高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分高中協(xié)作體2025屆高三下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，可知A圖象定義域不滿足條件；B圖象不滿足函數(shù)的值域；C圖象滿足題目要求；D圖象，不是函數(shù)的圖象；故選：C．2.已知，則的值為（）A. B.C. D.－【答案】B【解析】.故選：B3.已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（）A.內(nèi)心 B.垂心 C.重心 D.邊的中點(diǎn)【答案】C【解析】由動(dòng)點(diǎn)滿足，且，所以三點(diǎn)共線，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的邊的中線，所以點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的重心.故選：C.4.如圖，若正四棱柱的底邊長(zhǎng)為1，，E是的中點(diǎn)，則到平面EAC的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)檎睦庵走呴L(zhǎng)為1，且，所以，則，所以，設(shè)平面EAC的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，因?yàn)?，且平面EAC，平面EAC，所以平面EAC，所以到平面EAC的距離即為點(diǎn)到平面EAC的距離，即，故選：D5.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個(gè)半徑為的圓B.是一條與相交的直線C.上的點(diǎn)到的距離均為.D.是兩條平行直線【答案】C【解析】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡(jiǎn)得，即的軌跡為直線且與直線平行，上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.6.某跳水運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)跳板后，他達(dá)到的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式是h（t）＝10﹣4.9t2+8t（距離單位：米，時(shí)間單位：秒），則他在0.5秒時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒 D.2.75米/秒【答案】C【解析】函數(shù)關(guān)系式是，在秒的瞬時(shí)速度為故選：．7.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.4 B.17 C.68 D.136【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，即?故選：C8.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15、17、14、10、15、17、17、16、14、12，設(shè)其平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將這些數(shù)從小到大重新排列為：10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，故其中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】由得，當(dāng)時(shí)，由得，即，可得，當(dāng)時(shí)，由得，即，所以，故AD正確；.由得，且與同號(hào)，即，所以與異號(hào)，即與同號(hào)，由得，故B錯(cuò)誤；故C正確；故選：ACD.10.（多選題）下列命題正確的是（）A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量B.零向量的長(zhǎng)度等于0C.若都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D.若則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榕c都是單位向量，所以只有當(dāng)與是相反向量，即與是反向共線時(shí)，才成立，故C正確；對(duì)于D，由向量相等的定義知結(jié)論正確，故D正確.故選：BCD.11.已知(a＋b)n的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n的值可以為（）A.7 B.8C.9 D.10【答案】ABC【解析】若展開(kāi)式只有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則，解得：n＝8；若展開(kāi)式第四項(xiàng)和第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則，解得：n＝7；若展開(kāi)第五項(xiàng)和第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則，解得：n＝9；故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12.已知直線和平面，若，且直線在平面內(nèi)，則直線與平面的位置關(guān)系是__________【答案】或.【解析】當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，滿足題中條件.綜上，直線與平面的位置關(guān)系是或.故答案：或.13.已知點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程為_(kāi)_____________________.【答案】或【解析】①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)顯然成立，此時(shí)的方程為．②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，即，由點(diǎn)到直線的距離公式得，，解得，．故所求的方程為或．故答案為：或．14.滿足，且關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)一定有解；此時(shí)，0，1，2；即，，，四種；當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，，則．當(dāng)，1，2時(shí)，此時(shí)，的對(duì)數(shù)為，，，，，，，，，共9種，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為13種，故答案為13．四、解答題：本題共5小題，共75分15.小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為萬(wàn)元．在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，萬(wàn)元；在年產(chǎn)量不小于8萬(wàn)件時(shí)，萬(wàn)元，每件產(chǎn)品售價(jià)為5元．通過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品當(dāng)年能全部售完．（1）寫出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x萬(wàn)件的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)=年銷售收入-固定成本-流動(dòng)成本)（2）年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：（1）因?yàn)槊考a(chǎn)品售價(jià)為5元，則x（萬(wàn)件）商品銷售收入為5x萬(wàn)元，依題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴．（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值9；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)即時(shí)，取得最大值.綜上所述，年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是15萬(wàn)元.16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．設(shè)M，N分別為PD，AD的中點(diǎn)．（1）求證：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱錐P-ABM的體積．（1）證明：∵分別為的中點(diǎn)，則∥.又∵平面，平面，∴∥平面.在中，，∴.又∵，∴∥∵平面，平面，∴∥平面.又∵，∴平面∥平面.（2）解：由（1）知，平面∥平面，∴點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.由已知，，，，∴，∴三棱錐的體積.17.已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．（1）證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；（2）若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．（1）證明：直線l的方程可化為y＝k（x＋2）＋1，故無(wú)論k取何值，直線l總過(guò)定點(diǎn)（－2，1）．（2）解：直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，則解得k≥0，故k的取值范圍是．（3）依題意，直線l在x軸上的截距為，在y軸上的截距為1＋2k，∴A，B（0，1＋2k）．又且1＋2k＞0，∴k＞0．故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4k＝，即k＝時(shí)，取等號(hào)．故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x－2y＋4＝0．18.已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R).（1）當(dāng)a＝時(shí)，求f(x)的極值；（2）討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).解：（1）當(dāng)a＝時(shí)，f(x)＝lnx－x，函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln2－1，無(wú)極小值.（2）由（1）知，函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0).當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)在定義域上無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，故函數(shù)在x＝處有極大值.綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)，且為x＝.19.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和記為（），滿足．（1）若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，求的取值范圍；（2）若，在數(shù)列的第n項(xiàng)與第項(xiàng)之間插入首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前n項(xiàng)，形成新數(shù)列，記數(shù)列的前n項(xiàng)