得到平面MNK與正方體側(cè)面的交線(xiàn)，得到正六邊形MENFKG，如圖所示．由線(xiàn)面平行的判定定理，可得BD，B1D1，BC1，AD1，AB1，DC1所在直線(xiàn)與平面MNK平行，∴正方體的全部面對(duì)角線(xiàn)和體對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)中，與平面MNK平行的有6條．故選A.二、填空題7．如圖所示，在四面體ABCD中，點(diǎn)M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是平面ABC、平面ABD.解析：連接AM并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)E，連接BN，并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，由重心性質(zhì)可知，E，F(xiàn)重合為一點(diǎn)，且該點(diǎn)為CD的中點(diǎn)E，連接MN，由eq\f(EM,MA)＝eq\f(EN,NB)＝eq\f(1,2)，得MN∥AB.所以MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.8．在三棱錐P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過(guò)點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長(zhǎng)為8.解析：過(guò)點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(平面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周長(zhǎng)為2×4＝8.9.(2024·江西重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體一模)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝6，AB＝3，AD＝8，點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱AA1上，且滿(mǎn)意AN＝2NA1，P是側(cè)面四邊形ADD1A1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，若C1P∥平面CMN，則線(xiàn)段C1P長(zhǎng)度的最小值是eq\r(17).解析：取A1D1的中點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q在平面ADD1A1內(nèi)作MN的平行線(xiàn)交DD1于點(diǎn)E，易知平面C1QE∥平面CMN，在△C1QE中作C1P⊥QE，此時(shí)C1P取得最小值eq\r(17).三、解答題10．如圖，ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明：(1)連接AE，則AE必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)O，連接MO，則MO為△ABE的中位線(xiàn)，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線(xiàn)，所以BD∥MN，又MN?平面MNG，BD?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.11．已知四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝BC＝1，AB＝2，M為PC的中點(diǎn)．(1)在圖中作出平面ADM與PB的交點(diǎn)N，并指出點(diǎn)N所在位置(不要求給出理由)；(2)求平面ADM將四棱錐P-ABCD分成的上下兩部分的體積比．解：(1)N為PB中點(diǎn)，截面如圖所示．(2)∵M(jìn)N是△PBC的中位線(xiàn)，BC＝1，∴MN＝eq\f(1,2)，AN＝eq\f(\r(5),2)，且AN⊥AD，∴梯形ADMN的面積為eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))×eq\f(\r(5),2)＝eq\f(3\r(5),8)，點(diǎn)P到截面ADMN的距離為點(diǎn)P到直線(xiàn)AN的距離d＝eq\f(2,\r(5))，∴四棱錐P-ADMN的體積V1＝eq\f(1,3)×eq\f(3\r(5),8)×eq\f(2,\r(5))＝eq\f(1,4)，而四棱錐P-ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×2×1×1＝eq\f(2,3)，∴四棱錐被截下部分體積V2＝V－V1＝eq\f(2,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,12)，故上下兩部分的體積比eq\f(V1,V2)＝eq\f(3,5).12．(2024·山東煙臺(tái)二模)如圖是一張矩形折紙ABCD，AB＝10，AD＝10eq\r(2)，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)分別將△ABE，△CDF沿BE，DF折起，且A、C在平面BFDE同側(cè)，下列命題正確的是①④.(寫(xiě)出全部正確命題的序號(hào))①當(dāng)平面ABE∥平面CDF時(shí)，AC∥平面BFDE；②當(dāng)平面ABE∥平面CDF時(shí)，AE∥CD；③當(dāng)A、C重合于點(diǎn)P時(shí)，PG⊥PD；④當(dāng)A、C重合于點(diǎn)P時(shí)，三棱錐P-DEF的外接球的表面積為150π.解析：在△ABE中，tan∠ABE＝eq\f(\r(2),2)，在△ACD中，tan∠CAD＝eq\f(\r(2),2)，所以∠ABE＝∠DAC，由題意，將△ABE，△DCF沿BE，DF折起，且A，C在平面BEDF同側(cè)，此時(shí)A、C、G、H四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，平面ABE∩平面AGHC＝AG，平面CDF∩平面AGHC＝CH，當(dāng)平面ABE∥平面CDF時(shí)，得到AG∥CH，明顯AG＝CH，所以四邊形AGHC為平行四邊形，所以AC∥GH，進(jìn)而可得AC∥平面BFDE，故①正確；由于折疊后，直線(xiàn)AE與直線(xiàn)CD為異面直線(xiàn)，所以AE與CD不平行，故②不正確；當(dāng)A、C重合于點(diǎn)P時(shí)，可得PG＝eq\f(10\r(3),3)，PD＝10，又GD＝10，∴PG2＋PD2≠GD2，所以PG與PD不垂直，故③不正確；當(dāng)A，C重合于點(diǎn)P時(shí)，在三棱錐P-DEF中，△EFD與△FCD均為直角三角形，所以DF為外接球的直徑，即R＝eq\f(DF,2)＝eq\f(5\r(6),2)，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(6),2)))2＝150π，故④正確．綜上，正確命題的序號(hào)為①④.13．(2024·重慶萬(wàn)州區(qū)檢測(cè))如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)．(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解：(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.如圖，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，∴OD1∥BC1.又OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.eq\a\vs4\al(尖子生小題庫(kù)——供重點(diǎn)班學(xué)生運(yùn)用，一般班學(xué)生慎用)14．(2024·湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線(xiàn)段PA上，且EF∥平面PCD，直線(xiàn)PD與平面CEF交于點(diǎn)H，則線(xiàn)段CH的長(zhǎng)度為(C)A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)解析：∵PD與平面CEF交于點(diǎn)H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH，∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，過(guò)點(diǎn)H作HM∥PA交AD于點(diǎn)M，連接CM，∵EF∩AF＝F，CH∩HM＝H，∴平面AEF∥平面CHM，∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM，又BC∥AM，∴四邊形ABCM為平行四邊形，∴AM＝2.又AD＝4，∴M是AD的中點(diǎn)，則H為PD的中點(diǎn)，∴CH＝eq\r(CM2＋MH2)＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，故選C.15．如圖所示，側(cè)棱與底面垂直，且底面為正方形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分別在AD1，BC上移動(dòng)，始終保持MN∥平面DCC1D1，設(shè)BN＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致