高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期模擬沖刺數(shù)學(xué)試題（二）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知向量，，，則（）A. B.8 C. D.4【答案】A【解析】由向量，，得，而，所以.故選：A2.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，故，其虛部為．故選：C．3.已知集合，，若，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，又，，所以，解得.故選：B.4.已知點在橢圓上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】將點的坐標(biāo)代入橢圓方程，得:，因為，所以，所以橢圓方程，其中，故離心率.故選：C.5.已知，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，由知，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則的最大值為.故選：B．6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】構(gòu)建函數(shù)，則，令，得；令，得；可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，由正弦函數(shù)的有界性可知，則，又因為，則，所以．故選：C．7.鬼工球，又稱同心球，要求制作者使用一整塊完整的材料，將其雕成每層均同球心的數(shù)層空心球．若鬼工球最內(nèi)層的空心球上有2個雕孔，且向外每層雕孔依次增加d個（d為常數(shù)）．現(xiàn)制作3個層數(shù)分別為3，6，m的鬼工球，其中6層的鬼工球比3層的鬼工球共多出30個雕孔，三個鬼工球之間的雕孔數(shù)相差最多者為36，則（）A.2 B.5 C.7 D.8【答案】A【解析】記從內(nèi)向外第n層鬼工球上的雕孔數(shù)量為，由題意知，，故對于一個n層的鬼工球，其雕孔數(shù)為，所以3層和6層的鬼工球的雕孔數(shù)分別為，，差值，解得，故，由于三個鬼工球之間的雕孔數(shù)相差最多者為36，若m在3，6之間，則相差最多者即層數(shù)為3，6的鬼工球，不符合題意；若m大于6，則相差最多者即層數(shù)為3，m的鬼工球，而即使m取最小值7，其雕孔數(shù)為56，而，不符合題意；若m小于3，則相差最多者即層數(shù)為m，6的鬼工球，由層數(shù)為6的鬼工球雕孔數(shù)為42知，層數(shù)為m的鬼工球雕孔數(shù)為6，故，解得（負(fù)值舍去）.故選：A．8.二項式定理與組合數(shù)聯(lián)系十分緊密，我們可以借助二項式來研究組合數(shù)中的某些性質(zhì)，進(jìn)而得到一些結(jié)論，例如，對于n次二項式，取，可以得到．類比此方法，可以求得（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，令，得，令，得，兩式做差，可得，因此，.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.農(nóng)業(yè)稅自古以來就被稱為皇糧國稅，2006年正式?jīng)Q定全面取消農(nóng)業(yè)稅.某縣為了了解取消農(nóng)業(yè)稅前后農(nóng)民每畝地的收入（單位：萬元）發(fā)生了怎樣的變化，通過抽樣調(diào)查后發(fā)現(xiàn)取消農(nóng)業(yè)稅之前農(nóng)民每年每畝地的收入X服從正態(tài)分布，取消之后每年每畝地的收入Y服從正態(tài)，已知Y的正態(tài)密度曲線的峰值高于X的正態(tài)密度曲線的峰值，則（）A. B.C. D.，【答案】AC【解析】由正態(tài)分布的對稱性得，而，故A正確，B錯誤；由Y的正態(tài)密度曲線的峰值高于X，峰值越高對應(yīng)方差越小，即，故，故C正確；如圖，由于Y的方差更小，所以其正態(tài)密度曲線遞減速度更快，當(dāng)n取較大的正數(shù)時，故D錯誤，故選：AC10.如圖，在五面體ABCDE中，是邊長為4的等邊三角形，四邊形BCDE是等腰梯形，，則（）A.平面ABCB.平面ABEC.存在這樣的五面體ABCDE，滿足平面平面BCDD.存在這樣的五面體ABCDE，滿足平面平面ACD【答案】ACD【解析】由題設(shè)，平面沿翻轉(zhuǎn)與平面形成一定夾角構(gòu)成五面體ABCDE，由題意，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，A正確；延長CD，BE交于點F，若平面ABE，平面ABE，則，由平面幾何知識易知，故CD不垂直于平面ABE，B錯誤；取DE的中點G，BC的中點H，連接AG、GH、AH，則為平面ADE與平面BCD所成角的平面角，由題意，點G可看作在平面AGH內(nèi)以H為圓心，GH為半徑的圓上的一點，由于，必存在直線AG與該圓相切，存在，顯然為等腰三角形，則，都在平面內(nèi)，所以平面，平面，則平面平面BCD，故存在這樣五面體ABCDE，C正確；取AF的中點I，連接BI、CI，則為平面ABE與平面ACD所成角的平面角，當(dāng)，即時，，即，又，都在平面內(nèi)，則平面，平面，所以平面平面ACD，此時，故存在這樣的五面體ABCDE，D正確．故選：ACD11.已知定義在上的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足當(dāng)時，，當(dāng)時，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，若，不妨令，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，，則，不滿足，故A錯誤，對于B，由，，，由歸納可得，，故B正確；對于C，由已知得，，故，則，故C正確；對于D，當(dāng)時，若，則，設(shè)，則，故，故，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故滿足時，，此時，不滿足，故D錯誤．故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.拋物線C：的焦點F到直線的距離為______．【答案】【解析】易得拋物線的焦點F的坐標(biāo)為，故點F到直線的距離.故答案為：.13.已知在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足，，且，則______．【答案】【解析】因為，所以由正弦定理可得，且，故，，，所以由余弦定理可得．故答案為：.14.已知函數(shù)，若，使得有三個零點，則a的取值范圍為______，在這三個零點處的切線斜率的倒數(shù)之和為______．【答案】①.②.0【解析】因為有三個零點，且，所以有兩個不相等的實數(shù)根，所以，解得，故a的取值范圍為．由題得，所以，同理，，故．故答案為：，0．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程和解題步驟．15.已知數(shù)列滿足，且是以為公比的等比數(shù)列．（1）求數(shù)列中的最值；（2）求數(shù)列的前項和．解：（1）因為，，所以數(shù)列是以為首項、為公比的等比數(shù)列．故，即，易得數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列有最大值，無最小值．（2）易得，，則，兩式相減得，則．16.如圖，在四棱錐中，平面平面PAD，底面ABCD與側(cè)面PAD均為邊長為2的正多邊形，點E是線段PA的中點．（1）求三棱錐的體積；（2）求直線PA與平面BCE所成角的正弦值．解：（1）因為側(cè)面PAD為正三角形，取AD的中點F，連接PF，則，因為平面平面PAD，平面平面，平面PAD，故平面ABCD，由于E是線段PA的中點，故．（2）以F為坐標(biāo)原點，，，的正方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則，，，設(shè)平面BCE的法向量為，則，令，則，，故平面BCE的一個法向量為，設(shè)直線PA與平面BCE所成的角為，則，故直線PA與平面BCE所成角正弦值為．17.已知曲線，，點是上一點．（1）證明：點到直線的距離與之比是定值，并求出該定值；（2）過點作直線與C交于另一點，若直線與的斜率之和為0，求的值．（1）證明：如圖，設(shè)點，點到直線的距離為，則，則點A到直線的距離與的比值，為定值．（2）解：由斜率公式得的斜率為，的斜率為，而是C上一點，則，得到，因為直線與的斜率之和為0，所以，則，同時平方得，得到，即，而在上，則，即，同時平方得，代入得，由已知可得，解得，而在上，則，解得，又在上，則，而，解得（正值舍去）．18.已知一款游戲以抽獎形式獲得某種獎品，每次抽獎分為中獎和不中獎兩種結(jié)果，現(xiàn)在利用偽隨機算法進(jìn)行若干次抽獎，假定中獎后就不再繼續(xù)抽獎，設(shè)是第一次抽獎中獎的概率，此后若前次抽獎均未中獎，則進(jìn)行第n次抽獎時中獎的概率滿足其中時一定中獎，設(shè)從第一次抽獎開始，第一次中獎時抽獎的次數(shù)為X．（1）當(dāng)時，求X的分布列和期望；（2）當(dāng)X的期望為2時，證明：．（1）解：由題意可得，，，，故分布列為X1234P．（2）證明：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，，因此；③當(dāng)時，，設(shè)，則，故時，隨p增大而減小，而，故存在，使得；④當(dāng)時，，由于，，故，因此，故．綜上，．19.已知一個非空數(shù)集A，對，且，記B為A去掉x，y后的集合，若有或，則稱A是一個好集合．對于一個非空數(shù)集P，對，且，記Q為P去掉x，y后的集合，若有或或，則稱P是一個壞集合．（1）證明：集合不是好集合；（2）若A是好集合，證明：存在一個與A中元素個數(shù)相同且僅由正實數(shù)構(gòu)成的壞集合P；（3）證明：不存在有限的好集合A，滿足A中的元素均為正實數(shù)，且A中的元素個數(shù)為大于5的奇數(shù)．證明：（1）取，，記，則，，故A不是好集合．（2）記集合，則P中元素均為正數(shù)，且與集合A中元素個數(shù)相同，下證P為壞集合，因為A為好集合，所以，且，都有或（其中B為A去掉a，b后的集合），設(shè)Q為P去掉，后的集合，此時，，，若，則；若，則與必然有一個屬于Q，故P為壞集合，命題得證．（3）假設(shè)存在這樣的有限集A，使得A中的元素均為正實數(shù)，元