概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)A考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(P(A)=0.5\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(AB)=0.1\)，則\(P(A-B)\)為（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.52.隨機(jī)變量\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，則\(\lambda\)等于（）A.1B.2C.3D.43.設(shè)\(X\simN(1,4)\)，\(\varPhi(x)\)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則\(P(X\leqslant3)\)等于（）A.\(\varPhi(1)\)B.\(\varPhi(2)\)C.\(\varPhi(3)\)D.\(\varPhi(4)\)4.二維隨機(jī)變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布函數(shù)\(F(x,y)\)，則\(F(+\infty,+\infty)\)等于（）A.0B.0.5C.1D.不存在5.設(shè)\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，\(X\simB(10,0.3)\)，\(Y\simB(15,0.4)\)，則\(E(X+Y)\)為（）A.9B.10C.11D.126.樣本\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)來自總體\(X\)，\(E(X)=\mu\)，\(D(X)=\sigma^2\)，則樣本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)的方差\(D(\overline{X})\)為（）A.\(\sigma^2\)B.\(\frac{\sigma^2}{n}\)C.\(n\sigma^2\)D.\(\frac{\sigma^2}{n^2}\)7.設(shè)總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)已知，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，\(\overline{X}\)為樣本均值，則\(\mu\)的置信水平為\(1-\alpha\)的置信區(qū)間為（）A.\((\overline{X}-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)B.\((\overline{X}-t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha/2}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)C.\((\overline{X}-z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+z_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)D.\((\overline{X}-t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline{X}+t_{\alpha}(n-1)\frac{\sigma}{\sqrt{n}})\)8.假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類錯(cuò)誤是指（）A.原假設(shè)\(H_0\)為真，拒絕\(H_0\)B.原假設(shè)\(H_0\)為假，接受\(H_0\)C.備擇假設(shè)\(H_1\)為真，拒絕\(H_1\)D.備擇假設(shè)\(H_1\)為假，接受\(H_1\)9.設(shè)\(X\)是隨機(jī)變量，\(E(X)=2\)，\(E(X^2)=5\)，則\(D(X)\)等于（）A.1B.2C.3D.410.設(shè)\(X\)和\(Y\)為兩個(gè)隨機(jī)變量，\(Cov(X,Y)=0\)，則下列說法正確的是（）A.\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立B.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)C.\(P(XY=0)=1\)D.\(E(XY)=0\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于概率的性質(zhì)正確的有（）A.\(0\leqslantP(A)\leqslant1\)B.\(P(\varnothing)=0\)C.\(P(\Omega)=1\)D.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)（\(A\)、\(B\)互斥）2.若隨機(jī)變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則以下說法正確的是（）A.概率密度函數(shù)\(f(x)\)關(guān)于\(x=\mu\)對(duì)稱B.\(E(X)=\mu\)C.\(D(X)=\sigma^2\)D.\(P(X\lt\mu)=0.5\)3.二維離散型隨機(jī)變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布律\(P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}\)，則（）A.\(p_{ij}\geqslant0\)B.\(\sum_{i}\sum_{j}p_{ij}=1\)C.\(P(X=x_i)=\sum_{j}p_{ij}\)D.\(P(Y=y_j)=\sum_{i}p_{ij}\)4.下列關(guān)于期望和方差的性質(zhì)正確的有（）A.\(E(aX+b)=aE(X)+b\)（\(a,b\)為常數(shù)）B.\(D(aX+b)=a^2D(X)\)（\(a,b\)為常數(shù)）C.\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\)D.\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)（\(X\)、\(Y\)相互獨(dú)立）5.設(shè)總體\(X\)的分布函數(shù)\(F(x;\theta)\)含有未知參數(shù)\(\theta\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是樣本，則以下是統(tǒng)計(jì)量的有（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)C.\(X_1+\theta\)D.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-E(X))^2\)6.關(guān)于矩估計(jì)法，下列說法正確的是（）A.用樣本矩估計(jì)總體矩B.計(jì)算相對(duì)簡便C.不需要知道總體的分布類型D.估計(jì)結(jié)果唯一7.假設(shè)檢驗(yàn)中，影響犯兩類錯(cuò)誤概率的因素有（）A.樣本容量\(n\)B.顯著性水平\(\alpha\)C.原假設(shè)\(H_0\)的設(shè)定D.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的選擇8.若隨機(jī)變量\(X\)和\(Y\)滿足\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)，則（）A.\(Cov(X,Y)=0\)B.\(X\)和\(Y\)不相關(guān)C.\(E(XY)=E(X)E(Y)\)D.\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立9.設(shè)\(X\)是離散型隨機(jī)變量，其分布律為\(P(X=x_k)=p_k\)，\(k=1,2,\cdots\)，則（）A.\(p_k\geqslant0\)B.\(\sum_{k}p_k=1\)C.\(E(X)=\sum_{k}x_kp_k\)D.\(D(X)=\sum_{k}(x_k-E(X))^2p_k\)10.以下哪些分布是離散型分布（）A.二項(xiàng)分布B.泊松分布C.均勻分布D.正態(tài)分布三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(A\)和\(B\)是兩個(gè)事件，則\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。（）2.連續(xù)型隨機(jī)變量\(X\)的概率密度函數(shù)\(f(x)\)滿足\(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)。（）3.二維隨機(jī)變量\((X,Y)\)相互獨(dú)立，則\(P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)\)。（）4.樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(E(X)\)的無偏估計(jì)。（）5.若\(X\)和\(Y\)相互獨(dú)立，\(D(X)=4\)，\(D(Y)=9\)，則\(D(X-Y)=-5\)。（）6.假設(shè)檢驗(yàn)中，顯著性水平\(\alpha\)是犯第二類錯(cuò)誤的概率。（）7.總體\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，\(\sigma^2\)未知時(shí)，\(\mu\)的置信區(qū)間用\(t\)分布構(gòu)造。（）8.對(duì)于任意隨機(jī)變量\(X\)，\(E(X^2)=[E(X)]^2\)。（）9.若\(X\)服從參數(shù)為\(n,p\)的二項(xiàng)分布\(B(n,p)\)，則\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)。（）10.相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}=0\)時(shí)，\(X\)和\(Y\)一定相互獨(dú)立。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述概率的公理化定義。答案：設(shè)\(E\)是隨機(jī)試驗(yàn)，\(\Omega\)是樣本空間，對(duì)于\(E\)的每個(gè)事件\(A\)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)\(P(A)\)，若\(P(A)\)滿足：非負(fù)性\(P(A)\geqslant0\)；規(guī)范性\(P(\Omega)=1\)；可列可加性，對(duì)兩兩互斥事件\(A_1,A_2,\cdots\)，有\(zhòng)(P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)\)，則稱\(P(A)\)為事件\(A\)的概率。2.簡述二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義及判定方法。答案：定義：若二維隨機(jī)變量\((X,Y)\)的聯(lián)合分布函數(shù)\(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\)，則\(X\)與\(Y\)相互獨(dú)立。判定方法：離散型看聯(lián)合分布律\(P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)\)；連續(xù)型看聯(lián)合概率密度\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)。3.簡述矩估計(jì)法的步驟。答案：首先設(shè)總體\(X\)的分布含有\(zhòng)(k\)個(gè)未知參數(shù)\(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k\)，求出總體的前\(k\)階矩\(E(X^l)\)，\(l=1,2,\cdots,k\)。然后令樣本的\(l\)階矩等于總體的\(l\)階矩，得到關(guān)于未知參數(shù)的方程組，解方程組得到未知參數(shù)的矩估計(jì)量。4.簡述假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟。答案：第一步，提出原假設(shè)\(H_0\)和備擇假設(shè)\(H_1\)；第二步，選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；第三步，給定顯著性水平\(\alpha\)，確定拒絕域；第四步，根據(jù)樣本值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；第五步，將統(tǒng)計(jì)量的值與拒絕域比較，作出拒絕或接受\(H_0\)的決策。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在實(shí)際生活中，哪些情況可以用泊松分布來近似描述。答案：如一段時(shí)間內(nèi)某商場的顧客到達(dá)人數(shù)、某醫(yī)院急診室在一定時(shí)間內(nèi)接收的急診病人數(shù)、一本書中錯(cuò)別字的個(gè)數(shù)等。這些情況往往滿足在充分小的時(shí)間段或空間內(nèi)，事件發(fā)生的概率很小，但在大量的時(shí)間段或空間下，事件有發(fā)生的可能，就可用泊松分布近似描述。2.討論樣本容量\(n\)對(duì)參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的影響。答案：樣本容量\(n\)越大，參數(shù)估計(jì)越精確，估計(jì)值越接近真實(shí)值，置信區(qū)間越窄。在假設(shè)檢驗(yàn)中，增大\(n\)可以降低犯兩類錯(cuò)誤的概率，提高檢驗(yàn)的功效，使我們更有可能正確判斷原假設(shè)是否成立，減少誤判。3.討論相關(guān)系數(shù)\(\rho_{XY}\)的意義及其取值范圍的含義。答案：\(\rho_{XY}\)衡量\(X\)與\(Y\)線性相關(guān)程度。取值范圍\([-1,1]\)，\(\rho_{XY}=1\)表示\(X\)與\(Y\)完全正線性相關(guān)；\(\rho_{XY}=-1\)表示完全負(fù)線性相關(guān)；\(\rho_{XY}=0\)表示\(X\)與\(Y\)不相關(guān)，即無線性關(guān)系，但可能有其他非線性關(guān)系。4.討論在進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，如何選擇合適的檢驗(yàn)方法。答案：要考慮總體分布類型，若總體正態(tài)