壓軸專題10費(fèi)馬點(diǎn)模型

9技法全歸納

知識(shí)考點(diǎn)與解題策略

費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為費(fèi)馬點(diǎn).A

結(jié)論：

1）對(duì)于一個(gè)各角不超過120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120。的點(diǎn)；

2）對(duì)于有一個(gè)角超過120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).

（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120°）

【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

得出最短長(zhǎng)度.

【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論

如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB,交點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).

圖形結(jié)論

等腰三角形A①NAPB=NBPC=NAPC=120°；

②4ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

@AABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.

等邊三角形①AP=BP=CP；

②/APB=NBPC=NAPC=120°；

③AABP、AACP>4BCP全等；

W④點(diǎn)P是垂心，是aABC各邊的高線的交點(diǎn)；

⑤點(diǎn)P是4ABC各邊的中線的交點(diǎn)；

⑥點(diǎn)P是內(nèi)心，是在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的

交點(diǎn)；

⑦4ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.

直角三角形①4ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最??；

②/APB=/BPC=NAPC=120°

二BC

【進(jìn)階】

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問題線段前面系數(shù)都是1,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.

【模型拓展】

類型一單系數(shù)類

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，

類型二多系數(shù)類

其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。

以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例;

3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形。

例：已知：在Rt^ABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,aABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA,PB,PC

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得4CDE

小值盛BD長(zhǎng)度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=>/BC2+CD2=V61

BC

求PA+PB+V2PC△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得4CDE

最小值此時(shí)4PCE為等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,貝I）當(dāng)B、P、E、

四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求，在RtZkBF

C

B66oV

3招????..../3中有勾股定理可得BD=VBF2+FA=回

-%.

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得4CDE

最小值此時(shí)4PCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+百PC=ED+PB+PE,貝屋

B3Q。、C

B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所寸

在RtABFD中有勾股定理可得BD=，BF2FD2=

r+

V60+30V3

思路：原式=2(PA+^PB+?PC)

22

1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°,然后過點(diǎn)P作PFLCE」

點(diǎn)F,貝ijPF=3PC;2)扣B利用三角形中位線來處理；3：

PA前的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)4PCB.

過程：ABCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后才

點(diǎn)P作PFLCE于點(diǎn)F,此時(shí)4PCE為等邊三角形，跳

pF=V3pc過點(diǎn)F作FG〃DE,則FG=-PB,則當(dāng)A、P

22

F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，AG長(zhǎng)度即為所求，在I

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V345原式

=2(PA+-PB+^PC)=2734

過程：4ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后i

點(diǎn)P作PFLCE于點(diǎn)F,此時(shí)4PCE為等邊三角形，跳

PF=^PC,過點(diǎn)F作FG〃DE,貝I]FG=iAP,則當(dāng)B、P

22

F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BG長(zhǎng)度即為所求，在:F

△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=

(ipA+PB+^PC)=26

22

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行贏

可典題固基礎(chǔ)

例題1(24-25九年級(jí)上?江蘇鹽城?階段練習(xí))探究題

(1)知識(shí)儲(chǔ)備

①如圖1,已知點(diǎn)尸為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=PA.

②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)尸為△ABC的費(fèi)

馬點(diǎn)，此時(shí)以+PB+PC的值為△A8C的費(fèi)馬距離.

(2)知識(shí)遷移

我們有如下探尋△ABC(其中NA，ZB,NC均小于120。)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2,在△ABC的

外部以8C為邊長(zhǎng)作等邊△80及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段—的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離.

(3)知識(shí)應(yīng)用

①如圖3所示的△ABC(其中均小于120。)，AB=3,BC=4,ZABC=30°,現(xiàn)取一點(diǎn)尸，使點(diǎn)

P到A民。三點(diǎn)的距離之和最小，求最小值；

②如圖4,若三個(gè)村莊A3、C構(gòu)成尺也ABC,其中AC=6km,BC=40km,NC=9O°.現(xiàn)選取一點(diǎn)尸打水井，

使P點(diǎn)到三個(gè)村莊A&C鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，畫出點(diǎn)尸所對(duì)應(yīng)的位置，輸水管總長(zhǎng)度的最小值為

.(直接寫結(jié)果)

S新題型特加

1.如圖，在VABC中，ZC4B=90°,AB=AC=1,P是VABC內(nèi)一點(diǎn)，求B4+P3+PC的最小值為

2.如圖，在放AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作尸于點(diǎn)。，線段AO上

存在一點(diǎn)。，當(dāng)Q4+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，貝UPD=

3.如圖，在VABC中，ZACB=90°,44c=30。，AB=2.若點(diǎn)尸是VABC內(nèi)一點(diǎn)，則上l+PB+PC的

最小值為?

P

CA

4.（24-25江蘇泰州階段練習(xí)）問題背景：如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AADE,DE與BC

交于點(diǎn)尸，可推出結(jié)論：PA+PC=PE

問題解決：如圖，在AMNG中，MN=6,ZM=75°,MG=4也.點(diǎn)。是AMNG內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)。到AAWG

三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是

5.如圖，四邊形ABCD是菱形，A2=6,且/ABC=60。，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM,BM,CM,則

AM+BM+CM的最小值為.

6.（2025九年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為4的正VABC中有一點(diǎn)P,連接24、PB、PC,求

（r-\2

-AP+BP+^PC的最小值.

22

7.在DABC。中，ZABC=45°,連接AC,已知A2=AC=應(yīng)，點(diǎn)E在線段AC上，將線段DE繞點(diǎn)。順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°為線段OF.

B

圖1圖2圖3

(1)如圖1,線段AC與線段8￡)的交點(diǎn)和點(diǎn)E重合，連接E尸，求線段E尸的長(zhǎng)度；

⑵如圖2,點(diǎn)G為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，使得GC=EC,連接FG交相>于點(diǎn)求證：亞AH=CD;

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內(nèi)一點(diǎn)P,當(dāng)8尸+CP+VIB尸最小時(shí)，求的面積.

8.VABC中，48=60°.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,若AC>3C,CO平分/ACS交A3于點(diǎn)且4。=6區(qū)).證明：ZA=30°；

(2)如圖2,若AC<3C,取AC中點(diǎn)E,將CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至CF,連接班'并延長(zhǎng)至G,使3尸=尸6,

猜想線段A3、BC、CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3,若AC=3C,尸為平面內(nèi)一點(diǎn)，將AAB尸沿直線AB翻折至AABQ,當(dāng)3AQ+2BQ+JiiCQ取得

最小值時(shí)，直接寫出焉的值.

9.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)尸是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求PA+2PB+若PC的最小值.

10.【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶?德?費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形

內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”.

如圖，點(diǎn)尸是VABC內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到AAP'C',則可以構(gòu)造出等邊△的',得

AP=PP,CP=CP,所以24+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為PP+PB+PC的值，當(dāng)8,P,P',C四點(diǎn)共線時(shí)，

線段BC的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)尸為VABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

如圖1,點(diǎn)尸是等邊VABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接R4,PB,PC,將APAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AAP'C'.

①若以=3,則點(diǎn)P與點(diǎn)P之間的距離是

②當(dāng)%=3,PB=5,尸C=4時(shí)，求/APV的大小;

(2)如圖2,點(diǎn)P是VA2C內(nèi)的一點(diǎn)，且NA4c=90。，AB=6,AC=2。求+的最小值.

11.(八年級(jí)上?江蘇蘇州?期中)背景資料：在已知VABC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)

的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人

們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)如圖1，當(dāng)VABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在VABC內(nèi)部，當(dāng)

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120°時(shí),則PA+PB+PC取得最小值.

圖1圖2

(1)如圖2,等邊VABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求一AP3的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將AABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時(shí)AACP/△的這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段以、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出44PB=；

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與VABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下

問題.

⑵如圖3,VABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在VA2C外側(cè)作等邊三角形△ABE,連接CE,求證：CB'過VABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在RTAABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°,點(diǎn)尸為VABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP,

求上4+PB+PC的值.

(4)如圖5,在正方形A58中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接AE、BE、CE,且邊長(zhǎng)AB=2；^AE+BE+CE

的最小值.

12.【問題提出】

(1)如圖1,四邊形ABC。是正方形，是等邊三角形，/為對(duì)角線3。(不含8點(diǎn))上任意一點(diǎn)，將

繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到3N,連接EN、AM,CM.若連接跖V,則ABMN的形狀是.

(2)如圖2,在R/AABC中，ZBAC=90°,AB+AC=10,求3C的最小值.

【問題解決】

(3)如圖3,某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園ABC。，AB+8c=6千米，ZABC=60°,公園內(nèi)

有一個(gè)兒童游樂場(chǎng)E,分別從48、C向游樂場(chǎng)E修三條求三條路的長(zhǎng)度和(即AE+BE+CE)

最小時(shí)，平行四邊形公園A38的面積.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)。在x軸的正半軸上，=30°,OE

為△BOD的中線，過B、E兩點(diǎn)的拋物線y=o?+3x+c與x軸相交于A、下兩點(diǎn)(A在歹的左側(cè)).

6

(2)等邊△QMN的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及AM的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)、P為AABO內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)加=PA+P3+PO,請(qǐng)直接寫出，"的最小值，以及加取得最小值時(shí)，

線段AP的長(zhǎng).

14.【閱讀材料：】如圖①，AABC中，各個(gè)內(nèi)角均小于120。，在AABC內(nèi)找一點(diǎn)。，使

ZAOB=ZAOC=Z.COB=120°,止匕時(shí)；Q4+O3+OC最?。贿@個(gè)點(diǎn)。稱為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，OA+OB+OC

的值稱為“1BC的費(fèi)馬距離；(費(fèi)馬，17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家)

【費(fèi)馬點(diǎn)的求作及原理：】如圖②，在AABC的外側(cè)作等邊AABD、等邊AACE,連接CD、3E交于點(diǎn)O,

這個(gè)交點(diǎn)。就是AABC的費(fèi)馬點(diǎn)；

作圖原理：小明給了一些思路，請(qǐng)根據(jù)小明的思路，完成證明：

小明的部分證明思路：第一步，先證明右仞。絲448￡,...進(jìn)而得出/。。8=120。，第二

步，連接。4,并在線段。。上取一點(diǎn)。，使NOAQ=60。；…進(jìn)而得出/4。8=120。

第一步：;

第二步：.

【費(fèi)馬距離的計(jì)算：】連接Q4.

(1)證明：OA+OB+OC=CD-,

(2)當(dāng)鉆=4,8。=5,48。=60。時(shí)，求&4BC的費(fèi)馬距離.

15.1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,求

平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該

點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個(gè)頂點(diǎn)）

當(dāng)VABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，

如圖1,將繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AA'PC,連接尸P,

由尸C=PC,ZPCP'=60°,可知APCP為①三角形,故=又=故

PA+PB+PC=PA+PB+PP>AB,

由②可知,當(dāng)P,P',A在同一條直線上時(shí)，R4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為43,此時(shí)

的尸點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，5.^"ZAPC=ZBPC=ZAPB=@；

已知當(dāng)VA2C有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若/B4C2120。，

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為⑷點(diǎn).

（2汝口圖4,在VABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,已知點(diǎn)尸為VA3C的“費(fèi)

馬點(diǎn)”，求上4+尸3+尸（7的值；

（3）如圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km,8C=2百km,ZACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A,B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為a

元/km,。元/km,元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.（結(jié)果

用含a的式子表示）

16.（八年級(jí)上?江蘇南京?階段練習(xí)）背景資料：在已知VABC所在平面上求一點(diǎn)尸，使它到三角形的三個(gè)

頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的

點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)如圖1,當(dāng)VABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在VABC內(nèi)部，當(dāng)

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。時(shí)，貝！I+尸3+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊VABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求一AP3的度數(shù)，為

了解決本題,我們可以將“PB繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACT處，此時(shí)△ACP'四△APB這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段出、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出/4P3=.知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角

均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂

點(diǎn)與VABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn)，請(qǐng)同學(xué)們探索以下問題.

⑵如圖3,VABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在VABC外側(cè)作等邊三角形AAB?,連接CE,求證：CB,xtNABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=l,/ABC=30。，點(diǎn)P為VA2C的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP,

求上4+PB+PC的值.

17.(22-23八年級(jí)下?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí))背景資料：在已知VABC所在平面上求一點(diǎn)P,使它到三角形

的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的,

所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)如圖1,當(dāng)VABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在VABC內(nèi)部，當(dāng)

ZAPB=ZAPC=ZCPB=120。時(shí)，貝!J上4+尸3+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊VA3C內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求一AP3的度數(shù).為

了解決本題，我們可以將△APB繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到△ACP處，這樣就可以將三條線段R4、PB、PC

轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出ZAPB=_。.

(2)請(qǐng)利用第(1)題解答的思想方法，解答下面的問題：

①如圖3,VABC中，AB=AC,E、尸為BC邊上的點(diǎn)，且44F=45。，判斷BE、EF、之間的數(shù)量關(guān)

系并注明；

②如圖4,在VA3C中，ZABC=30°,AB=2,BC=3,在VABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接上4、PB、PC,求

B4+PB+PC的最小值.

18.若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120。，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為120。，此時(shí)該點(diǎn)叫

做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1,當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在AABC內(nèi)部，此時(shí)

ZAPB=ZBPC=ZCPA=120°,上4+尸3+PC的值最小.

⑴如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為3,4,5,求NAP3的度數(shù).為

了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△A8P繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，連接尸P,此時(shí)AAW/AAB尸，

這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段抬，PB,PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出Z4PB=.

(2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)3P,在射線8尸上取點(diǎn)E,連接AE,AD.^AD=AP,ZDAE=ZPAC,

求證：BE^PA+PB+PC.

⑶如圖4,在直角三角形ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,鉆=1,點(diǎn)尸為直角三角形ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，

連接AP,BP,CP,請(qǐng)直接寫出R4+PB+PC的值.

壓軸專題10費(fèi)馬點(diǎn)模型

技法全歸納

知識(shí)考點(diǎn)與解題策略

費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為費(fèi)馬點(diǎn).A

結(jié)論：

1）對(duì)于一個(gè)各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120。的點(diǎn)；

DC

2）對(duì)于有一個(gè)角超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).

（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120。）

【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

得出最短長(zhǎng)度.

【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論

如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB,交點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).

圖形結(jié)論

等腰三角形A①NAPB=NBPC=NAPC=120°；

②/\ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

@AABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.

等邊三角形①AP=BP=CP；

②NAPB=NBPC=NAPC=120°；

③AABP、AACP>4BCP全等；

④點(diǎn)P是垂心，是AABC各邊的高線的交點(diǎn)；

⑤點(diǎn)P是4ABC各邊的中線的交點(diǎn)；

⑥點(diǎn)P是內(nèi)心,是在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的

交點(diǎn)；

⑦4ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.

直角三角形A______E①4ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

y

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最?。?/p>

?ZAPB=ZBPC=ZAPC=120°

BC

【進(jìn)階】

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問題線段前面系數(shù)都是1,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.

【模型拓展】

類型一單系數(shù)類

當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，

類型二多系數(shù)類

其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。

以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)

中心呢？我們總結(jié)了以下方法：

1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；

3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形。

例：已知：在RtaABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA,PB,PC

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得4CDE

底

小值BD長(zhǎng)度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=V61

BC

求PA+PB+V2PC△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得4CDE

y

最小值此時(shí)4PCE為等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+VIPC=ED+PB+PE,則當(dāng)B、P、E、

四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求，在Rt^BF

B66O￥C

3弋多?????...八/3中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

/-F-

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得4CDE

最小值此時(shí)4PCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+百PC=ED+PB+PE,則匚

B3。沔幻

B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所可

在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

V60+30V3

思路：原式=2(PA+^PB+?PC)

22

1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°,然后過點(diǎn)P作PFLCE」

點(diǎn)F,貝ijPF=3PC;2)扣B利用三角形中位線來處理；3：

PA前的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)4PCB.

過程：ABCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后才

點(diǎn)P作PFLCE于點(diǎn)F,此時(shí)4PCE為等邊三角形，跳

pF=V3pc過點(diǎn)F作FG〃DE,則FG=-PB,則當(dāng)A、P

22

F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，AG長(zhǎng)度即為所求，在I

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V345原式

=2(PA+-PB+^PC)=2734

過程：4ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后i

點(diǎn)P作PFLCE于點(diǎn)F,此時(shí)4PCE為等邊三角形，跳

PF=^PC,過點(diǎn)F作FG〃DE,貝I]FG=iAP,則當(dāng)B、P

22

F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BG長(zhǎng)度即為所求，在:F

△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=

(ipA+PB+^PC)=26

22

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行贏

可典題固基礎(chǔ)

例題1(24-25九年級(jí)上?江蘇鹽城?階段練習(xí))探究題

(1)知識(shí)儲(chǔ)備

①如圖1,已知點(diǎn)尸為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=PA.

②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)尸為△ABC的費(fèi)

馬點(diǎn)，此時(shí)以+PB+PC的值為△A8C的費(fèi)馬距離.

（2）知識(shí)遷移

我們有如下探尋△ABC（其中NA，ZB,NC均小于120。）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2,在△ABC的

外部以8C為邊長(zhǎng)作等邊△80及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段—的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離.

（3）知識(shí)應(yīng)用

①如圖3所示的△ABC（其中均小于120。），AB=3,BC=4,ZABC=30°,現(xiàn)取一點(diǎn)尸，使點(diǎn)

P到A民。三點(diǎn)的距離之和最小，求最小值；

②如圖4,若三個(gè)村莊A3、C構(gòu)成尺也ABC,其中AC=6km,BC=40km,NC=9O°.現(xiàn)選取一點(diǎn)尸打水井，

使P點(diǎn)到三個(gè)村莊A&C鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，畫出點(diǎn)尸所對(duì)應(yīng)的位置，輸水管總長(zhǎng)度的最小值為

.（直接寫結(jié)果）

【答案】（1）證明見解析；

（2）AD

（3）5,2739.

【分析】（1）在以上截取PD=PC,可證明△ACZ）多△BCP,則從而得出B4=PB+PC；

（2）利用（1）中結(jié)論得出B4+PB+PC=R1+（尸B+PC）=B4+P。，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得答案；

（3）①在（2）的基礎(chǔ)上先畫出圖形，再利用勾股定理求解；

②仿照①的方法可畫出P的位置，利用勾股定理可求出輸水管總長(zhǎng)度的最小值，

【詳解】（1）解：①證明：在抬上截取PD=PC,連接CD,

\"AB=AC=BC,

所以AB=AC=BC，

ZAPB=ZAPC=60°,

...△PC。為等邊三角形，

/.ZPCD=ZACB=60°,CP=CD,

：.NPCD-Z.DCM=AACB-NDCM,即ZACD=/BCP,

在△AC。和ABCP中,

AC=BC

ZACD=NBCP

CP=CD

：.△AC。絲ABCP(SAS),

：.AD=PB,

'：PA=AD+DP,DP=PC,

：.Ri=PB+PC；

(2)如圖2,根據(jù)(1)的結(jié)論得：PA+PB+PC=PA+^PB+PC)=PA+PD,

.?.當(dāng)A、尸、。共線時(shí)，以+PB+PC的值最小，

二線段A。的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離，

故答案為：AD-

D

圖2

(3)①如圖，以8C為邊長(zhǎng)在AABC的外部作等邊△8C。，連接AZ),則線段AO的長(zhǎng)即為最短距離,

?.?△BCO為等邊三角形，BC=4,

ZCBD=60°,BD=BC=4,

'：ZABC=30°,

：.ZABD=90°,

在RtXABD中,

VAB=3,BD=4,

AD=ylAB2+BD2=A/32+42=5；

②以BC為邊,在BC下方作等邊△BCK,設(shè)等邊△BCK外接圓為。O,連接AK交。。于P,則由①知此時(shí)

E4+P2+PC最短，且最短距離等于AK的長(zhǎng)度，過K作K7UAC交AC延長(zhǎng)線于T,如圖:

?.?△3CK是等邊三角形,

/.ZBCK=60°,CK=BC=46，

'：ZCAB=90°,

...ZTCK=30°,

在C7X中，

TK=、CK=、4乖>=2瓜CT=?K=舟2拒=6,

22

/.AT=AC+CT=6+6=12,

在RfAAKT中，

AK=>JAT2+TK2=J122+(2⑹2=2A/39,

故答案為：2回.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，也是閱讀理解型問題，主要考查了新定義：三角形費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離,

還考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理等知識(shí)，難度很大，理解新定義是本題的關(guān)鍵.

s新題型特3

1.如圖，在VABC中，NC4B=90。，AB=AC=1,P是VA2C內(nèi)一點(diǎn)，求上4+尸3+PC的最小值為

2

【分析】將小APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得小DFC,可得PC=PF,DF=AP,^PA+PB+PC轉(zhuǎn)化為

FD+BP+PF,此時(shí)當(dāng)8、P、F、。四點(diǎn)共線時(shí)，B4+P3+PC的值最小，最小值為8。的長(zhǎng)；根據(jù)勾股

定理求解即可.

【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得△。尸C,連接PF、AD,DB,過點(diǎn)。作。ELBA,交B4的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E-

：.AP=DF,ZPCF=ZACD^60°,PC=FC,AC=CD,

：./\PCF,△AC。是等邊三角形，

:.PC=PF,AD=AC=l,/D4C=60°

PA+PB+PC=FD+BP+PF,

...當(dāng)2、P、F、。四點(diǎn)共線時(shí)，R4+PB+PC的值最小，最小值為的長(zhǎng);

VZCAB=90°,ZCAD=60°,

：.ZEAD=30°,

DE=—AD=—,

22

AE=VAD2-￡D2=—,

2

/.B￡=l+—,

2

BD=y/BE2+DE2="+3,

2

PA+PB+PC的值最小值為8.

故答案為：

【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得小DFC,將三條線段的長(zhǎng)

轉(zhuǎn)化到一條直線上.

2.如圖，在放AABC中，ZBAC=90°,AB^AC,點(diǎn)P是A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，作尸。_LBC于點(diǎn)。，線段4。上

存在一點(diǎn)。，當(dāng)QA+Q8+QC的值取得最小值，且4。=2時(shí)，貝!]P￡)=.

A

【答案】3+也

【分析】如圖1,將ABQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△8M0,連接。N,當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)。，點(diǎn)N,點(diǎn)M共線時(shí),

Q4+QB+QC值最小，此時(shí)，如圖2,連接MC,證明AM垂直平分BC,證明AO=B。，此時(shí)尸與O重合，

設(shè)則。Q=x-2,構(gòu)建方程求出x可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖1,將仆BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△BNM,連接QN,

：.BQ=BN,QC=NM,ZQBN=60°,

...△BQN是等邊三角形，

：.BQ=QN,

：.QA+QB+QC=AQ+QN+MN,

當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)。，點(diǎn)N,點(diǎn)M共線時(shí)，Q4+QB+QC值最小,

此時(shí)，如圖2,連接MC

A(P)

圖2

:將△8QC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△BNM,

：.BQ=BN,BC=BM,ZQBN=60°^ZCBM,

...△BQV是等邊三角形，ACBM是等邊三角形，

:./BQN=/BNQ=60。,BM=CM,

；BM=CM,AB=AC,

AM垂直平分BC,

'：AD±BC,ZBQD=60°,

BD=6QD,

\"AB=AC,ZBAC=90°,ADYBC,

：.AD=BD,此時(shí)尸與。重合，設(shè)貝ljDQ=x-2,

.'.x=tan60°x(%-2)=A/3(X-2),

??x=3+y/3，

:.PD=3+B

故答案為：3+6-

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

正確運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題.

3.如圖，在VABC