壓軸專題15幾何動點(diǎn)與函數(shù)圖像

背：技法全歸納

知識考點(diǎn)與解題策略

(D面積問題：

①函數(shù)類型：與面積相關(guān)的量如果有一個變化的量為一次函數(shù)，如果有兩個變化的量為二次函數(shù);

②節(jié)點(diǎn)'自變量取值范圍及函數(shù)值；

③函數(shù)的增減性等

(2)線段長度問題：①根據(jù)相似性質(zhì)對應(yīng)邊成比例或面積公式等確定函數(shù)關(guān)系式；

②節(jié)點(diǎn)、自變量取值范圍及函數(shù)值；

③函數(shù)的增減性等

1

千人典題固基礎(chǔ)

例題1如圖，四邊形ABC。中，AD〃3C,/B=90o,AB=3,BC=2AD=4.點(diǎn)P從C出發(fā)，沿著折線CBfBA

運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動速度為2,時間為x,連接OP,記的面積為丁，請解答下列

問題：

(1)直接寫出了關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量》的取值范圍；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出該函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

4

⑶結(jié)合圖象，當(dāng)△加(?的面積不大于四邊形ABC。面積的,時，直接寫出x的取值范圍.(結(jié)果保留一位

小數(shù)，誤差不超過0.2)

例題2如圖①，VABC為等邊三角形，動點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，以jcm/s的速度沿邊3C—C4運(yùn)動至點(diǎn)A；動

點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，以lcm/s的速度沿邊54運(yùn)動至點(diǎn)A.若尸，。兩點(diǎn)同時出發(fā),設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為ts,NBPQ

的面積為Sen?,運(yùn)動過程中，S關(guān)于/的函數(shù)圖象如圖②所示.

(1)VABC的邊長為_?11,m=_,n=_.

(2)當(dāng)f=2s時,求P。的長;

(3)當(dāng)相時，求S關(guān)于/的函數(shù)解析式，并求出S的最大值.

S新題型特3

1.如圖①，BD是菱形ABCD的對角線，AD<BD,動點(diǎn)尸從菱形的某個頂點(diǎn)出發(fā)，沿相鄰的兩條線段以

lcm/s的速度勻速運(yùn)動到另一個頂點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，CP的長y(cm)隨時間f(s)變化的函數(shù)圖象如圖②所

示，則菱形ABC。的周長為()

圖①

A.12cmB.16cmC.20cmD.24cm

2.如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=2f50是邊AC上的高.點(diǎn)E,尸分別在邊AB,BC

上(不與端點(diǎn)重合)，且設(shè)=四邊形DEB方的面積為y,則y關(guān)于1的函數(shù)圖象為()

AEB

A.B.

c.

3.（2024.江蘇常州?一模）如圖1,點(diǎn)尸從等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一點(diǎn),

PB

再從該點(diǎn)沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)用設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的路程為X,—=如圖2所示為點(diǎn)尸運(yùn)動時y隨x變化的函

數(shù)關(guān)系圖象，則等邊三角形ABC的邊長是（）

A.2上B.4C.6D.4A/3

4.如圖，在RrABC中，ZC=90°,AC=3,3c=4,點(diǎn)E在AB邊上由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動（不與點(diǎn)A,點(diǎn)

2重合），過點(diǎn)￡作成垂直交直角邊于足設(shè)AE=x,aAEF面積為》則y關(guān)于龍的函數(shù)圖象大致

是（）

BC=6cm,AC=8cm.點(diǎn)尸，。同時從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)2以4cm/s的速度沿

AC向點(diǎn)。運(yùn)動，點(diǎn)。以5cm/s的速度沿A5向點(diǎn)區(qū)運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止

運(yùn)動.作，4P￡>Q,設(shè)運(yùn)動時間為fs,APDQ與VABC重合部分的面積為Sen?,則下列圖象中能大致反映

S與，的函數(shù)關(guān)系的是（）

6.（24-25九年級上?江蘇南通?期末）如圖，在矩形ABC。中，BC=4,4?=2,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線

ADC運(yùn)動，過點(diǎn)尸作對角線AC的垂線，交折線4BC于Q.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的路程為x,△APQ的面積為y,

則》關(guān)于尤的函數(shù)圖象大致為（）

7.如圖I,點(diǎn)E為矩形A38的邊AD上一點(diǎn)，動點(diǎn)P,。同時從點(diǎn)8出發(fā)以lcm/s的速度運(yùn)動，其中，點(diǎn)

P沿折線助-￡D-DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)。沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止.設(shè)點(diǎn)P出發(fā)年時，VBPQ的面

積為yen?,y與，的函數(shù)關(guān)系如圖2所示（曲線加為拋物線的一部分），則當(dāng)好8時，y的值為（）

A.9B.—C.—D.8

22

8.如圖1,E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)沿折線DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)。

從點(diǎn)B出發(fā)沿運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它們運(yùn)動的速度都是Icm/s.若P,。同時開始運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）,

V3PQ的面積為Men?).已知y與，的函數(shù)圖像如圖2,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.當(dāng)/"=lls時，y=40cm2B.BE=10cm

2

C.當(dāng)04/W10時，y=-tD.當(dāng)/=16s時，ZPB2=30°

9.如圖，四邊形ABC。中，AB//DC,DE1AB,CF1AB,垂足分別為E,F,且AE=EF=EB=5cm,

DE=12cm.動點(diǎn)P,。均以lcm/s的速度同時從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)尸沿折線AD-DC-CB運(yùn)動到點(diǎn)B停

止，點(diǎn)。沿運(yùn)動到點(diǎn)B停止，設(shè)運(yùn)動時間為f(s),△AP。的面積為y(cm2),則y與/對應(yīng)關(guān)系的圖象大

10.如圖1,已知E為矩形A8C￡)的邊上的一點(diǎn)，動點(diǎn)P,。同時從點(diǎn)8出發(fā)，點(diǎn)P沿折線8E-ED-OC

運(yùn)動到點(diǎn)C時停止；點(diǎn)。沿8C運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它們運(yùn)動的速度都是1c加s.設(shè)P,。同時出發(fā)，心)

時，ABP。的面積為Meo?).已知y與f的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2(曲線。/為拋物線的一部分)，有下列結(jié)論：

3229

?AD=BE=5cm；②cos/A2E=—；③當(dāng)0<rV5時，y=-t2；④當(dāng)"一時，△ABES/\QBP其中正確的

4-54

結(jié)論是()

A.①②B.③④C.①③④D.①②③④

11.如圖（1）,在，A3CD中，點(diǎn)。為其中心，ZABC=60°,2540=45。，動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB勻

速運(yùn)動到點(diǎn)E,再從點(diǎn)E沿直線運(yùn)動到BC上的點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的路程為x,AOP的面積為y,則y與尤

圖(1)圖(2)

A.3B.4C.5D.6

12.如圖（1）,E為矩形ABC。的邊AD上一點(diǎn)，動點(diǎn)尸，。同時從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)尸沿折線DC運(yùn)

動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)。沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它們運(yùn)動的速度都是1cm/秒.設(shè)尸、。同時出發(fā)I秒時，

V8PQ的面積為yen?.已知》與/的函數(shù)關(guān)系圖象如圖（2）（曲線O/為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：

229

①AD=3E=5；②當(dāng)點(diǎn)尸在BE上時，tanZBPQ=3；③當(dāng)0<*5時，y=-t2；④當(dāng)/=一秒時，

54

ABE^QBP.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③D.②④

13.如圖①，ABCD^,AB=4cm,ZZ）=150o,兩動點(diǎn)N同時從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)M在邊AB上以2cm/s

的速度勻速運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)B時停止運(yùn)動，點(diǎn)N沿ATDTC—B的路徑勻速運(yùn)動,到達(dá)點(diǎn)B時停止運(yùn)動.AMN

的面積S（cm）與點(diǎn)N的運(yùn)動時間，（s）的關(guān)系圖象如圖②所示.有下列說法:

①點(diǎn)N的運(yùn)動速度是lcm/s；

②AD的長度為3cm；③。的值為7；

④當(dāng)5=101?時，f的值為

其中正確的個數(shù)（）

4

14.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在y軸和X軸上，AB〃尤軸，cosBug.點(diǎn)尸從B點(diǎn)出發(fā),

以lcm/s的速度沿邊54勻速運(yùn)動，點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AO-OC-CB勻速運(yùn)動.點(diǎn)P與點(diǎn)。同時出發(fā)，

其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動的時間為《s）,VBPQ的面積為S（cn?）,已知S與

，之間的函數(shù)關(guān)系如圖2中的曲線段OE、線段防與曲線段尸G.下列說法正確的是（）

①點(diǎn)。的運(yùn)動速度為3cm/s；

②點(diǎn)8的坐標(biāo)為（9,18）；

③線段所段的函數(shù)解析式為5=5；

Q

④曲線FG段的函數(shù)解析式為S=--r+9t；

⑤若V3PQ的面積是四邊形OABC的面積的1,則時間/=2夜.

A.①@?④⑤B.①③④C.①③⑤D,①③④⑤

15.如圖①，動點(diǎn)尸從矩形ABC。的頂點(diǎn)A出發(fā)，以切的速度沿折線A-2-C向終點(diǎn)C運(yùn)動；同時，一動

點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，以也的速度沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動.點(diǎn)E為

。的中點(diǎn)，連接尸￡,PQ,記AEP。的面積為S,點(diǎn)P運(yùn)動的時間為3其函數(shù)圖像為折線MN-NF和曲線

(2)如果0M=2.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

2

②是否存在某個時刻3使得S2。？若存在，求出r的取值范圍；若不存在，請說明理由.

16.如圖（1）,四邊形A8CD的頂點(diǎn)A、D、C分別在x、y軸的正半軸上，AD//BC,OC=4cm.動點(diǎn)E

從點(diǎn)C出發(fā)，沿CTOTA—BTC勻速運(yùn)動，動點(diǎn)F以每秒1cm的速度從C出發(fā)沿線段CB向點(diǎn)B來回運(yùn)

動，當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)C點(diǎn)時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.若點(diǎn)E、尸同時出發(fā)運(yùn)動f秒后，如圖（2）是AOEC的

面積S(cm2)與/(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象，以線段EF為斜邊向右作等腰直角AEFG.

(1)填空：點(diǎn)E的運(yùn)動速度是，B點(diǎn)坐標(biāo)為

(2)當(dāng)09<4秒時，

①/為何值時，以0、C、E為頂點(diǎn)的三角形與ABFG相似?

求此時的若不存在，請說明理由.

17.如圖①，ABC中，ZACB=9Q),BC=6an.動點(diǎn)尸在-ABC的邊上按CfA的路線勻速移動，當(dāng)點(diǎn)P

到達(dá)A點(diǎn)時停止移動；動點(diǎn)。以2cm/s的速度在,ABC的邊上按A->3TC的路線勻速移動，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)C

點(diǎn)時停止移動.已知點(diǎn)P、點(diǎn)。同時開始移動，同時停止移動(即同時到達(dá)各自的終止位置).設(shè)動點(diǎn)尸移動

的時間為〃s),△CPQ的面積為可。療)，S與r的函數(shù)關(guān)系如圖②所示.

⑴圖①中AB=cm，圖②中w=cm2;

⑵求S與/的函數(shù)表達(dá)式；

⑶當(dāng)t為何值時，△CPQ為等腰三角形.

18.如圖①，在矩形ABC。中，BC=60cm.動點(diǎn)P以6c機(jī)/s的速度在矩形ABCQ的邊上沿的方向勻

速運(yùn)動，動點(diǎn)Q在矩形ABC。的邊上沿A—BTC的方向勻速運(yùn)動.P、。兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)

。時，點(diǎn)。立即停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為f(s),△尸。。的面積為S(c加2),S與t的函數(shù)圖象如圖②所示.

(1)AB=cm,點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為cm/s；

(2)在點(diǎn)P、。出發(fā)的同時，點(diǎn)。也從的中點(diǎn)出發(fā)，以4c〃z/s的速度沿CZ)的垂直平分線向左勻速運(yùn)

動，以點(diǎn)。為圓心的。。始終與邊A。、相切，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)。時，運(yùn)動同時停止.

①當(dāng)點(diǎn)。在。。上時，求f的值；

②當(dāng)P。與。。有公共點(diǎn)時，求「的取值范圍.

(圖①)(圖②)

19.綜合與實(shí)踐

問題提出

某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動，如圖1,在正方形ABCD中，及/分別是⑦上一點(diǎn)，且AF=2AE.點(diǎn)

“從點(diǎn)E出發(fā)，沿正方形ABC。的邊順時針運(yùn)動；點(diǎn)N同時從點(diǎn)尸出發(fā)，沿正方形ABC。的邊逆時針運(yùn)

動.若兩動點(diǎn)的運(yùn)動速度相同，都為每秒1個單位長度，相遇時V,N兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的時間

為t秒，AMN的面積為S,探究S與/的關(guān)系.

初步感知

根據(jù)運(yùn)動的變化，繪制了如圖2所示的圖象，按不同的函數(shù)解析式，圖象可分為四段，還有最后一段未畫

出.

(1)AE的長為,A5的長為.

(2)。的值為,S的最大值為.

延伸探究

(3)請求出圖2中未畫出的最后一段圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式，并將圖象補(bǔ)充完整.

(4)求6的值，并求出當(dāng)S>3時，f的取值范圍.

圖1圖2

壓軸專題15幾何動點(diǎn)與函數(shù)圖像

司

技法全歸納

知識考點(diǎn)與解題策略

判斷備裁用做

（D面積問題：

①函數(shù)類型：與面積相關(guān)的量如果有一個變化的量為一次函數(shù)，如果有兩個變化的量為二次函數(shù);

②節(jié)點(diǎn)'自變量取值范圍及函數(shù)值；

③函數(shù)的增減性等

（2）線段長度問題：①根據(jù)相似性質(zhì)對應(yīng)邊成比例或面積公式等確定函數(shù)關(guān)系式；

②節(jié)點(diǎn)、自變量取值范圍及函數(shù)值；

③函數(shù)的增減性等

學(xué)：典題固基礎(chǔ)

例題1如圖，四邊形中，AD〃3C,/B=90o,AB=3,BC=2AD=4.點(diǎn)尸從C出發(fā)，沿著折線CBf

運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動速度為2,時間為x,連接￡）尸，記△OPC的面積為y,請解答下列

問題:

（1）直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出該函數(shù)的圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

（3）結(jié)合圖象，當(dāng)?shù)拿娣e不大于四邊形ABCD面積的］4時，直接寫出x的取值范圍.（結(jié)果保留一位

小數(shù)，誤差不超過0.2）

y=3x（0<xW2）

【答案】⑴y——2x+10（2<x《e

（2）圖見詳解，在0<%<2,y隨x的增大而增大（有理即可）

,4

（3）當(dāng)△0PC的面積不大于四邊形面積的，時，龍的取值范圍為04無<1.3或30x43.5.

【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)尸在2C上時，y=；AHCP=gx3x2x=3x,當(dāng)點(diǎn)尸在A8上時，

y=^AD+BC）xAB-^ADAP+^BC-BP^,進(jìn)而可求解；

（2）根據(jù)（1）中表達(dá)式畫函數(shù)圖象即可，在0<x<2,y隨x的增大而增大（有理即可）.

441

（3）SDPC<-S0mcD=-x-（2+4）x3=4,當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時，y=3x44,當(dāng)點(diǎn)P在AB上時,

y=-2x+10<4,進(jìn)而可解答；

【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)尸在2C上時，y=^AB-CP=^x3x2x=3x,

當(dāng)點(diǎn)尸在AB上時，y=^AD+BC）xAB-^AD-AP+^BC-BF^,

即y=g（2+4）x3-1x4-（2x-4）+1x2-（3-2x+4）=-2x+10,

y=3x（0<x<2）

y——lx+10^2<^^—j

（2）根據(jù)（1）中表達(dá)式畫函數(shù)圖象如下:

i±0<x<2,y隨x的增大而增大.

441

⑶s一DPC-§S四邊形ABC。=/（2+4）x3=4,

4

當(dāng)點(diǎn)尸在5c上時，y=3x<4fBPx<-,

4

**.0Kx4一,

3

當(dāng)點(diǎn)尸在"上時，y=-2x+10<4,即工23,

7

??3WxW—,

2

4

.?.當(dāng)△DPC的面積不大于四邊形ABC。面積的§時，x的取值范圍為o<xwi.3或3WXW3.5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，正確寫出函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵.

3

例題2如圖①，VABC為等邊三角形，動點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以5cm/s的速度沿邊3C—C4運(yùn)動至點(diǎn)A；動

點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)，以Icm/s的速度沿邊54運(yùn)動至點(diǎn)A.若P,Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為ts,NBPQ

的面積為Sen?,運(yùn)動過程中，S關(guān)于/的函數(shù)圖象如圖②所示.

⑴VABC的邊長為一cm,m=_,n=_.

(2)當(dāng)/=2s時，求PQ的長；

(3)當(dāng)。</<加時，求S關(guān)于，的函數(shù)解析式，并求出S的最大值.

【答案】(1)6,6,巫

2

⑵近

(3)S=-—(Z-4)2+6^,S有最大值為6K

8

【分析】本題主要考查了函數(shù)的動點(diǎn)問題，三角函數(shù)、勾股定理等知識，根據(jù)動點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論是

解決問題的關(guān)鍵.

(1)由圖可知當(dāng)/=8時，5=0,即尸、。都運(yùn)動到點(diǎn)A,此時3P=3C+C4,求出3尸，即可求出VABC

的邊長；根據(jù)題意可求出當(dāng)。運(yùn)動到點(diǎn)A時的時間是6s,求出6W8時S關(guān)于/的函數(shù)解析式，結(jié)合圖形

即可求出m=6,將冽=6代入函數(shù)解析式可求出“；

(2)過點(diǎn)尸作于點(diǎn)O,當(dāng)f=2s時，BP=3cm,BQ=2cm,結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，利用三角

函數(shù)求出尸￡>,BD,進(jìn)而求出。Q,最后根據(jù)勾股定理即可求解;

(3)過點(diǎn)尸作尸MLAB于點(diǎn)M,則/0MA=9O。，利用三角函數(shù)求出PM=--t+6^,^S=^BQ-PM

42

得到S與/的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)解：由圖可知當(dāng)/=8時，S=0,即P、。都運(yùn)動到點(diǎn)A,

-e-BP=BC+CA,

3

BP=—t,

2

33

...當(dāng)r=8時，BP=-t=-x8=12,

22

VABC為等邊三角形,

BC=CA=—BP=6,即VA6C的邊長為6cm；

2

動點(diǎn)。從點(diǎn)5出發(fā)，以lcm/s的速度沿邊運(yùn)動至點(diǎn)A,AB=6cm,

「?當(dāng)Q運(yùn)動到點(diǎn)A時的時間是6+1=6s,

33

當(dāng)6＜，＜8時，BQ=AB=6,BP=-t,AP=BC+CA-BP=12——1

229

如圖，過點(diǎn)P作PELAB于點(diǎn)

VABC為等邊三角形,

12_3|/卜6代一苧f,

EP=AP-sin=

2

S=-AB-EP=-x6x(6^35+186,

22

結(jié)合圖像可知，當(dāng)機(jī)4W8時，S關(guān)于/的函數(shù)是一次函數(shù),

m=6；

當(dāng)…時，S=-空x6+"=竽

.9石

,,n=----

2

故答案為：6,6,2；

2

(2)如圖，過點(diǎn)尸作燈)_LA8于點(diǎn)。,

則ZPDB=ZPDQ=90°,

3

當(dāng)t=2s時，BP=-x2=3cm,8Q=lx2=2cm,

2一

在Rt尸3。中，NPDB=90°,ZB=60°,

/.PD=BP-sinB=3x,BD=BP-cosB=3x—=—,

2222

31

DQ=BQ-BD=2--=-f

.?.在Rt—POQ中，PQ=JDQZ+PD2=J1]+乎=77;

(3)如圖，過點(diǎn)尸作RW,至于點(diǎn)M,貝IJNP及4=90°,

當(dāng)aWtWm,即4V/W6時，BQ=tcm,AP=^12-^tjcm,

在RtAPM中，ZPM4=90°,ZA=60°,

.-.PM=AP-sinA=fl2--rV—=-—^+6^,

(2J24

2

:.S^SBPQ=^BQPM=1/x-苧f+6G=-^(Z-4)+6A/3

又?.4<r<6,

S隨/的增大而減小,

???當(dāng)r=4s時，S有最大值為66.

s新題型特加

1.如圖①，8。是菱形A3。的對角線，AD<BD,動點(diǎn)尸從菱形的某個頂點(diǎn)出發(fā)，沿相鄰的兩條線段以

1cm/s的速度勻速運(yùn)動到另一個頂點(diǎn)，在運(yùn)動過程中，CP的長y(cm)隨時間f(s)變化的函數(shù)圖象如圖②所

示，則菱形ABCD的周長為()

圖①圖②

A.12cmB.16cmC.20cmD.24cm

【答案】C

【分析】由圖②得：當(dāng)時，y在減小，當(dāng)a<tW2a+l時，V先變小后變大，可得尸應(yīng)從A出發(fā)沿

運(yùn)動到3,再運(yùn)動到。，或「應(yīng)從A出發(fā)沿AD運(yùn)動到￡),再運(yùn)動到8,設(shè)P應(yīng)從A出發(fā)沿43運(yùn)動到8,

再運(yùn)動到。，如圖，連接AC交8。于。，再進(jìn)一步解答即可；

【詳解】解：由圖②得：當(dāng)時，》在減小，

當(dāng)a<t42a+l時，>先變小后變大，

P應(yīng)從A出發(fā)沿AB運(yùn)動到8,再運(yùn)動到O,

或P應(yīng)從A出發(fā)沿AD運(yùn)動到￡),再運(yùn)動到8,

設(shè)P應(yīng)從A出發(fā)沿運(yùn)動到8,再運(yùn)動到O,

如圖，連接AC交于0,

B

???四邊形ABC。為菱形，

/.ACJ.BD,OA=OC,OB=OD,

???當(dāng)月在A處時，y=8,即AC=8,

J0A=4f

當(dāng)尸在5處時，x=a,即=

當(dāng)尸位于。處時，x=2a+\,即3￡)=〃+1,

OB=—,

2

OB2+OA2=AB2,

解得：。=5（不符合題意的根舍去），

AB=5,

：.菱形ABCD的周長為20cm；

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查的是動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，理解

題意是解本題的關(guān)鍵.

2.如圖，在中，ZABC=90°,AB=4,BC=2,2D是邊AC上的高.點(diǎn)E,尸分別在邊AB,BC

上（不與端點(diǎn)重合），^.DEIDF.設(shè)=四邊形?！闎尸的面積為y,則y關(guān)于尤的函數(shù)圖象為（）

【答案】A

【分析】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，相似三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，過點(diǎn)E作即，AC

于點(diǎn)H,由勾股定理求出AC,根據(jù)等面積法求出80,先證明.ABCsAm,由相似三角形的性質(zhì)可得出

空=空，即可求出4。，再證明▲血*》右跳D，由相似三角形的性質(zhì)可得出黑組=1絲］，即可得出

ADAB

SBFD

=

SAED4sBFD,根據(jù)S四邊形DEM=S—S_(SBDC-SBDF)，代入可得出一次函數(shù)的解析式，最后根據(jù)自

變量的大小求出對應(yīng)的函數(shù)值.

【詳解】解：過點(diǎn)E作EH_LAC于點(diǎn)如下圖：

AC=y]AB2+BC2=2A/5-

*/是邊AC上的高.

：.-ABBC=-ACBD,

22

BD=g卮

VZBAC=ZCAB,ZABC=ZADB=90°,

AABCS/^ADB,

.ABAC

??茄一刀’

解得：AD=孚，

???DC=AC—AD=2辨—正=,

55

ZBDF+ZBDE=ZBDE+ZEDA=90°,ZCBD+/DBA=ZDBA+ZA=90。，

：?/DBC=ZA,/RDF=/EDA,

：—AED^BFD,

?v=4V

?,2AED-ru-BFD'

^DEBF=S-SAED-(SBDC~SBDF

=-ABBC--AEADsinZA--DCDB+-S

2224AED

，4x2一鼠1.處x斗上述x處

24252逐255

163

——X

y5

V0<x<4,

16

??當(dāng)時，四邊形

X=0SDEBF=y

、，4

當(dāng)X=4時，S四邊形DEBF=W'

故選：A.

3.（2024?江蘇常州?一模）如圖1,點(diǎn)P從等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，

PB

再從該點(diǎn)沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)8,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為X,1|=y,如圖2所示為點(diǎn)尸運(yùn)動時y隨尤變化的函

數(shù)關(guān)系圖象，則等邊三角形ABC的邊長是（）

A.2后B.4C.6D.4A/3

【答案】A

【分析】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，等邊三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直

線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一點(diǎn)O,再從點(diǎn)。沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)2,結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)尸在AO上運(yùn)動時，PB=PC,

AO=2,易知NA4O=NG4O=30。，當(dāng)點(diǎn)尸在08上運(yùn)動時，可知點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)8時的路程為4,可知

AO=08=2,過點(diǎn)。作8，,解直角三角形可得AD=AOcos30°,進(jìn)而得出等邊三角形ABC的邊長，

解決本題的關(guān)鍵是綜合利用兩個圖形給出的條件.

【詳解】如圖，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動到三角形內(nèi)部一點(diǎn)O,再從點(diǎn)。沿直線運(yùn)動到頂點(diǎn)B,

A

結(jié)合圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在AO上運(yùn)動時，-=1,

PB=PC,AO=2,

又「VABC為等邊三角形，

AABAC=60°,AB=AC,

，，APB-APC（SSS）,

，ZBAO=ZCAO=30°,

當(dāng)點(diǎn)尸在03上運(yùn)動時，可知點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)2時的路程為4,

A05=2,即AO=O3=2,

，/BAO=NASO=30。，

過點(diǎn)。作8,AB,垂足為D,

AAD=BD,則A￡>=AOcos30°=—,

AB=AD+BD=2y/3,

即等邊三角形ABC的邊長為2道.

故選：A.

4.如圖，在RfABC中，ZC=90°,AC=3,3c=4,點(diǎn)E在AB邊上由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動（不與點(diǎn)A,點(diǎn)

2重合），過點(diǎn)E作跖垂直A3交直角邊于足設(shè)=AAEF面積為y,則y關(guān)于尤的函數(shù)圖象大致

是（）

AEB

【分析】過點(diǎn)C作CD，AB于點(diǎn)。，利用勾股定理以及面積法求得AB、CD、AD,3。的長，分0<xVL8和

1.8<x<5兩種情況討論，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；

【詳解】解：過點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)。,

AB=VAC2+BC2=>/32+42=5，

-ABxCD=-ACxBC,

22

2222

.\CD=—=2A,AD=y/AC-CD=V3-2.4=1.8,BD=AB-AD=3.2f

當(dāng)0<E.8,

CDLAB,EFLAB,

:.EFCD,

:.AEFsADC,

AEEF口門xEF

：.——=——，即一=——，

ADCD1.82.4

LL4

/.EF=—x,

3

i2

2

,'.y=-AExEF=-x(O<x<1,8)f開口向上的一段拋物線；

當(dāng)1.8<x<5,

同理可證，BEF?BDC,

.BEEF5-x_EF

'~BD~~CD'、TT_24J

“153

/.EF------x-)

44

i153

2

:.y=-AExEF=-x--x(l.S<x<5)f開口向下的一段拋物線；

2oo

綜上，符合題意的函數(shù)關(guān)系的圖象是D；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)函數(shù)圖象問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)的圖象，在

圖象中應(yīng)注意自變量的取值范圍.

5.如圖，VABC中，ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm.點(diǎn)P,。同時從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)尸以4cm/S的速度沿

AC向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)。以5cm/s的速度沿43向點(diǎn)B運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止

運(yùn)動.作.4PDQ,設(shè)運(yùn)動時間為fs,.APDQ與VABC重合部分的面積為Sen?,則下列圖象中能大致反映

S與f的函數(shù)關(guān)系的是()

【答案】B

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB=10cm,由題意可得，AQ=5tcm,AP=4tcm,5.0<r<2,由平行線分

線段成比例可知尸Q〃8C,先求出APDQ在VABC的內(nèi)部時/的取值范圍，當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時，易得

四邊形CDQP為矩形，根據(jù)AP=DQ=CP可列出方程，求得/=1,再分兩種情況討論：當(dāng)0<f<1時，APDQ

在VA3C的內(nèi)部，止匕時S=S=4加3/=12/(cm2)；當(dāng)1</V2時，PD交BC于點(diǎn)、H,DQ交BC

于點(diǎn)G,易得四邊尸為平行四邊形，PH=BQ=(10-5r)cm,于是

DH=DP-BH=5?-(lO-50=(lO?-lO)cm,由平行線分線段成比例可得等=亨=矢上以此算出席,

ILL

DG,此時S=S”取-5/。=(-12/+48/-24)812；最后根據(jù)得出的函數(shù)關(guān)系即可判斷.

【詳解】解：在RtZXABC中，ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm.

/.AB=yjAC2+BC2=V82+62=10(cm),

由題意可得，AQ=5rcm,AP=4/cm,S.0<t<2,

則BQ=(10-57)cm,CP=(8-4r)cm,

..APAQt^

==ZA=ZA,

'AC~AB~2

：.PQ//BC,

：.ZAPQ=90°,

3

在RtAAPQ中，PQ=AQ-sinA=5rx-=3z(cm),

當(dāng)點(diǎn)O在線段BC上時，如圖，

:四邊形APDQ為平行四邊形，

AP=DQ=4fcm,AP//DQ,

?/PQ//BC,且NC=90°,

四邊形8QP為矩形,

CP-DQ=（8-4/）cm,

4t-8-書，

解得：t=l,

.,.當(dāng)0<fVl時，APE)。在VABC的內(nèi)部，

此時S=S=AP-PQ12戶(cm?)；

當(dāng)1UW2時，如圖，PD交BC于點(diǎn)、H,DQ交BC于點(diǎn)、G,

?.?四邊形APDQ為平行四邊形，

DP=AQ=5fcm,AP=DQ=4tcm,DP//AQ,AC//DQ,

：./C=NHGD=90°,

?：PQ//BH,

四邊PHBQ為平行四邊形，

PH=BQ=（lQ-5t）cm,

：.DH=DP-BH^5t-（10-5t）=（10t-W）cm,

?；HG//PQ,

,HG_DG_DHHGDG10r-10

'，~PQ~~DQ~~DP，即于=77=5t，

"G=（6/-6）cm,Z）G=（8/-8）cm,

???SHGD=^HGDG

=1（6?-6）（8r-8）

=24（r2-2r+l）cm2,

2

：.S=SAPOQ-SHGD=12r-24（r-2r+1）=（-12?+48z-24）cm；

12t2（0<?<l）

綜上，s=

-12r2+48r-24（l<r<2）

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、解直角三角形、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與

性質(zhì)、勾股定理，理解題意，學(xué)會利用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想解決問題是解題關(guān)鍵.

6.（24-25九年級上?江蘇南通?期末）如圖，在矩形ABCD中，BC=4,AB=2,點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線

AOC運(yùn)動，過點(diǎn)尸作對角線AC的垂線，交折線ABC于Q.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x,△APQ的面積為y,

則》關(guān)于尤的函數(shù)圖象大致為（）

【分析】分0<x<l、l<x<4,4<x<6三段范圍，根據(jù)證明△ACZ）SZ\PQC分別表示出△人尸。的面積,

得到函數(shù)解析式，再判斷其圖象即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)0<x<l時，點(diǎn)尸在AD邊上，點(diǎn)。在A8邊上，

ADAC+ABAC=NAQP+ABAC=90°,

:.ZDAC=ZAQP,

ZADC^ZQAP=90°,

二.ADC^4QAP,

,AP_AQmx_AQ

CDAD24

AQ=2x,

119

SAPQ=~A.P,AQ=-x2x'x=x,

，圖象是開口向上的拋物線，

如圖，當(dāng)1WXV4時，點(diǎn)尸在AD邊上，點(diǎn)。在BC邊上,

則△APQ中，AP邊上的高為2,

?，-SAPQ=—-APx2=x,

「?圖象是一次函數(shù)，且隨著x的增大而增大,

???14x44時，圖象是線段，

.\ZCAD+ZACD=90°,

PQ-LAC,

ZCPQ+ZACD=90°,

/.NCAD=NCPQ,

:.一ACDs^CPQ,

ADCD42

---=---,即-------=---

CPCQ4+2-xCQ

CQ=3—3I,

/.BQ=BC—CQ=1+；X,

1-^-x4x（4-x）--^-x（6-x）f3-^1-x

?q=2x4--x2x|l+-x一+入

-uAPQ22242

,當(dāng)4Vx<6時，圖象是開口向下的拋物線,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是根

據(jù)動點(diǎn)P運(yùn)動的情況表示出△APQ的面積.

7.如圖1,點(diǎn)E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動點(diǎn)尸，。同時從點(diǎn)8出發(fā)以lcm/s的速度運(yùn)動，其中，點(diǎn)

P沿折線鹿-ED-DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)。沿3C運(yùn)動到點(diǎn)C時停止.設(shè)點(diǎn)P出發(fā)抬時，V3PQ的面

積為yen?,y與，的函數(shù)關(guān)系如圖2所示（曲線為拋物線的一部分），則當(dāng)7=8時，y的值為（）

A.9B.—C.—D.8

22

【答案】C

【分析】由圖2可知：當(dāng)點(diǎn)P、。運(yùn)動5s時，此時點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)E點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)C,Q點(diǎn)停止運(yùn)動.可得

PH-DC-4cm；當(dāng)/=7時，尸點(diǎn)運(yùn)動了7cm,此時面積仍為lOcn？；當(dāng)/=8時，DP=lcm,進(jìn)而可求當(dāng)f=8

時，y的值為￡enf.

當(dāng)點(diǎn)尸、。運(yùn)動5s時，VBPQ的面積y達(dá)到最大，最大值為lOen?.

此時點(diǎn)尸運(yùn)動到點(diǎn)E點(diǎn)。運(yùn)動到點(diǎn)C,。點(diǎn)停止運(yùn)動.

可得PC=3cm.

;點(diǎn)尸、。的運(yùn)動速度都為lcm/s,

.?.當(dāng)仁5時，BE=BC=5cm.

：.PH=DC=4cm.

當(dāng)5Vt47時，點(diǎn)P在線段E￡）上，止匕時PH=4cm,而當(dāng)Z=7時，尸點(diǎn)運(yùn)動了7cm.

BC?PH5x4s

------=---=1。cm?.

22

面積不變對應(yīng)線段MN的圖像.

當(dāng)，>7時,點(diǎn)尸在線段。。上.

當(dāng)t=8時,DP=1cm,

:.PC=DC-DP

：.PC=4—l=3cm

.BC-PC5x315

??y=-----==wcm9

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)函數(shù)圖像的分析，解題的關(guān)鍵是分清橫、縱坐標(biāo)的含義；分清每一段圖像的含義.

8.如圖1,E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)沿折線DC運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，點(diǎn)。

從點(diǎn)B出發(fā)沿3C運(yùn)動到點(diǎn)C時停止，它們運(yùn)動的速度都是Icm/s.若P,。同時開始運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(s),

VBPQ的面積為y(cn?).已知y與f的函數(shù)圖像如圖2,則下列結(jié)論錯誤的是()

A.當(dāng)t=lls時，y=40cm2B.BE=10cm

2

C.當(dāng)0W10時，y=-t2D.當(dāng)r=16s時，ZPBQ=30°

【答案】D

【分析】根據(jù)圖像可以得到lOWYl4s時，y=40cm2,從而可以判斷A；根據(jù)圖像可以得到BC和3E的長

度,從而可以判斷B；根據(jù)函數(shù)圖像可以求得在0</<10時,求得V3PQ底邊8。上的高,從而可以得到NBPQ

的面積，從而可以判斷C；根據(jù)題意可以求得在f=16s時，點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，點(diǎn)P運(yùn)動到邊。C上，與。

點(diǎn)相距2cm,在P8Q中利用三角函數(shù)定義求解，從而判斷D.

【詳解】解：A、由圖2可知，當(dāng)f=lls時，y=40cm2,故A正確；

B、由圖像可知，BC=BE=\Ocm,故B正確；

C、作所13c于點(diǎn)R作尸于點(diǎn)如下圖所示,

由圖像可知，三角形尸8。的最大面積為40,

：.-BC-EF=-xl0EF=40,

22

解得EF=8,

當(dāng)0</410時，BMP^BFE,

.PMBPPMt

..----=---,即m----=——,

EFBE810

4

解得尸”=?，

.??V5PQ的面積二萬i⑶0.加二萬i.，?4二/=2

即，=《〃，故c正確；

D、當(dāng)r=16s時，點(diǎn)。與點(diǎn)C重合，

由圖像可知，DE=14-10=4,

所以點(diǎn)尸運(yùn)動到邊DC上，且DP=2cm,如下圖所示,

在Rf尸8。中，PC=DC—DP=8-2=6,BC=IO,

BP=ylPC2+BC2=A/62+102=2A/34>

??.?/尸匹=生=-^=返工］,

BP2-V34342

：.ZPBQ^30°,故D錯誤;

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖像，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形函數(shù)，解題的關(guān)鍵

是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求問題需要的條件.

9.如圖，四邊形A3C￡>中，AB//DC,DE±AB,CF±AB,垂足分別為E,F,AE=EF=FB=5cm,

￡>E=12cm.動點(diǎn)尸，。均以lcm/s的速度同時從點(diǎn)A出發(fā)，其中點(diǎn)P沿折線AD-DC-CB運(yùn)動到點(diǎn)B停

止，點(diǎn)。沿運(yùn)動到點(diǎn)8停止，設(shè)運(yùn)動時間為小)，AAPQ的面積為y(cm)則y與f對應(yīng)關(guān)系的圖象大

致是（）

c.

【答案】D

【分析】分四段考慮，①點(diǎn)P在A。上運(yùn)動，②點(diǎn)尸在。C上運(yùn)動，且點(diǎn)。還未到端點(diǎn)8,③點(diǎn)尸在0c上

運(yùn)動，且點(diǎn)。到達(dá)端點(diǎn)2,④點(diǎn)尸在2c上運(yùn)動，分別求出y與r的函數(shù)表達(dá)式，繼而可得出函數(shù)圖象.

【詳解】解：在Rt&ADE中AD=7AE2+DE2=13(cm),

在Rt&CFB中，BC=7BF2+CF2^13(cm),

AB=AE+EF+FB=15(cm),

①點(diǎn)P在AO上運(yùn)動，AP^t,AQ^t,BP0</<13,

如圖，過點(diǎn)P作PGLA8于點(diǎn)G,

sinA=^=^貝ijPG二一404/413),

D