高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省商開(kāi)大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.4．本卷命題范圍：人教A版必修第一冊(cè)第一章～第三章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得則故選：C2.已知，，，均為實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，則【答案】A【解析】對(duì)于A，根據(jù)同向不等式具有可加性可知A正確；對(duì)于B，，，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，得，故D錯(cuò)誤．故選：A．3.下列函數(shù)中，與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】的定義域?yàn)椋畬?duì)于A，的定義域?yàn)?，與的定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于B，定義域?yàn)?，與的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，與的定義域不同，不是同一函數(shù)；對(duì)于D，與的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)．故選：B．4.已知p：q：，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，所以充分性滿足，當(dāng)時(shí)，取，此時(shí)不滿足，所以必要性不滿足，所以是的充分不必要條件，故選：A.5.已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則等于（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以．而，∴．故選：C．6.若，則（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值【答案】B【解析】因?yàn)?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即：時(shí)取等號(hào).所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：B.7.已知函數(shù)的圖象由如圖所示的兩條曲線組成，則（）A. B.是單調(diào)增函數(shù)C.的定義域是 D.的值域是【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由圖象可得，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，，，故不是單調(diào)增函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由圖象可得的定義域?yàn)?，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由圖象可得的值域?yàn)椋珼正確．故選：D．8.若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由可得且可得或，解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)A：∵，則在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，又∵在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞增，則在R上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)B：∵，則在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞增，B正確；對(duì)C：∵，則在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，又∵當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，C正確；對(duì)D：∵，則在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤；故選：BC.10.下列關(guān)于冪函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)，B.當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)第一、三象限C.當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)D.若，則冪函數(shù)的圖象不過(guò)點(diǎn)【答案】BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象不過(guò)點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，冪指數(shù)時(shí)，冪函數(shù)分別為，，，三者皆為奇函數(shù)，圖象都經(jīng)過(guò)第一、三象限，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在，上皆單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則函數(shù)圖象不過(guò)點(diǎn)，D正確．故選：BD．11.下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小值是2B.若，則C.若，則的最小值為2D.若，則【答案】BD【解析】對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，可得，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以B正確；對(duì)于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程無(wú)解，即等號(hào)不成立，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以D正確.故選BD．12.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若?duì)任意，存在正數(shù)M，使得成立，則稱函數(shù)是定義在上的“有界函數(shù)”.則下列函數(shù)是“有界函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A，，由于，所以，所以，故不存在正數(shù)M，使得成立.對(duì)于B，令，則，，所以，故存在正數(shù)1，使得成立.對(duì)于C，令，則，易得.所以，即，故存在正數(shù)5，使得成立.對(duì)于D，令，則，，則，易得，所以，故存在正數(shù)，使得成立.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知命題：，，則為_(kāi)_____．【答案】，【解析】因?yàn)椋?，，所以為，．故答案為：?14.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)____________.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，只需解得：且，從而的定義域?yàn)?故答案為：15.已知函數(shù)滿足下列3個(gè)條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②函數(shù)在上單調(diào)遞增；③函數(shù)無(wú)最值．請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的函數(shù)的解析式：______．【答案】（答案不唯一）【解析】由的圖象關(guān)于軸對(duì)稱知為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，無(wú)最值，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知滿足題意的一個(gè)函數(shù)為.故答案為：（答案不唯一）16.已知函數(shù)，則不等式的解集是____________.【答案】【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以是偶函?shù).又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)全集，集合，．（1）求；（2）設(shè)集合，若恰有2個(gè)子集，求的值．解：（1），解得或4，則；由，解得或，則或；所以，或．（2）因?yàn)榍∮?個(gè)子集，所以僅有一個(gè)元素．，當(dāng)時(shí)，，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，，滿足題意．綜上，的值為2或4．18.已知函數(shù)．（1）求證：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．（1）證明：，且，有．由，且，得，，，所以，即．所以在上單調(diào)遞減．同理，當(dāng)，且，有．故在上單調(diào)遞增．（2）解：由（1）得在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．，，所以．故函數(shù)的值域?yàn)椋?9.設(shè)函數(shù).（1）若關(guān)于的不等式的解集為，求的解集；（2）若時(shí)，，求的最小值.解：（1）由題知的兩個(gè)根分別是，3，則，解得故，，解得.所求解集為.（2）時(shí)，，即，所以有，那么，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故的最小值為9.20.已知集合，．（1）若，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，設(shè)：，，求證：成立的充要條件為．（1）解：．因?yàn)?，均有，所以．?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得，所以．綜上，，即的取值范圍是．（2）證明：充分性：當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以，為真命題，充分性成立；必要性：若：，為真命題，則：，為假命題．先求：，為真命題時(shí)的范圍，因?yàn)?，所以，由：，，得．則或，解得或，所以．因?yàn)椋?，為假命題，所以.綜上，若，則成立的充要條件為．21.某市財(cái)政下?lián)軐？?00百萬(wàn)元，分別用于植綠護(hù)綠和處理污染兩個(gè)生態(tài)維護(hù)項(xiàng)目，植綠護(hù)綠項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的生態(tài)收益可表示為投放資金（單位：百萬(wàn)元）的函數(shù)（單位：百萬(wàn)元）：，處理污染項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的生態(tài)收益可表示為投放資金（單位：百萬(wàn)元）的函數(shù)（單位：百萬(wàn)元）：.設(shè)分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目的資金為（單位：百萬(wàn)元），兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目五年內(nèi)帶來(lái)的生態(tài)收益總和為（單位：百萬(wàn)元）.（1）將表示成關(guān)于的函數(shù)；（2）為使生態(tài)收益總和最大，對(duì)兩個(gè)生態(tài)項(xiàng)目的投資分別為多少？解：（1）若分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目的資金為百萬(wàn)元，則分配給處理污染項(xiàng)目的資金為百萬(wàn)元，∴.（2）由（1）得（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），∴分配給植綠護(hù)綠項(xiàng)目20百萬(wàn)元，處理污染項(xiàng)目80百萬(wàn)元，生態(tài)收益總和最大.22.設(shè)函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）若對(duì)，關(guān)于的不等式有解，求的最大值.解（1）