吉林省松原市2023?2024學年高二下學期期末測試數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．（

）A．6 B．7 C．8 D．92．已知，且，則（

）A． B． C． D．3．設的個位數(shù)為，則（

）A．269 B．270 C．279 D．2864．泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.若隨機變量服從二項分布，當很大且很小時，二項分布近似于泊松分布，其中，即.現(xiàn)已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個該種元件，則次品率不超過的概率約為（參考數(shù)據(jù):）（

）A． B． C． D．5．設等比數(shù)列的前項和為，且，則的公比為（

）A．1或 B．1或3 C．或 D．或36．某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學進行教學交流，每所中學至少派1名教師，則不同的分配方法有（

）A．80種 B．90種 C．120種 D．150種7．若直線是曲線與的公切線，則直線的方程為（

）A． B．C． D．8．已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列結論不正確的是（

）A．兩個變量的線性相關系數(shù)決定兩變量相關程度的強弱，且相關系數(shù)越小，相關性越強B．若兩個變量的線性相關系數(shù)，則與之間不具有線性相關性C．在一組樣本數(shù)據(jù)中，先剔除部分異常數(shù)據(jù)，再根據(jù)最小二乘法求得線性回歸方程為，這樣相關系數(shù)變大D．在一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為10．若函數(shù)在區(qū)間上有極值，則a的取值可能為（

）A． B． C． D．11．袋中共有5個除顏色外完全相同的球，其中有3個紅球和2個白球，每次隨機取1個，有放回地取球，則下列說法正確的是（

）A．若規(guī)定摸到3次紅球即停止取球，則恰好取4次停止取球的概率為B．若進行了10次取球，記為取到紅球的次數(shù)，則C．若規(guī)定摸到3次紅球即停止取球，則在恰好取4次停止取球的條件下，第1次摸到紅球的概率為D．若進行了10次取球，恰好取到次紅球的概率為，則當時，最大三、填空題（本大題共3小題）12．已知一系列樣本點滿足，，由最小二乘法得到與的回歸方程，現(xiàn)用決定系數(shù)來判斷擬合效果（越接近1，擬合效果越好），若，則．（參考公式：決定系數(shù)）13．設是等差數(shù)列的前項和，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則的通項公式為.14．已知函數(shù)，若方程有兩個不同的根，則的取值范圍是.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．設依次是等比數(shù)列的前3項，其中為正數(shù).(1)求；(2)求數(shù)列的前項和.16．某校為了解學生閱讀文學名著的情況，隨機抽取了校內(nèi)200名學生，調(diào)查他們一年時間內(nèi)的文學名著閱讀的達標情況，所得數(shù)據(jù)如下表：閱讀達標閱讀不達標合計女生7030100男生4060100合計11090200(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為閱讀達標情況與性別有關聯(lián)?(2)從閱讀不達標的學生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法抽取6人進行座談，再從這6人中任選2人，記這2人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.附：，其中.0.0500.0100.0013.8416.63510.82817．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，求在上的最小值與最大值.18．某校為激發(fā)學生對天文、航天、數(shù)字科技三類知識的興趣，舉行了一次知識競賽（三類題目知識題量占比分別為，，）.甲回答這三類問題中每道題的正確率分別為，，.(1)若甲在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率.(2)知識競賽規(guī)則：隨機從題庫中抽取2n道題目，答對題目數(shù)不少于n道，即可以獲得獎勵.若以獲得獎勵的概率為依據(jù)，甲在和之中選其一，則應選擇哪個？19．羅爾中值定理是微分學中的一條重要定理，根據(jù)它可以推出拉格朗日中值定理和柯西中值定理，它們被稱為微分學的三大中值定理.羅爾中值定理的描述如下：如果函數(shù)滿足三個條件：①在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的，②在開區(qū)間內(nèi)是可導函數(shù)，③，那么在內(nèi)至少存在一點，使得等式成立.(1)設方程有一個正根，證明：方程必有一個小于的正根.(2)設函數(shù)是定義在上的連續(xù)且可導函數(shù)，且.證明：對于，方程在內(nèi)至少有兩個不同的解.(3)設函數(shù).證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一個零點.

參考答案1．【答案】D【分析】利用組合數(shù)公式及階乘運算計算即得.【詳解】.故選D.2．【答案】A【分析】根據(jù)分析可知，結合正態(tài)分布的對稱性運算求解.【詳解】因為，則，可知，又因為，所以.故選A.3．【答案】C【分析】運用列舉得出數(shù)列周期，然后運用周期性求和解題即可.【詳解】因為的個位數(shù)分別為，所以數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，所以.故選C.4．【答案】B【分析】100個元件，次品率不超過，即次品數(shù)為0或1，根據(jù)題干公式，求即可.【詳解】由題意知，則，所以.因為，所以次品率不超過的概率約為.故選B.5．【答案】D【分析】運用等比數(shù)列的性質(zhì)公式求解即可.【詳解】由，可得，則，故，解得或.故選D．6．【答案】D【分析】對5個人先進行兩種情況的分組，再進行全排列，即可得答案.【詳解】先對5個人先進行兩種情況的分組，一是分為1，1，3，有種，二是分為1，2，2，共有種，再分配，可得不同的分配方法有種.故選D.7．【答案】A【分析】設出直線與曲線和的切點分別為和，由公切線得到方程解出切點坐標，計算求解即可.【詳解】由，得，由，得.設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，故.又，解得，所以直線過點，斜率為1，即直線的方程為.故選A.8．【答案】D【分析】對展開式兩邊同時求導，再令即可求解得結果.【詳解】對兩邊求導，得.令，得.故選D.【方法總結】先對展開式的兩邊同時求導，然后令即可.9．【答案】ACD【分析】根據(jù)相關系數(shù)的概念和性質(zhì)逐項分析判斷.【詳解】對于A：越大，與之間的線性相關性越強，故A錯誤；對于B：若，則樣本數(shù)據(jù)不具有線性相關性，故B正確；對于C：去掉異常數(shù)據(jù)，則相關性變強，變大，故C錯誤；對于D：若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)完全相關，且正相關，所以這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為1，故D錯誤.故選ACD.10．【答案】BC【分析】將原函數(shù)存在極值點問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)有異號零點問題，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有交點問題，數(shù)形結合求解參數(shù)范圍，再結合選項判斷即可.【詳解】由函數(shù)得，因為函數(shù)在區(qū)間上有極值，所以在區(qū)間上有異號零點，即在區(qū)間上有異號根，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點，如圖：又，由圖象可知，，所以，結合選項知，a的取值可能為或.故選BC.11．【答案】BCD【分析】應用獨立事件概率乘積公式判斷A；根據(jù)n次獨立重復實驗計算判斷BD；計算條件概率判斷C.【詳解】每次取到紅球的概率為，若規(guī)定摸到3次紅球即停止，則恰好取4次停止取球的概率為，故A錯誤；，則，故B正確；記恰好取4次停止取球為事件，第1次摸到紅球為事件，則，，所以，故C正確；，當最大時，即所以即解得，又，所以，當為6時，最大，故D正確.故選BCD.12．【答案】0.96【分析】依據(jù)決定系數(shù)的公式計算即可.【詳解】因為．13．【答案】【分析】根據(jù)題意結合等差數(shù)列求和公式可得，結合題意解得，即可得通項公式.【詳解】設數(shù)列的公差為，則，可得.因為數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，則，解得，所以.14．【答案】【分析】由題意方程有兩個不同的根，等價于有兩個不同的根，進而解出的取值范圍；構造函數(shù)，求出最小值，由在上恒成立解出即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，方程有兩個不同的根，等價于有兩個不同的根，即直線與函數(shù)的圖象有兩個交點.因為，當；當.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，當時，，所以，故的取值范圍是；若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，令，則，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當時，；當時，，此時存在使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不滿足題意；當時，在上單調(diào)遞增，符合題意；當時，令，令，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上，.15．【答案】(1)；(2)【分析】（1）運用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可；（2）運用分組求和,結合對數(shù)性質(zhì)計算即可.【詳解】（1）依題意可得，整理得，解得或1.因為為正數(shù)，所以，所以的前3項依次是，所以.（2）由（1）知，所以，所以.16．【答案】(1)閱讀達標情況與性別有關聯(lián)；(2)分布列見詳解，【分析】（1）計算，根據(jù)小概率值作出結論；（2）由分層抽樣得出男女生人數(shù)，再由超幾何分布求出概率，列出分布列，求期望即可.【詳解】（1）零假設為：閱讀達標情況與性別無關，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為閱讀達標情況與性別有關聯(lián).（2）由題可知抽取的女生人數(shù)為，抽取的男生人數(shù)為，則的可能取值為，，，，所以的分布列如下：012故.17．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)答案見解析.【分析】（1）先求導函數(shù)再根據(jù)導數(shù)正負求出單調(diào)區(qū)間即可；（2）先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結合自變量的區(qū)間分類討論求最值即可；【詳解】（1）.令，得；令，得；令，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當時，,由（1）知，在處取得極大值，且極大值為.當時，在上單調(diào)遞增，.當時，，若，則，因為，所以.18．【答案】(1)(2)選【分析】（1）根據(jù)題意，由全概率公式即可得到結果；（2）當時，X為甲答對題目的數(shù)量，則，求出概率，當時，分情況分析，求出概率，再比較大小.【詳解】（1）設所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關知識的題目分別為事件，，，所選的題目回答正確為事件B，則，所以該同學在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為；（2）當時，X為甲答對題目的數(shù)量，則，故當時，甲獲得獎勵的概率，當時，甲獲得獎勵的情況可以分為如下情況：①前10題答對題目的數(shù)量大于等于6，②前10題答對題目的數(shù)量等于5，且最后2題至少答對1題，③前10題答對題目的數(shù)量等于4，且最后2題全部答對，故當時，甲獲得獎勵的概率，因為，即，所以甲應選.19．【答案】(1)證明見詳解(2)證明見詳解(3)證明見詳解【分析】（1）令函數(shù)，由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得；（2）令，由羅爾中值定理知，至少存在一個，使得，至少存在一個，使得，可得結論；（3）令，則，由羅爾中值定理知，存在，使得，故函數(shù)區(qū)間內(nèi)至少存在一個零點.【詳解】（1）證明：令函數(shù)，顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則，由條件知，由羅爾中值定理知，至少存在一點，使得，即方程必有一個小于的正根.（2）令，則.由，得，所以.因為，所以，由羅爾中值定理知，至少存在一個，使得，即.同理，因為，由羅爾中值定理知，至