高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省三門峽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期5月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚．3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將答題卡交回．第I卷（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.對(duì)兩個(gè)變量的三組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到以下散點(diǎn)圖，關(guān)于兩個(gè)變量相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由散點(diǎn)圖可知第1個(gè)圖表示的正相關(guān)，故；第2，3圖表示的負(fù)相關(guān)，且第2個(gè)圖中的點(diǎn)比第3個(gè)圖中的點(diǎn)分布更為集中，故，且，故，綜合可得，即，故選：C2.計(jì)算（）A.34 B.35 C.68 D.70【答案】A【解析】由組合數(shù)性質(zhì)得故選：A.3.某個(gè)彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中的位移（單位：）關(guān)于時(shí)間（單位：）的函數(shù)滿足關(guān)系式，則時(shí)，彈簧振子瞬時(shí)速度是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)已知求導(dǎo)得，則，所以此時(shí)彈簧振子瞬時(shí)數(shù)度為.故選：D.4.已知二項(xiàng)式（其中且）的展開式中與的系數(shù)相等，則的值為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】因?yàn)榍?，由題意知，得，求得，故選：.5.如圖，現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)4個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，所有的著色方法數(shù)為（）A.120 B.180 C.240 D.300【答案】C【解析】故選:C.6.某超市銷售的袋裝大米的質(zhì)量M（單位：kg）服從正態(tài)分布,，若從該超市中隨機(jī)選取60袋大米，則質(zhì)量在的袋數(shù)的方差為（）A.9.6 B.14.4 C.24 D.48【答案】B【解析】根據(jù)題意，因，且，由正態(tài)分布的性質(zhì)，則有，設(shè)質(zhì)量在的袋裝大米的袋數(shù)為，則，所以.故選：B7.當(dāng)兩個(gè)變量呈非線性相關(guān)時(shí)，有些可以通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換進(jìn)行線性相關(guān)化，比如反比例關(guān)系，可以設(shè)一個(gè)新的變量，這樣與之間就是線性關(guān)系．下列表格中的數(shù)據(jù)可以用非線性方程進(jìn)行擬合，1234562.53.64.45.46.67.5用線性回歸的相關(guān)知識(shí)，可求得的值約為（）A.2.98 B.2.88 C.2.78 D.2.68【答案】B【解析】設(shè)，則，則1491625362.53.64.45.46.67.5則，，則．故選：B.8.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（）A.函數(shù)的最大值為1B.函數(shù)最小值為1C.函數(shù)的最大值為1D.函數(shù)的最小值為1【答案】C【解析】AB選項(xiàng)，由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯(cuò)誤，對(duì)于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知某地區(qū)十二月份的晝夜溫差，，該地區(qū)某班級(jí)十二月份感冒的學(xué)生有10人，其中有6位男生，4位女生，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.從這10人中隨機(jī)抽取2人，其中至少抽到一位女生的概率為D.從這10人中隨機(jī)抽取2人，其中女生人數(shù)期望為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，故A正確；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，服從超幾何分布，其中，，，所以，故D正確.故選ABD.10.定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心．已知函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為，則下列說(shuō)法中正確的有（）A. B.的極大值與極小值之和為6C.有三個(gè)零點(diǎn) D.對(duì)于任意實(shí)數(shù)過(guò)的切線有且只有一條【答案】BD【解析】對(duì)于A中，因，可得且，令，即，可得，由函數(shù)的對(duì)稱中心為，可得，解得，又由，所以A不正確；對(duì)于B中，由A知，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值為，極小值為，所以極大值與極小值之和為，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以C不正確；對(duì)于D中，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，得到，即切線的斜率為，則切線方程為，將代入切線方程，可得，令，可得，所以函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以與的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)過(guò)的切線有且只有一條，所以D正確.故選：BD.11.已知編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球.若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從該盒子中任取一個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在第一次抽到2號(hào)球的條件下，第二次抽到1號(hào)球的概率為B.第二次抽到3號(hào)球的概率為C.如果第二次抽到的是3號(hào)球，則它來(lái)自1號(hào)盒子的概率最大D.如果將5個(gè)不同的小球放入這三個(gè)盒子內(nèi)，每個(gè)盒子至少放1個(gè)，則不同的放法有180種【答案】ABC【解析】記第一次抽到第號(hào)球的事件分別為則有對(duì)于A，在第一次抽到2號(hào)球的條件下，將2號(hào)球放入2號(hào)盒子內(nèi)，因此第二次抽到1號(hào)球的概率為故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B，記第二次在第號(hào)盒子內(nèi)抽到3號(hào)球的事件分別為而兩兩互斥，和為，即第二次抽到3號(hào)球的事件為，，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，記第二次在第號(hào)盒子內(nèi)抽到3號(hào)球的事件分別為而兩兩互斥，和為，記第二次抽到3號(hào)球的事件為，,第二次的球取自盒子的編號(hào)與第一次取的球的號(hào)碼相同，即如果第二次抽到的是3號(hào)球，則它來(lái)自1號(hào)盒子的概率最大，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，把5個(gè)不同的小球分成3組的不同分組方法數(shù)是種，將每一種分組方法分成的小球放在3個(gè)盒子中有種不同方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的放法種數(shù)是種，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的最小值為0，則_______.【答案】【解析】因?yàn)?，所?若，則在上單調(diào)遞減，無(wú)最小值.若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為：13.的展開式中，若的奇數(shù)次冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則________．【答案】【解析】由已知得，故的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)分別為，，，，，其系數(shù)之和為，解得．14.10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，5天吃完，有______種方法；若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，直到吃完為止又有______種方法．（用數(shù)字作答）【答案】126；512【解析】由題知，關(guān)于空1：若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，5天吃完，將10塊巧克力排成一排，共有9個(gè)空格，分成5份，只需4個(gè)隔板，所以共有種方法；關(guān)于空2：若10塊相同的巧克力，每天至少吃一塊，直到吃完為止，至多吃10天，至少吃1天，當(dāng)1天吃完時(shí)，共種方法，當(dāng)2天吃完時(shí)，將10塊巧克力排成一排，共有9個(gè)空格，分成2份，只需1個(gè)隔板，所以有種方法，當(dāng)3天吃完時(shí)，需要分成3份，只需2個(gè)隔板，所以有種方法，當(dāng)4天吃完時(shí)，需要分成4份，只需3個(gè)隔板，所以有種方法，……，當(dāng)10天吃完時(shí)，需要分成10份，只需9個(gè)隔板，所以有種方法，綜上：共有種方法。故答案為：126；512四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．（1）求在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間．解：（1）因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，所以在處的切線斜率為，而故所求的切線方程為，即．（2）因?yàn)椋x域?yàn)樗詆解得，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．16.2024年兩會(huì)期間民生問(wèn)題一直是百姓最關(guān)心的熱點(diǎn)，某調(diào)查組利用網(wǎng)站從參與調(diào)查者中隨機(jī)選出200人，數(shù)據(jù)顯示關(guān)注此問(wèn)題的約占，并將這200人按年齡分組，第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．（1）求；（2）估計(jì)參與調(diào)查者的平均年齡；（3）把年齡在第1，2，3組的居民稱為青少年組，年齡在第4，5組的居民稱為中老年組，若選出的200人中不關(guān)注民生問(wèn)題的中老年人有10人，問(wèn)是否有的把握認(rèn)為是否關(guān)注民生與年齡有關(guān)？附：．0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1），（2）估計(jì)參與調(diào)查者的平均年齡為：41.5歲．（3）選出的200人中，各組的人數(shù)分別為：第1組：人，第2組：人，第3組：人，第4組：人，第5組：人，青少年組有人，中老年組有人，參與調(diào)?者中關(guān)注此問(wèn)題的約占，有人不關(guān)心民生問(wèn)題，選出的200人中不關(guān)注民生問(wèn)題的青少年有30人，列聯(lián)表如下：關(guān)注民生問(wèn)題不關(guān)注民生問(wèn)題合計(jì)青少年9030120中老年701080合計(jì)16040200有的把握認(rèn)為是否關(guān)注民生與年齡有關(guān)．17.某地政府為解除空巢老人日常護(hù)理和社會(huì)照料的困境，大力培育和發(fā)展養(yǎng)老護(hù)理服務(wù)市場(chǎng).從2016年開始新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)，下表為該地區(qū)近7年新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的數(shù)量對(duì)照表.年份2016201720182019202020212022年份代碼（x）1234567新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)（y）（1）已知兩個(gè)變量與之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此估計(jì)2023年即時(shí)，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的數(shù)量；（結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）（2）若該地區(qū)參與社區(qū)養(yǎng)老的老人的年齡近似服從正態(tài)分布,其中年齡的有54人,試估計(jì)該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少人？(結(jié)果按四舍五入取整數(shù))參考公式與數(shù)據(jù)：①，②若隨機(jī)變量，則，，③，解：（1），由于，，∴,∵，∴，∴，∴回歸方程，當(dāng)時(shí)，.（2）由該地區(qū)參與社區(qū)養(yǎng)老的老人的年齡近似服從正態(tài)分布，故，,該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有（人）,該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人約有2523人.18.2024年春晚為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)精彩紛呈的視覺盛宴，同時(shí)，也是傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代科技完美融合的展現(xiàn)．魔術(shù)師劉謙為大家呈現(xiàn)了一個(gè)精妙絕倫的魔術(shù)《守歲共此時(shí)》，小明深受啟發(fā)，在家嘗試對(duì)這個(gè)魔術(shù)進(jìn)行改良，小明準(zhǔn)備了甲、乙兩個(gè)一模一樣的袋子，甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個(gè)，其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)分別為2，3，4．乙袋中紅色、黑色、白色小球的個(gè)數(shù)均為3，小明用左右手分別從甲、乙兩袋中取球．（1）若左右手各取一球，求兩只手中所取的球顏色不同的概率；（2）若左手取完兩球后，右手再取兩球，稱同一手中兩球顏色相同的取法為成功取法，記兩次取球（左右手完成各取兩球?yàn)閮纱稳∏颍┑某晒θ》ù螖?shù)的隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）記事件為“兩手所取的球不同色”，事件是兩手所取球顏色相同，則，所以．（2）左手所取的兩球顏色相同的概率為，右手所取的兩球顏色相同的概率為，依題意，的可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為：012所以．19.固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)．它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)．（1）類比正、余弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，，，請(qǐng)寫出，具有的類似的性質(zhì)（不需要證