高數(shù)教材試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\sinx$的導數(shù)是（）A.$\cosx$B.$-\cosx$C.$\sinx$D.$-\sinx$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在3.曲線$y=x^2$在點$(1,1)$處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若$f(x)$的一個原函數(shù)是$F(x)$，則$\intf(x)dx=$（）A.$F(x)$B.$F(x)+C$C.$f(x)$D.$f(x)+C$5.$\int_{0}^{1}x^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.1D.26.函數(shù)$z=x^2+y^2$在點$(1,1)$處對$x$的偏導數(shù)為（）A.1B.2C.3D.47.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對收斂8.微分方程$y'=2x$的通解是（）A.$y=x^2+C$B.$y=2x^2+C$C.$y=x^2$D.$y=2x^2$9.設(shè)向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則$\vec{a}\cdot\vec=$（）A.5B.10C.11D.1310.空間直角坐標系中，點$(1,2,3)$到原點的距離是（）A.$\sqrt{6}$B.$\sqrt{14}$C.6D.14多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\lnx$2.下列極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$3.以下哪些是基本積分公式（）A.$\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq-1)$B.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$C.$\int\cosxdx=\sinx+C$D.$\inte^xdx=e^x+C$4.函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$可微的充分條件有（）A.兩個偏導數(shù)連續(xù)B.偏導數(shù)存在C.函數(shù)連續(xù)D.函數(shù)在該點有極限5.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$6.一階線性微分方程的形式可以是（）A.$y'+P(x)y=Q(x)$B.$y'=f(x,y)$C.$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$D.$y'+P(x)y=0$7.向量的運算包括（）A.加法B.減法C.數(shù)乘D.點乘8.空間曲線的表示形式有（）A.參數(shù)方程B.一般方程C.直角坐標方程D.極坐標方程9.多元函數(shù)的極值點可能是（）A.駐點B.偏導數(shù)不存在的點C.邊界點D.間斷點10.二重積分的計算方法有（）A.直角坐標計算B.極坐標計算C.柱坐標計算D.球坐標計算判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$y=\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若$\lim_{x\toa}f(x)$存在，則$f(x)$在$x=a$處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)$f(x)$的導數(shù)$f'(x)$大于0，則$f(x)$單調(diào)遞增。（）4.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$。（）5.函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的偏導數(shù)存在，則函數(shù)在該點可微。（）6.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂，則$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（）7.微分方程的通解包含了所有的解。（）8.向量$\vec{a}$與向量$\vec$平行，則$\vec{a}\times\vec=\vec{0}$。（）9.空間中兩個平面平行，則它們的法向量平行。（）10.函數(shù)$f(x,y)$在區(qū)域$D$上的二重積分就是函數(shù)值在區(qū)域$D$上的和。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$y=x^3-3x^2+1$的極值。答：先求導$y'=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$y'=0$，得$x=0$或$x=2$。當$x\lt0$時，$y'\gt0$；$0\ltx\lt2$時，$y'\lt0$；$x\gt2$時，$y'\gt0$。所以極大值$y(0)=1$，極小值$y(2)=-3$。2.計算$\intx\cosxdx$。答：用分部積分法，設(shè)$u=x$，$dv=\cosxdx$，則$du=dx$，$v=\sinx$。由分部積分公式$\intudv=uv-\intvdu$得$\intx\cosxdx=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C$。3.求函數(shù)$z=x^2+2y^2$在點$(1,1)$處的全微分。答：先求偏導數(shù)，$z_x=2x$，$z_y=4y$。在點$(1,1)$處，$z_x(1,1)=2$，$z_y(1,1)=4$。全微分$dz=z_x(1,1)dx+z_y(1,1)dy=2dx+4dy$。4.求冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的收斂半徑和收斂區(qū)間。答：由冪級數(shù)收斂半徑公式$R=\lim_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|$，這里$a_n=1$，則$R=1$。當$x=1$時，級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}1$發(fā)散；當$x=-1$時，級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n$發(fā)散。所以收斂區(qū)間為$(-1,1)$。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)連續(xù)性與可導性的關(guān)系。答：可導一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導。比如$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)，但其在該點左右導數(shù)不相等，不可導。因為可導定義要求函數(shù)在某點變化率極限存在，這保證了函數(shù)的連續(xù)性；而連續(xù)函數(shù)在某些點可能存在尖銳點等導致不可導。2.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：定積分計算常通過求不定積分，再利用牛頓-萊布尼茨公式求值。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果含常數(shù)$C$；定積分是一個數(shù)值，由被積函數(shù)、積分區(qū)間確定，反映函數(shù)在區(qū)間上的累積量，與積分變量形式無關(guān)。3.討論多元函數(shù)極值的判定方法。答：先求駐點，即偏導數(shù)都為0的點。再求二階偏導數(shù)，構(gòu)造判別式$A=f_{xx}$，$B=f_{xy}$，$C=f_{yy}$，$AC-B^2\gt0$且$A\gt0$時為極小值點，$AC-B^2\gt0$且$A\lt0$時為極大值點，$AC-B^2\lt0$時不是極值點，$AC-B^2=0$時需進一步討論。4.討論級數(shù)斂散性的判別方法。答：常用方法有比較判別法，與已知斂散性級數(shù)比較；比值判別法，通過求后項與前項比值極限判斷；根值判別法，求通項$n$次方根極限。還有級數(shù)收斂的必要條件：通項極限為0才可能收斂，以及一些特殊級數(shù)（如等比、調(diào)和級數(shù)）的斂散性結(jié)論輔助判斷。答案單項選擇題1.A