西安交通大學(xué)計算方法A期末試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.計算方法中誤差分為幾類？A.1類B.2類C.3類D.4類2.拉格朗日插值多項式的基函數(shù)之和為？A.0B.1C.-1D.23.數(shù)值積分中梯形公式的代數(shù)精度是？A.0次B.1次C.2次D.3次4.迭代法收斂的必要條件是？A.譜半徑大于1B.譜半徑等于1C.譜半徑小于1D.無要求5.高斯-賽德爾迭代法是哪種迭代法的改進(jìn)？A.雅可比迭代法B.牛頓迭代法C.弦截法D.最速下降法6.已知函數(shù)值列表，用什么方法構(gòu)造插值多項式最簡單？A.牛頓插值B.拉格朗日插值C.埃爾米特插值D.分段插值7.數(shù)值微分最常用的方法是基于？A.函數(shù)值B.函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義C.積分關(guān)系D.泰勒展開8.求解線性方程組的直接法有？A.共軛梯度法B.高斯消去法C.冪法D.反冪法9.對于非線性方程求根，哪種方法收斂速度最快？A.二分法B.簡單迭代法C.牛頓迭代法D.混合法10.計算矩陣特征值的常用方法是？A.高斯消元法B.冪法C.迭代法D.插值法答案：1.C2.B3.B4.C5.A6.B7.D8.B9.C10.B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.計算方法中的誤差來源包括（）A.模型誤差B.觀測誤差C.截斷誤差D.舍入誤差2.插值法的應(yīng)用領(lǐng)域有（）A.數(shù)據(jù)處理B.函數(shù)逼近C.數(shù)值積分D.微分方程求解3.常用的數(shù)值積分公式有（）A.梯形公式B.辛普森公式C.高斯積分公式D.中矩形公式4.迭代法收斂性判定的方法有（）A.譜半徑判定B.誤差估計判定C.單調(diào)性判定D.函數(shù)值判定5.求解線性方程組的迭代法有（）A.雅可比迭代B.高斯-賽德爾迭代C.超松弛迭代D.共軛梯度法6.非線性方程求根的方法有（）A.二分法B.迭代法C.牛頓迭代法D.弦截法7.數(shù)值微分的主要方法有（）A.向前差商B.向后差商C.中心差商D.高階差商8.計算矩陣特征值的方法有（）A.冪法B.反冪法C.QR算法D.雅可比方法9.函數(shù)逼近常用的正交多項式有（）A.勒讓德多項式B.切比雪夫多項式C.拉蓋爾多項式D.埃爾米特多項式10.分段插值的優(yōu)點有（）A.簡單易算B.可以避免龍格現(xiàn)象C.精度更高D.適用于各種情況答案：1.ABCD2.ABCD3.ABCD4.AB5.ABCD6.ABCD7.ABC8.ABCD9.ABCD10.AB三、判斷題（每題2分，共10題）1.模型誤差不可避免。（）2.拉格朗日插值多項式次數(shù)越高，精度一定越高。（）3.數(shù)值積分公式的代數(shù)精度越高越好。（）4.迭代法只要迭代次數(shù)足夠多就一定收斂。（）5.雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法一定同時收斂或同時發(fā)散。（）6.二分法適用于所有非線性方程求根。（）7.牛頓迭代法一定收斂到方程的根。（）8.數(shù)值微分得到的是導(dǎo)數(shù)的近似值。（）9.冪法可用于求矩陣的所有特征值。（）10.分段線性插值一定比高次插值效果好。（）答案：1.√2.×3.×4.×5.×6.×7.×8.√9.×10.×四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述計算方法中誤差的分類及特點答：誤差分為模型誤差、觀測誤差、截斷誤差和舍入誤差。模型誤差由數(shù)學(xué)模型與實際問題差異產(chǎn)生；觀測誤差因測量工具等產(chǎn)生；截斷誤差是近似算法截斷無限過程導(dǎo)致；舍入誤差由數(shù)值運(yùn)算中數(shù)據(jù)位數(shù)截斷引發(fā)。2.簡述牛頓迭代法的基本思想答：牛頓迭代法基于切線近似曲線思想。對于非線性方程$f(x)=0$，在初始值$x_0$處，用$f(x)$在$x_0$的切線與$x$軸交點近似方程的根，得到迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，重復(fù)迭代逼近根。3.簡述數(shù)值積分的基本原理答：數(shù)值積分基本原理是用一些節(jié)點處函數(shù)值的線性組合近似代替函數(shù)積分值。通過選取適當(dāng)?shù)墓?jié)點和對應(yīng)的權(quán)系數(shù)，構(gòu)造積分公式。比如梯形公式用兩個端點函數(shù)值的線性組合近似積分，辛普森公式用三個節(jié)點函數(shù)值組合。4.簡述共軛梯度法的優(yōu)點答：共軛梯度法優(yōu)點在于無需存儲系數(shù)矩陣的全部元素，存儲量小。它適用于求解大型稀疏線性方程組，迭代收斂速度相對較快，迭代過程能利用前面迭代信息調(diào)整搜索方向，一定程度上提高效率。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論在實際應(yīng)用中，如何選擇合適的插值方法答：要根據(jù)具體需求選。若數(shù)據(jù)點少、追求簡單，拉格朗日插值合適；數(shù)據(jù)多且需考慮精度和趨勢，分段插值（如分段線性、分段三次樣條）較好，能避免高次插值的龍格現(xiàn)象。若有導(dǎo)數(shù)條件，用埃爾米特插值；需平滑逼近，樣條插值更優(yōu)。2.討論數(shù)值方法在大規(guī)模數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用及挑戰(zhàn)答：數(shù)值方法在大規(guī)模數(shù)據(jù)處理中可用于數(shù)據(jù)擬合、數(shù)據(jù)降維等。利用插值、擬合函數(shù)處理數(shù)據(jù)分布；奇異值分解等進(jìn)行降維。挑戰(zhàn)在于計算量大、內(nèi)存需求高，算法的收斂性和穩(wěn)定性也會受大規(guī)模數(shù)據(jù)影響，還需兼顧效率與精度平衡。3.討論迭代法收斂速度對計算結(jié)果的影響答：收斂速度快可在較少迭代次數(shù)內(nèi)得到高精度解，節(jié)省計算時間和資源。如牛頓迭代法收斂快，在短時間能逼近方程根。而收斂速度慢則需大量迭代，不僅耗費(fèi)時間，還可能因舍入誤差積累導(dǎo)致結(jié)果精度下降或求解失敗，影響