江蘇專升本考試題目及答案解析

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\geq0\)B.\(x\geq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\gt0\)答案：B2.極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值是（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在答案：B3.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.4答案：B4.下列函數(shù)中，（）是奇函數(shù)A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\lnx\)答案：B5.\(\intx^2dx\)=（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)答案：A6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)=（）A.5B.7C.11D.13答案：D7.直線\(2x+y-1=0\)的斜率為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：B8.不等式\(|x-1|\lt2\)的解集是（）A.\((-1,3)\)B.\((-3,1)\)C.\((1,3)\)D.\((-1,1)\)答案：A9.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)=（）A.1B.2C.3D.4答案：B10.函數(shù)\(y=\cos2x\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)答案：A多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)答案：ABCD2.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)答案：BCD3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充要條件有（）A.在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.極限\(\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x_0+\Deltax)-f(x_0)}{\Deltax}\)存在D.切線存在答案：BC4.下列積分計(jì)算正確的是（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)答案：ABCD5.向量\(\vec{a}=(1,-1)\)，\(\vec=(2,k)\)，若\(\vec{a}\perp\vec\)，則\(k\)的值可以是（）A.2B.-2C.1D.-1答案：A6.以下哪些是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式（）A.\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）B.\(\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）C.\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)D.\(\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)答案：AB7.下列函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=x^3\)C.\(y=\tanx\)D.\(y=\lnx\)（\(x\gt0\)）答案：ABD8.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等比數(shù)列，公比為\(q\)，則（）A.\(a_{n+1}=a_n\cdotq\)B.\(a_n=a_1\cdotq^{n-1}\)C.若\(q\gt1\)，數(shù)列單調(diào)遞增D.前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）答案：ABD9.直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時(shí)為0）的相關(guān)說(shuō)法正確的是（）A.斜率\(k=-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）B.在\(y\)軸上截距為\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）C.平行于直線\(Ax+By+D=0\)（\(C\neqD\)）D.垂直于直線\(Bx-Ay+E=0\)答案：ABCD10.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的性質(zhì)正確的是（）A.最小正周期為\(\pi\)B.圖象關(guān)于點(diǎn)\((-\frac{\pi}{6},0)\)對(duì)稱C.在\([-\frac{5\pi}{12},\frac{\pi}{12}]\)上單調(diào)遞增D.最大值為1答案：ABCD判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是\(x\neq1\)。（）答案：對(duì)2.若\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)，則一定在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)。（）答案：對(duì)3.\(\int_{-1}^{1}x^3dx=0\)。（）答案：對(duì)4.向量\(\vec{a}=(1,2)\)與向量\(\vec=(2,4)\)平行。（）答案：對(duì)5.直線\(y=2x+1\)與直線\(y=-\frac{1}{2}x+3\)垂直。（）答案：對(duì)6.函數(shù)\(y=x^2+1\)的最小值是1。（）答案：對(duì)7.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=2\)，則\(a_3=4\)。（）答案：對(duì)8.不等式\(x^2-2x+1\gt0\)的解集是\(x\neq1\)。（）答案：對(duì)9.函數(shù)\(y=\cosx\)是偶函數(shù)。（）答案：對(duì)10.圓\(x^2+y^2=4\)的圓心是\((0,0)\)，半徑是2。（）答案：對(duì)簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值。答案：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x\)，令\(y^\prime=0\)，即\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)時(shí)，\(y^\prime\lt0\)；\(x\gt2\)時(shí)，\(y^\prime\gt0\)。所以極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計(jì)算\(\int\frac{1}{x^2+4}dx\)。答案：先變形\(\int\frac{1}{x^2+4}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{(\frac{x}{2})^2+1}dx\)，令\(u=\frac{x}{2}\)，\(du=\frac{1}{2}dx\)，則原式\(=\frac{1}{2}\int\frac{1}{u^2+1}\cdot2du=\frac{1}{2}\arctanu+C=\frac{1}{2}\arctan(\frac{x}{2})+C\)。3.已知直線過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)且斜率為\(3\)，求直線方程。答案：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率），已知點(diǎn)\((1,2)\)，斜率\(k=3\)，則直線方程為\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(y=3x-1\)。4.求等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和公式（首項(xiàng)\(a_1\)，公差\(d\)）。答案：\(S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+[a_1+(n-1)d]\)，倒序相加得\(2S_n=n(a_1+a_n)\)，又\(a_n=a_1+(n-1)d\)，所以\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(f(x_1)-f(x_2)=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，所以\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞減。同理在\((-\infty,0)\)上，任取\(x_1\ltx_2\lt0\)，\(f(x_1)-f(x_2)\gt0\)，也單調(diào)遞減。2.討論直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過(guò)比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)時(shí)相離，\(d=r\)時(shí)相切，\(d\ltr\)時(shí)相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程，消元得一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.討論如何根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。答案：若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上二階可導(dǎo)，當(dāng)\(f^{\prime\prime}(x)\gt0\)，\(x\inI\)時(shí)，函數(shù)\(f(x)\)的圖形在\(I\)上是凹